初中数学冀教版（2024）九年级上册28.4 垂径定理教学设计

这是一份初中数学冀教版（2024）九年级上册28.4 垂径定理教学设计，共4页。教案主要包含了垂径定理，垂径定理的推论，垂径定理应用等内容，欢迎下载使用。
1.经历探索垂径定理的过程,理解垂径定理的证明过程.
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.
3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系.
学习重点
垂径定理及其应用.
学习难点
探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题.
课时活动设计
复习引入
1.什么是轴对称图形?我们在从前的学习中学过哪些轴对称图形?
2.我们所学的图是不是轴对称图形?圆有多少条对称轴?折折看.
设计意图:使学生进一步巩固所学知识,为学习本课内容作铺垫.
探究新知
探究1 垂径定理
请你在半透明的纸上以点O为圆心画一个圆,在☉O中,AB为弦,CD是直径,且CD⊥AB,垂足为E.
将☉O沿CD所在直线对折,重合的线段有哪些?重合的弧有哪些?
学生通过动手试验,可以发现:AE=BE,AD=BD,AC=BC.
通过以上发现,可以得到什么结论?
教师引导学生得出结论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
教师指导学生对此结论进行证明.
如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.
求证:AE=BE,AD=BD,AC=BC.
证明:如图所示,连接OA,OB.
在△OAB中,
∵OA=OB,OE⊥AB,
∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.
∴AD=BD.
∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,
∴∠AOC=∠BOC.
∴AC=BC.
归纳总结垂径定理的概念
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
几何语言:
如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,CD⊥AB,
∴AE=BE,AD=BD,AC=BC.
探究2 垂径定理的推论
如图,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.
(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?AD与BD(或AC与BC)相等吗?说明你的理由.
(2)若AD=BD(或AC=BC),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.
学生自主探究、合作交流.
得到结论:如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且垂直于这条弦.
在☉O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE,CD⊥AB,AD=BD中的一项作为条件,则可得到另外两项结论.
设计意图:让学生通过动手操作,得到垂直于弦的直径的性质,使学生能在具体的图形中理解这一性质.教师提出的问题,学生合作交流,共同分析解答,提高学生合作意识,加深对垂径定理的理解和记忆,总结出垂径定理的推论.
典例精讲
例 如图,CD为☉O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.
解:如图所示,连接OA.
设☉O的半径为r.
∵CD为☉O的直径,AB⊥CD,∴AE=BE.
∵AB=8,∴AE=BE=4.
在Rt△OAE中,OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED,即r2=(r-2)2+42.
解得r=5,从而2r=10.∴直径CD的长为10.
设计意图:让学生通过例题体会方程思想在数学中的应用,同时掌握这一类题型的解题方法.运用垂径定理计算时,常作辅助线构造直角三角形,体会数形结合思想在解题中的应用,提高学生分析问题的能力.
课堂小结
1.垂径定理和推论及它们的应用.
2.垂径定理和勾股定理相结合,将圆的问题转化为直角三角形问题.
3.圆中常作辅助线:连半径、过圆心作弦的垂线.
设计意图:通过课堂小结,促进学生将垂径定理的知识内化为自己的认知结构.通过不断的练习和实践,让学生将定理知识转化为自己的数学素养和能力,实现知识的有效转化和应用.
课堂8分钟.
1.教材第165,166页习题A组第1,2,3题,B组第1,2题.
2.七彩作业.
28.4 垂径定理
一、垂径定理
二、垂径定理的推论
三、垂径定理应用
教学反思