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初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径授课课件ppt
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这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径授课课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了ABCDAC，圆的对称性，垂径定理，①过圆心②垂直于弦，垂径定理的推论，①过圆心③平分弦，23m，实际问题，画出图形，运用相关知识等内容，欢迎下载使用。
连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫做直径．如图，_______________是弦，_________是直径．
______任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．______半圆的弧叫做优弧；______半圆的弧叫做劣弧． 如图，___________________________是优弧，_____________________是劣弧， 是______．
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
分析：要想证明这个结论，只需要证明圆上任意的一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上．
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A 为⊙O上除点 C，D以外的任意一点．
过点 A 作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′．
在△OAA′中，∵OA＝OA′， ∴△OAA′是等腰三角形． 又AA′⊥CD， ∴AM＝MA′． 即CD是AA′的垂直平分线． 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′， 因此⊙O关于直线CD对称．
如果我们在圆形纸片上任意画一条弦AB，如图，观察这个图形，它还是轴对称图形吗？若是，请找出它的对称轴．
如图，作出垂直于弦AB的直径CD，沿着这条直径所在的直线对折，图形在这条直径两侧的部分能完全重合，即图形关于这条直径所在直线对称．
设直径CD与弦AB垂直于点 E（如图），在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中有哪些相等的线段和相等的弧．
结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？
符号语言： ∵CD是直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB， 垂足为E． ∴AE＝BE， ＝ ， ＝ ．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧
在这个定理中， ①过圆心，②垂直于弦，这两个条件缺一不可，同时满足这两个条件时才能推出结论③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．
反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？
请在纸上画一个以点O为圆心的圆，在⊙O上任意画出一条弦CD（不是直径）．找到弦CD的中点 E，过点 E 作⊙O的直径MN，MN与CD有什么位置关系？
测量∠MED的度数，得∠MED＝90°，即MN⊥CD．
如果弦CD是直径呢？
两条直径任何时候都是互相平分的，但是不一定相互垂直．
猜想：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧．
你能对猜想进行证明吗？
已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点P，AP＝BP．求证：CD⊥AB， ＝ ， ＝ ．
证明：连接OA，OB，则AO＝BO．
∴△AOB是等腰三角形． ∵AP＝BP， ∴CD⊥AB ， ∴ ＝ ， ＝ （垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧）．
符号语言： ∵在⊙O中，CD是直径，弦AB不是直径，且AE＝BE， ∴CD⊥AB， ＝ ， ＝ ．
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
②垂直于弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧
在这个推论中，“③平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立．
例1 如图，在⊙O中，弦AB的长为 8 cm，圆心 O 到AB的距离为 3 cm，求⊙O的半径．
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
∴OA＝5，即⊙O的半径为 5 cm．
OA2＝42＋32，
解：过点 O 作OE⊥AB，垂足为 E，连接OA．
∵OE⊥AB，AB＝8 cm，
例2 如图， M 是⊙O中的弦CD的中点，EM经过圆心 O 交⊙O于点 E，并且CD＝6 cm，EM＝9 cm，求⊙O的半径．
在Rt△OCM中，由勾股定理，得
解得r＝5，即⊙O的半径为 5 cm．
r2＝(9－r)2＋32，
解：如图，连接OC．设OC＝r cm，则OM＝(9－r)cm．
∵EM经过圆心 O，M是CD的中点，CD＝6 cm，
1．四变量：如图，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离（弓形高）h，已知这四个变量中的任意两个可求其他两个．
2．两关系：（1） ＋d2＝r2； （2）h＋d＝r．
垂径定理基本图形的四变量、两关系
例3 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．
根据垂径定理，D是AB的中点，C 是 的中点，CD就是拱高.
由题设可知 AB＝37，CD＝7.23， ∴AD＝ AB＝ ×37＝18.5， OD＝OC－CD＝R－7.23， 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2＝AD2＋OD2， 即 R2＝18.52＋(R－7.23)2． 解得 R≈27.3． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为 27.3 m．
用数学语言描述已知和未知
观察垂径定理及其推论的题设与结论，你能发现什么？
对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧． 简记为“知二推三”．
与垂径定理有关的常用结论： （1）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫做直径．如图，_______________是弦，_________是直径．
______任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．______半圆的弧叫做优弧；______半圆的弧叫做劣弧． 如图，___________________________是优弧，_____________________是劣弧， 是______．
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
分析：要想证明这个结论，只需要证明圆上任意的一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上．
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A 为⊙O上除点 C，D以外的任意一点．
过点 A 作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′．
在△OAA′中，∵OA＝OA′， ∴△OAA′是等腰三角形． 又AA′⊥CD， ∴AM＝MA′． 即CD是AA′的垂直平分线． 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′， 因此⊙O关于直线CD对称．
如果我们在圆形纸片上任意画一条弦AB，如图，观察这个图形，它还是轴对称图形吗？若是，请找出它的对称轴．
如图，作出垂直于弦AB的直径CD，沿着这条直径所在的直线对折，图形在这条直径两侧的部分能完全重合，即图形关于这条直径所在直线对称．
设直径CD与弦AB垂直于点 E（如图），在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中有哪些相等的线段和相等的弧．
结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？
符号语言： ∵CD是直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB， 垂足为E． ∴AE＝BE， ＝ ， ＝ ．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧
在这个定理中， ①过圆心，②垂直于弦，这两个条件缺一不可，同时满足这两个条件时才能推出结论③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．
反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？
请在纸上画一个以点O为圆心的圆，在⊙O上任意画出一条弦CD（不是直径）．找到弦CD的中点 E，过点 E 作⊙O的直径MN，MN与CD有什么位置关系？
测量∠MED的度数，得∠MED＝90°，即MN⊥CD．
如果弦CD是直径呢？
两条直径任何时候都是互相平分的，但是不一定相互垂直．
猜想：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧．
你能对猜想进行证明吗？
已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点P，AP＝BP．求证：CD⊥AB， ＝ ， ＝ ．
证明：连接OA，OB，则AO＝BO．
∴△AOB是等腰三角形． ∵AP＝BP， ∴CD⊥AB ， ∴ ＝ ， ＝ （垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧）．
符号语言： ∵在⊙O中，CD是直径，弦AB不是直径，且AE＝BE， ∴CD⊥AB， ＝ ， ＝ ．
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
②垂直于弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧
在这个推论中，“③平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立．
例1 如图，在⊙O中，弦AB的长为 8 cm，圆心 O 到AB的距离为 3 cm，求⊙O的半径．
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
∴OA＝5，即⊙O的半径为 5 cm．
OA2＝42＋32，
解：过点 O 作OE⊥AB，垂足为 E，连接OA．
∵OE⊥AB，AB＝8 cm，
例2 如图， M 是⊙O中的弦CD的中点，EM经过圆心 O 交⊙O于点 E，并且CD＝6 cm，EM＝9 cm，求⊙O的半径．
在Rt△OCM中，由勾股定理，得
解得r＝5，即⊙O的半径为 5 cm．
r2＝(9－r)2＋32，
解：如图，连接OC．设OC＝r cm，则OM＝(9－r)cm．
∵EM经过圆心 O，M是CD的中点，CD＝6 cm，
1．四变量：如图，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离（弓形高）h，已知这四个变量中的任意两个可求其他两个．
2．两关系：（1） ＋d2＝r2； （2）h＋d＝r．
垂径定理基本图形的四变量、两关系
例3 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．
根据垂径定理，D是AB的中点，C 是 的中点，CD就是拱高.
由题设可知 AB＝37，CD＝7.23， ∴AD＝ AB＝ ×37＝18.5， OD＝OC－CD＝R－7.23， 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2＝AD2＋OD2， 即 R2＝18.52＋(R－7.23)2． 解得 R≈27.3． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为 27.3 m．
用数学语言描述已知和未知
观察垂径定理及其推论的题设与结论，你能发现什么？
对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧． 简记为“知二推三”．
与垂径定理有关的常用结论： （1）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
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