江苏省扬州市邗江区梅岭中学2022-2023学年九年级上学期9月月考数学试题

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一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则下列式子不正确的是（ ）
A B. C. D.
4. 用配方法解方程的过程中，应将此方程化为（ ）
A B. C. D.
5. 如图，，是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，则下列选项不成立的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，某小区计划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草已知草坪部分的总面积为112m2，设小路宽xm，若x满足方程x2﹣17x+16＝0，则修建的示意图是（ ）
A. B.
C. D.
7. 是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
10. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________．
11. 已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______．
12. 如图，东方明珠塔是上海的地标建筑之一，它的总高度是468米，塔身自下而上共有3个球体，其中第2个球体的位置恰好是总高度的黄金分割点，且它到地面的距离大于到塔顶的距离，则第2个球体到地面的距离是米_________．（结果保留根号）．
13. 关于x一元二次方程的两个根分别为和，则_________．
14. 一件衬衫原价200元，经过连续两次降价后售价为162元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为______．
15. 对于实数m，n，先定义一种断运算“”如下：，若，则实数x的值为___．
16. 已知等腰的底边长为，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为______．
17. 如图，在中，，，，D为上一动点（点D与点A不重合）．若在的直角边上存在一点E，使与相似，则的值为__________．
18. 如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形中，点在边上，如果、和都相似，那么点就是四边形的“强相似点”；如图2，在四边形中，，，，，如果点是边上的“强相似点”，那么___．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19 解方程：
（1）；
（2）．
20. 已知一个三角形的两边长和满足，第三条边长是方程的根．
（1）判断这个三角形的形状；
（2）求这个三角形面积．
21. 已知：．
（1）求的值；
（2）若2x+3y﹣z＝34，求x+2y﹣z的值．
22. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若，是原方程的两根，且，求的值．
23. 如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；
（1）为了使这个长方形的面积为96平方米，求边为多少米？
（2）用这些篱笆，能使围成的长方形面积是110平方米吗？说明理由．
24. 在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
∵，∴．
当时，的值最小，最小值是1.
∴的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出的最小值为__________．
（2）求代数式的最小值．
（3）若，求的最小值．
25. 某小区为了改善绿化环境，计划购买、两种树苗共棵，其中 树苗每棵 元， 树苗每棵元． 经测算购买两种树苗一共需要元．
（1）计划购买 两种树苗各多少棵?
（2）在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降元（），且每降低 元，小区就多购买树苗棵，树苗棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了元，则该小区实际购买 树苗共多少棵?
26. 再读教材：宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形（提示：）
第一步：在矩形纸片一端利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．
第四步：展平纸片，按照所得的点折出使则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中_ （保留根号）；
（2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
27. 如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F．
（1）求证：；
（2）当时，求长．
（3）若直线与线段延长线交于点G，当时，求的长．
28. 如图，A、B两点的坐标分别是，点P由点B出发沿方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿（O为坐标原点）方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接，若设运动时间为秒．解答如下问题：

（1）当t为何值时，？
（2）设的面积为S．
①求当时，求t的值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为，则新坐标称为“向量”的坐标．当时，求“向量”的坐标．