冀教版（2024）九年级上册28.3 圆心角和圆周角教学设计

这是一份冀教版（2024）九年级上册28.3 圆心角和圆周角教学设计，共15页。教案主要包含了圆心角的概念，圆心角，圆内接四边形的性质等内容，欢迎下载使用。

课时目标
1.理解圆心角的概念.
2.探索圆心角及其所对的弧、弦之间的相等关系.
3.会运用圆心角与所对的弧、弦之间的关系进行简单的计算和证明.
学习重点
理解并掌握圆心角、弧、弦之间的关系.
学习难点
圆心角、弧、弦之间关系的证明.
课时活动设计
认识圆心角
圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.
想一想:判断下列各图中的角哪些是圆心角?
(1) (2) (3) (4)
解:(1)(4)所示的∠AOB是☉O的圆心角.
圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧.如图∠AOB为☉O的圆心角.圆心角∠AOB所对的弧为AB,所对的弦为AB.
设计意图:认识圆心角不仅有助于学生深入理解其概念和应用方法,还可以帮助他们更好地将其应用于实际生活和解题中.通过不断学习和探索圆心角的相关知识,可以不断提高学生的数学素养和综合能力.
探究新知
在同圆或等圆中,相等的两个圆心角所对应的两条弦是否相等,所对应的两条弧是否相等.
1.如图,在☉O中,∠AOB=∠COD.
(1)猜想弦AB,CD以及AB,CD之间各具有怎样的关系.
(2)请用图形的旋转说明你的猜想.
解:(1)猜想:AB=CD,AB=CD.
(2)说明:事实上,设∠AOC=α,将△AOB顺时针旋转α,则AO与CO重合,BO与DO重合.从而AB与CD重合,AB与CD重合.所以AB=CD,AB=CD.
如图,在等圆中,上述等量关系依然成立.
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧也相等.
2.想一想:可否把条件“在同圆或等圆中”去掉?为什么?
解:不可以,如图.
设计意图:让学生通过动手操作、观察、猜想、证明、归纳得到圆心角、弦、弧之间的关系的定理,让学生经历定理的形成过程,培养学生分析问题、解决问题的能力及归纳总结能力.
探究新知
在同圆或等圆中,若两条弦相等,则它们所对的圆心角和弧相等吗?若两条弧相等,则它们所对的弦和圆心角相等吗?
如图,(1)若AB=CD,猜想AB与CD,∠AOB与∠COD的关系.
(2)若AB=CD,猜想AB与CD,∠AOB与∠COD的关系.
猜想关系并完成以上证明.
解:(1)猜想:若AB=CD,则AB=CD,∠AOB=∠COD.
证明:∵在☉O中,OA=OB=OC=OD,
又∵AB=CD,
∴△AOB≌△COD(SSS).
∴∠AOB=∠COD.
∴AB=CD.
(2)猜想:若AB=CD,则AB=CD,∠AOB=∠COD.
证明:∵AB=CD,
将AB及∠AOB绕点O旋转至AB与CD重合.
∵AB与CD重合,
∴OA与OC重合,OB与OD重合.
∴∠AOB=∠COD.
∴AB=CD.
在同圆或等圆中,两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,只要有一组量相等,其他两组量就分别相等.即知一得二.
设计意图:通过小组合作学习,用类比的方法得到圆心角、弦、弧三者之间关系的推论,培养学生分析问题的能力及合作精神.运用所学知识解决问题,培养学生数学应用意识和解决问题的能力,同时让学生体会把数学语言向几何语言转化的过程.
典例精讲
例 如图所示,已知AB为☉O的直径,点M,N分别在AO,BO上,CM⊥AB,DN⊥AB,分别交☉O于点C,D,且AD=BC.求证CM=DN.
证明:如图所示,连接OC,OD.
∵AD=BC,即AC+CD=CD+BD,
∴AC=BD.
∴∠AOC=∠BOD.
在Rt△CMO和Rt△DNO中,
∵CM⊥AB,DN⊥AB,
∴∠CMO=∠DNO=90°.
又∵OC=OD,∠MOC=∠NOD,
∴Rt△CMO≌Rt△DNO.
∴CM=DN.
设计意图:通过例题讲解,让学生掌握并能灵活运用所学知识解决问题,培养学生正确应用所学知识的能力,增强应用意识,同时规范学生的书写格式,培养学生严谨的学习态度,达到巩固知识的目的.
课堂小结
需要注意的是在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对应的弧也相等.对应的弧指的是同为优弧或同为劣弧(不包含半圆).
设计意图:通过小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果.
课堂8分钟.
1.教材第155页习题A组第1,2题,B组第1,2题.
2.七彩作业.
第1课时 圆心角
一、圆心角的概念:顶点在圆心的角.
二、圆心角、弦、弧之间的关系:
1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧也相等.
2.在同圆或等圆中,两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,只要有一组量相等,其他两组量就分别相等.
注意:应用定理的前提条件是在同圆或等圆中.
教学反思

第2课时 圆周角
课时目标
1.理解圆周角的概念.
2.探索圆周角与圆心角的关系,会在具体情景中辨别圆周角.
3.了解圆周角定理及其推论,理解圆周角定理及其推论的证明过程.
4.运用圆周角定理进行简单的计算和证明.
学习重点
圆周角的概念以及圆周角定理.
学习难点
圆周角定理的证明.
课时活动设计
回顾引入
1.圆心角的定义是什么?
2.观察并交流:
观察下面三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置?角的两边和圆是什么关系?
3.教师引导学生仿照圆心角的概念,总结出圆周角的概念.
圆周角:顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫做圆周角.如图,∠APB为圆周角.
下列各图中的角都是圆周角吗?
(1) (2) (3) (4)
解:(1)中的角是圆周角,(2)(3)(4)中的角不是圆周角.
设计意图:让学生认识圆周角,并通过判断图中的角是不是圆周角,加深学生对圆周角概念的理解和掌握.
探究新知
如图,∠AOB,∠APB分别是AB所对的圆心角和圆周角.当点P在圆上按顺时针方向移动时(点P与点B不重合),按照圆心O和圆周角的位置关系可以分为几种不同情况?请画出相应图形,并说明每种情况下∠AOB与∠APB的数量关系.
1.通过观察,让学生猜想有几种情况,不同情况下∠AOB与∠APB的数量关系.
2.让学生合作交流,共同探讨,并证明自己猜想的结论.
解:按照圆心O和圆周角的位置关系可以分为三种不同情况,如图1,图2,图3所示.
①当圆心O在∠APB的一条边上时,
如图1,∠APB=12∠AOB.
理由:∵OP=OA,
∴∠OPA=∠OAP.
又∵∠AOB=∠OPA+∠OAP,
∴∠AOB=2∠APB,即∠APB=12∠AOB.
②对于圆心O在∠APB内部的情形,如图2,∠APB=12∠AOB.
连接PO并延长交☉O于点D,
∵PD过圆心O,
∴∠APD=12∠AOD,∠BPD=12∠BOD.
∴∠APD+∠BPD=12∠AOD+12∠BOD.
∴∠APB=12∠AOB.
③对于圆心O在∠APB外部的情形,如图3,∠APB=12∠AOB.
连接PO并延长交☉O于点D,
∵PD过圆心O,
∴∠DPA=12∠DOA,∠DPB=12∠DOB.
∴∠DPB-∠DPA=12∠DOB-12∠DOA.
∴∠APB=12∠AOB.
通过上述探究过程,引导学生总结圆周角定理.
圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
设计意图:以学生活动为核心,通过观察、猜想、交流、证明、归纳的过程,让学生学会运用分类讨论的数学思想研究问题,培养学生的思维能力.同时让学生学会由特殊到一般的数学方法,启发学生创造性的解决问题.
探究新知
1.直径所对的圆周角是多少度?请说明理由.
2.90°的圆周角所对的弦是直径吗?请说明理由.
教师引导学生总结:直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
设计意图:通过提问的形式探究圆周角定理的推论,感受类比思想,体会知识的内在联系,同时让学生体会运用定理解决特殊性问题的过程,提高学生分析问题和解决问题的能力.
典例精讲
例 如图所示,点A,B,C均在☉O上,∠OAB=46°.求∠ACB的度数.
解:如图所示,连接OB.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∵∠OAB=46°,
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2∠OAB=180°-2×46°=88°.
∴∠ACB=12∠AOB=12×88°=44°.
设计意图:规范学生对定理的使用,引导学生认真审题,培养学生正确使用辅助线的能力.
课堂小结
1.圆周角:顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.推论:直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
设计意图:对本课内容进行回顾和梳理,培养学生的口头表述和归纳总结能力.
课堂8分钟.
1.教材第158页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
第2课时 圆周角
教学反思

第3课时 圆内接四边形
课时目标
1.了解圆周角定理的推论,理解圆周角定理的推论的证明过程.
2.会用圆周角定理及其推论进行简单的计算和证明.
3.理解圆内接多边形等有关概念.
4.掌握圆内接四边形的性质,并能运用性质进行计算.
学习重点
理解并掌握圆周角定理推论,圆内接四边形的性质.
学习难点
灵活应用圆周角定理推论和圆内接四边形的性质.
课时活动设计
复习回顾
1.什么是圆心角、圆周角?
2.同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系?
3.直径所对的圆周角是多少度?90°的圆周角所对的弦是直径吗?
设计意图:通过复习圆周角定理及其推论,巩固与圆周角有关的知识,做好新旧知识之间的衔接,为本节课学习新知识作铺垫.
探究新知
圆周角定理的推论
如图所示,∠ACB与∠ADB分别为☉O上同一条弧AB所对的两个圆周角.
(1)∠ACB与∠ADB之间具有怎样的大小关系?
(2)证明你的猜想.
(1)解:∠ACB=∠ADB.
(2)证明:如图所示,连接OA,OB,
∵∠ACB=12∠AOB,∠ADB=12∠AOB,
∴∠ACB=∠ADB.
归纳总结:同弧所对的圆周角相等.
设计意图:通过观察、思考、猜想、证明得到圆周角定理的推论,把直观猜想和理性思考相结合,让学生体会解决问题的全过程,提高学生的数学分析能力.
探究新知
圆内按四边形
在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角可能相等,也可能互补.
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.
如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,☉O为四边形ABCD的外接圆.
设计意图:学生自主学习后,通过小组合作交流,掌握圆内接四边形基本概念,培养学生自主学习的能力和合作精神.
探究新知
圆内接四边形的性质
如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.
(1)ABC和ADC所对的圆心角之和等于多少度?∠ABC和∠ADC之间具有怎样的关系?
(2)∠BAD和∠BCD之间具有怎样的关系?请说明理由.
教师提示:可以运用圆心角与圆周角之间的关系进行探究.
学生自主探究,猜想并互相交流.
解:(1)360°;∠ABC+∠ADC=180°.
(2)∠BAD+∠BCD=180°.
理由如下:如图所示,连接OB,OD.
∵BAD和BCD所对的圆心角之和为360°,
∠BCD和∠BAD分别为BAD和BCD所对的圆周角,
∴∠BCD+∠BAD=180°.
教师提问:∠ABC和∠ADC之间具有怎样的关系?学生自主猜想并证明.
教师引导学生总结出圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补.
设计意图:在教师的引导下,通过层层深入分析已知条件,由圆周角和圆心角之间的关系,探究出圆内接四边形的性质,提高学生分析问题、解决问题的能力.
典例精讲
例 如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠DCE为四边形ABCD的一个外角.求证:∠DCE=∠BAD.
证明:∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD.
设计意图:完成例题的证明,体会圆内接四边形的性质的应用,培养学生的应用意识.
课堂小结
1.圆周角定理的推论.
2.圆内接四边形的有关概念.
3.圆内接四边形的性质.
设计意图:对本课时内容进行回顾和梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
课堂8分钟.
1.教材第161页习题A组第1,2题,第162页习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
第3课时 圆内接四边形
一、圆周角定理的推论
二、圆内接四边形相关概念
三、圆内接四边形的性质
教学反思