期末复习 八年级数学乘法公式专项复习 公式拓展及题型总结试卷

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一、常用公式
1．平方差公式：；
语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。
2．完全平方公式：；
即：；
语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍．
二、拓展公式
1．三元平方公式：；
2．立方和公式：；
3．立方差公式：；
4．立方公式：．
三、知二推二
知二推二是完全平方公式的经典应用，其中蕴含了方程的思想．
= 1 \* GB3 ①
②
= 3 \* GB3 ③
= 4 \* GB3 ④
四、高次型的知二推二
= 1 \* GB3 ①
②
③
④
五、倒数型的知二推二（知一推二）
①
②
③
【注】关于的变形中有一个隐含条件，因此已知、和中的任意一个，就可以得出其他两个，故也称之为“知一推二”．
六、知二推二的应用
七、配方法
1．配方法的步骤：
①首先按某个字母的降幂排列——“化成一般式”．
②分清二次项与一次项，把二次项系数化为1——“提系数”．
③加上一次项系数一半的平方，再减去所加的数——“加上一次项系数一半的平方”．
2．配方法的基本应用：
①求最值；
②非负性解不定方程．
3.基本题型
1．求最值；
2．求中间项（参数）．
八、进阶方法
1．1/2公式；
2．主元法；
3．拆添项．
例题分析
平方差公式和完全平方公式
如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________．
（2）计算：① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
（3）计算：① ②
③④
（1）如图，左图中阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为，而两图中阴影部分面积应该是相等，故验证的公式为
（2）①原式；②原式；③；④；⑤；
⑥；⑦；⑧．
（3）①；
②原式；
③原式；
④原式．
（1）如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________．
（2）计算：① ②
③ ④
⑤ ⑥
（3）计算：① ②
（1）．
整个大正方形的面积为，而四个小图形的面积之和为；
（2）①原式；②原式；
③； ④；
⑤； ⑥．
（3）①；
②原式．
计算：（1） （2）
（3） （4）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】整体思想：符号不变的看成一个整体．
（1）化简求值：，其中，．
（2）化简求值：，其中，．
（1）原式，当，时，原式．
（2）原式，当，时，原式．
【分析】利用公式化简求值．
拓展公式
（1）要使多项式成为一个完全平方式，则数m的值是________．
（2）如果多项式是一个完全平方式，则数m的值是_______．
（3）若是完全平方式，求的值．
（1）；（2）．
（3），
故或，解得：或．
【分析】主要考查完全平方公式求参数．
计算：（1） （2）
（3）（4）
（1）．（2）．
（3）． （4）．
【分析】三元平方公式的展开．
（1）已知，，则__________．
（2）若，，则__________．
（3）已知，，求的值是________．
（1）35；（2）；
（3）原式=．
推导、的公式，比较、、、，并探索规律．
；
．
观察上述几个公式，可以发现如下规律：
一、项数：公式展开后的项数等于公式左端的指数加1；
二、次数：展开式中字母的次数均等于公式的指数，比如完全平方公式的指数为2，则展开式中字母的次数也都是2，展开式按a的降幂排列的同时，按b的升幂排列．
三、系数：首末两项的系数都是1，且这三个公式的展开式中各项系数满足右图. 右图中的系数表叫做杨辉三角．
【分析】．
知二推二
填空：（1）________；（2）________；
（3）； （4）；
（5）．
（1）2ab；
（2）2ab；
（3）；
（4）4ab；
（5），，．
【分析】回归完全平方公式，从中总结出的以下四个量：、、、ab．
（1）已知，，且，则____________．
（2）已知，，则_______．
（1）1；（2）7．
（1）已知，，求．
（2）已知，，求．
（1），
，，，；
（2），，
，
【分析】知二推二的基本应用，结合公式求解．
高次型的知二推二
（1）已知，，则____________．
（2）已知，，则_______，______．
（1）；（2）17，5．
【分析】注意和基本的知二推二的区别在于正负的取值．
（1）已知：，，求：= 1 \* GB3①；②；③．
（2）已知，，求．
（1）①；
②；
③．
（2），，
，．
【分析】从一次到二次再到高次．
（1）已知，，求的值．
（2）已知，，求的值．
（3）已知，，求和的值．
（4）已知，，求的值．
（1）．
（2）由，解得，
．
（3）由，解得，
，
．
（4）由题意知，，
．
【分析】公式：．
倒数型的知二推二
（1）已知，则________．
（2）已知，则，_________．
（1）∵，∴，即，；
（2）2，0．
【分析】常考的基本题型．
已知：，求：（1）；（2）；（3）；（4）的值．
（1）∵，∴，∴，即；
（2）∵，∴，∴；
（3）；
（4）∵，∴，∴．
【分析】倒数型的知二推二变形：由低次到高次的推导．
（1）已知，则________．
（2）已知，则________．
（1）由题意得，．
= 1 \* GB3 ①当，则由题意，，，
∴．∴．
②当时，则由题意，，，
∴．∴．∴原式或．
（2）由题意得，，∴．原式．
【分析】注意挖掘隐含条件，分类讨论思想．
知二推二的应用
（1）已知，则________．
（2）若，则________．
（1），
，
;
（2）
，
所以，．
【分析】整体思想用于计算．
若，，求的值．
由平方得②；
又已知，③
③②得．所以x，y中至少有一个为0，但．
因此x，y中只能有一个为0，另一个为2或．
无论哪种情况，都有．
【分析】分类讨论思想．
配方法
（1）完成下列配方
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
通过这道题，你得到的结论是：

①4，；②25，；③，；④，；⑤，；
⑥，；⑦，；⑧，．
结论：，；，．
完成下列配方
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
通过这道题，你得到的结论是：
①2，2，；②18，2，；③，3，；④，3，；
⑤，，；⑥，，；⑦，，；
⑧，，；
结论：，，，，；，，，，．
【分析】归纳总结总结：
（1）二次项系数为1，配一次项系数一半的平方；
（2）二次项系数不为1时，提二次项系数．
配方法的应用
（1）的最小值是_________，的最大值是_________．
（2）求最值并求出取最值时各未知数的取值：
①②③
④⑤⑥
（1）5，．
（2）①原式，当时，取最小值为；
②原式，当，时取最小值；
③原式，当时，取最大值26；
④原式，当时，取最大值．
⑤原式，当时，有最小值5；
⑥原式，当时，有最大值．
【分析】配方法的应用——求最值，需要大量练习．
（1）若，则_______，_______．
（2）若，则_________，_________．
（3）已知，求．
（4）已知，求的值．
（1）5，；；
（2），
，，．
（3），
，．
（1）已知，则_________，_________．
（2）已知，则_________．
（3）已知，那么___________．
（1），．
（2），
，，
（3）
【分析】非负性解不定方程变形，根据平方项拆中间项，或者根据中间项拆平方项．
（1）的最小值是__________．
（2）已知，求ab．
（1）原式
∴当时，原式有最小值1．
（2），，
，，
，
，，．
若，求和ab的最值．
法一：由题意知，，
，
．
法二：，
．
【分析】利用知二推二求最值．
1/2公式
（1），且，则_________．
（2）已知，则_________．
（1）由，可得，则.．
（2）由，可得，则．
（1）已知，，，求的值．
（2）已知，，求的值．
（1）∵，，，
∴，，
故
（2）由可知，，
故
．
设a、b、c是不全相等的任意实数，若，，，求证：x、y、z中至少有一个数的值大于0．
证明：x、y、z相加得
a、b、c不全相等，
，
、y、z中至少有一个数的值大于0．
主元法
（1）求的最小值，并写出取得最小值时x、y的取值．
（2）求的最小值．
（1），此时，．
（2）选主元，把x当做主元，
则原式
，∴当，时，原式有最小值10．
（1）已知实数a、b满足，，求的值．
（2）已知实数a、b、c满足，，求abc值
（3）已知实数a、b、c满足，，求的值
（1）由题意知，代入后式得，即，
，，，．
（2）由题意知，代入后式整理得，
即，即，
，解得，，，．
（3）由题知，代入式后整得，
即，
即，即，
，解得，，，．
拆项添项法
若，求．
∵，
∴，即，
即．∴，解得，，∴．
（1）已知a、b、x、y满足，，求．
（2）若a、b、c、d是整数，，，求证：mn可表示成两个整数平方和
（1）
．
（2）∵，，
∴，
∵a、b、c、d为整数，∴，是整数，
故mn可以表示成两个整数的平方和．
已知正数a、b、c、d满足．求证：．
∵，
∴，
即．
∵，，，
∴ （1） （2） （3）
由（1）、（2）得，，代入（3）式得：，即，∴．