13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质 人教版数学八年级上册课件

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轴对称画轴对称图形轴对称线段的垂直平分线的性质与判定轴对称画轴对称图形等腰三角形等腰三角形的性质等边三角形的性质与判定用坐标表示轴对称线段的垂直平分线的有关作图课题学习 最短路径问题含 30° 角的直角三角形的性质等腰三角形的判定13.3.1 等腰三角形第十三章 轴对称人教版八年级(上)第 1 课时 等腰三角形的性质在故宫博物馆中，有很多建筑设计成等腰三角形，例如下图的中和殿的屋檐设计，你能说说为什么吗？知识点:等腰三角形的性质如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC 有什么特点？探究这个三角形的特点三角形的边三角形的角与三角形的有关线段分析：三角形的对称性 A B D C请按照探究中的操作流程剪出△ABC ，沿着折痕对折，分组探究这个三角形.三角形的边和角AB=AC∠B=∠C等腰△ABC底角相等请证明你的发现.证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等.已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.求证：∠B =∠C.分析：构造两个全等三角形证明角相等不同方法分组证明不同方法分组证明 作底边 BC 的中线 AD.AB = AC (已知)，BD = CD (已作)，AD = AD (公共边)，∴△BAD≌△CAD (SSS).∴∠B =∠C .在 △BAD 和 △CAD 中，方法1：作底边上的中线.在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)，∵ AD⊥BC，方法2：作底边上的高线.∴∠B＝∠C.∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL).∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在 △ABD 与 △ACD 中， AB＝AC (已知)， ∠BAD＝∠CAD， AD＝AD (公共边)，∵ AD 是 ∠BAC 的角平分线，方法3：作顶角的角平分线 AD.∴∠B＝∠C.∴ △ABD≌△ACD (SAS).∴∠BAD＝∠CAD.等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角______(简写成“等边对等角”).相等几何语言：∵ △ABC 是等腰三角形，∴ ____=____(等角对等边).∠B∠C1. (淄博)某城市几条道路的位置关系如图所示，道路 AB∥CD，道路 AB 与 AE 的夹角∠BAE＝50°.城市规划部门想新修一条道路 CE，要求 CF＝EF，则 ∠E 的度数为 ( )A. 23° B. 25°  C. 27° D. 30°B三角形的有关线段在上述不同方法的证明过程中，由三角形顶角作的底边上的中线、高线、顶角角平分线有什么特点？完全重合.证明：等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = DC，求证 AD⊥BC，DA 平分∠BAC.分析：假设任意一种线段为已知条件证明三线合一证明：∵AB = AC，BD = DC，∴∠ADB =∠ADC =90°.∵∠ADB +∠ADC = 180°，∴ ∠BAD =∠CAD，∠ADB=∠ADC.∴△BAD≌△CAD (SSS).这三条线是否在任意边上都重合？等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高_________ (简写成“三线合一”，注意：腰上的高相互重合和中线与底角的平分线不具有这一性质.).“三线合一”几何语言：(1)∵△ABC是等腰三角形， BD = CD (已知)∴______________，________ (等腰三角形的“三线合一”)(2)∵△ABC是等腰三角形，∠BAD＝∠CAD (已知)∴_________，AD⊥BC，_________________________(3)∵△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC∴BD = CD，______________(等腰三角形的“三线合一”)∠BAD =∠CADAD⊥BCBD = CD(等腰三角形的“三线合一”)∠BAD =∠CAD探究这个三角形的特点三角形的边三角形的角与三角形的有关线段三角形的对称性等腰三角形AB = AC∠B = ∠C三线合一轴对称图形分析： 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数.解：∵ AB = AC，BD = BC = AD，∴∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.解得 x = 36°.于是在△ABC 中，有∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°，从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x.设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x，∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD.例2 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证： AF⊥BC.图①图②ABDECABDECF证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.图①ABDGEC图②ABDECF∴ AF⊥BC.∵ AB＝AC，∴ BF＝CF. ∴ BD＋DF＝CE＋EF.(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，∴ BD＝CE.∴ BG－DG＝CG－EG.∴ BG＝CG，DG＝EG.∵ AB＝AC，AD＝AE，等腰三角形的______________________________________________简称“________”定义等腰三角形等腰三角形是___对称图形性质有_________的三角形等腰三角形的两个底角_____简称“___________”两边相等相等 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合轴三线合一等边对等角基础练习1. 等腰三角形的一个角为 70° ，则这个等腰三角形的顶角是 ( )A. 70° B. 40°  C. 55° 或 70° D. 70° 或 40°D2.如图，已知 OA＝OB＝OC，且∠ACB＝25°，求 ∠AOB 的大小．解：∵OA＝OB＝OC，∴ x＋∠AOB＝x＋25°＋25°.∴∠AOB＝50°.∵∠A＋∠AOB＝∠ADB＝∠B＋∠ACB.∴∠B＝∠OCB＝∠OCA＋∠ACB＝x＋25°.∵∠ACB＝25°，设∠A＝∠OCA＝x，∴∠A＝∠OCA，∠B＝∠OCB.(2) 如果把以上“问题”中的条件“∠B = 45°”去掉，再将“∠BAE = 90°”改为“∠BAE = n°”其余条件不变求∠DAC 的度数.∵EA＝EC，3. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角的度数为__________； (2) 等腰三角形的一个角为 36°，它的另外两个角的度数为____________________； (3) 等腰三角形的一个角为 120°，它的另外两个角的度数为__________.能力提升30°，30°72°，72°或 36°，108°30°，30°4.如图，已知 AB＝AC，D 是 BC 边上的中点，求 ∠B＝ 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC 的度数．解：∵AB＝AC，∴AD⊥BC (三线合一)， D 是 BC 边上的中点，∴∠ADC＝90°，∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝90°－30°＝60°1. 古代测量水平线的仪器是由一个等腰三角形以及悬挂在顶点处的铅垂线组成.如图 (1) 所示，仪器中三角形的底边猜测是用绳子做成的，因为绳子的中点非常容易确定.测量时，调整底边的位置，如果铅垂线经过底边中点，就表明底边垂直于铅垂线，即底边是水平的，这就是古代的水准仪.(1) 请运用所学的等腰三角形的性质解释古代水准仪的原理；(2) 如图(2)是屋架的一种形式，在△ABC 中，AB = AC，点 B，C 在横梁 MN 上，现有一把等腰直角三角形尺(底边的中点处有一颗钉子)一个端点挂有铅锤的线绳(足够长)、一卷皮尺(足够长)，如果要判断横梁 MN 是否水平，你会选择哪两个工具?如何使用?请用数学知识解释你的方法(忽略测量人员的人数).