期末复习 九年级数学圆的专项突破 十大题型总结试卷

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24471" 【题型1 切线的判定与性质进行计算与证明】 PAGEREF _Tc24471 \h 1
\l "_Tc26333" 【题型2 圆周角定理有关的计算与证明】 PAGEREF _Tc26333 \h 3
\l "_Tc30890" 【题型3 垂径定理的实际应用】 PAGEREF _Tc30890 \h 4
\l "_Tc14868" 【题型4 由点与圆的位置关系求求最值】 PAGEREF _Tc14868 \h 6
\l "_Tc2132" 【题型5 由圆的对称性求最短路线问题】 PAGEREF _Tc2132 \h 7
\l "_Tc16716" 【题型6 三角形的内切圆与内心】 PAGEREF _Tc16716 \h 9
\l "_Tc22955" 【题型7 正多边形与圆】 PAGEREF _Tc22955 \h 10
\l "_Tc31597" 【题型8 圆锥侧面积的相关计算】 PAGEREF _Tc31597 \h 11
\l "_Tc30584" 【题型9 动点的运动轨迹长度计算】 PAGEREF _Tc30584 \h 12
\l "_Tc14739" 【题型10 动态图形的扫过的面积的计算】 PAGEREF _Tc14739 \h 14
【题型1 切线的判定与性质进行计算与证明】
【例1】（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC=12∠BDC．

(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若BC=6，AB=10，求⊙O的半径长．
【变式1-1】（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弦BC的中点，过点C的切线与OD的延长线相交于点E，连接BE．
(1)求证：BE是圆O的切线；(2)当AB=10，AC=8时，求线段BE的长．
【变式1-2】（2023秋·湖北·九年级期末）AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径．
【变式1-3】（2023秋·浙江·九年级期末）如图1，在⊙O中，点H是直径AB上的一点，过H点作弦CD⊥AB，点E是BAD的中点，过点E作BD的平行线交DC延长线于点F，连接BE，交CD于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：BD+EF=DF；
（3）如图2，连接DE，若BDBG=k，则当k为何值时，线段DE=EF？
【题型2 圆周角定理有关的计算与证明】
【例2】（2023秋·北京西城·九年级北京八中校考期中）如图，已知：过⊙O上一点A作两条弦AB、AC，且∠BAC=45°，(AB，AC都不经过O)过A作AC的垂线AF交⊙O于D，直线BD，AC交于点E，直线BC，DA交于点F．
(1)证明：BE=BF；(2)探索线段AB、AE、AF的数量关系，并证明你的结论．
【变式2-1】（2023秋·湖北·九年级期末）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．
(1)如图①，当∠BAC=120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式： ；
(2)如图②，当∠BAC=90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【变式2-2】（2023秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F=30°，∠BAC=120°，BC=8．

(1)求∠ADB的度数；
(2)求AC的长度；
(3)判定四边形AFBC的形状，并证明你的结论．
【变式2-3】（2023秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．
(1)若∠DAE=75°，则∠DAC= °；
(2)过点D作DE⊥AB于E，判断AB、AE、AC之间的数量关系并证明；
(3)若AB=6、AE=2，求BD2−AD2的值．
【题型3 垂径定理的实际应用】
【例3】（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米．若从日前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是 ；②“图上”太阳升起的平均速度为 厘米/分．
【变式3-1】（2023秋·浙江台州·九年级校考期中）我市在创建全国文明城市检查中，发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现已更换新的公交候车亭(图1)，图2所示的是侧面示意图，FG为水平线段，PQ⊥FG，点H为垂足，FG=4m， FH=2.4m， 点P在弧FG上，且弧FG所在的圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5：2，则PH的长约为多少米？

【变式3-2】（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．

(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【题型4 由点与圆的位置关系求求最值】
【例4】（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,2，点B0,2+t，C0,2−t(t>0)，点P在以D6,6为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是 ．
【变式4-1】（2023秋·山东德州·九年级统考期中）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ．
【变式4-2】（2023秋·山东泰安·九年级校联考期末）如图，点P(3，4)，⊙P半径为2，A(2.5，0)，B(5，0)，点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最大值是（ ）
A．32B．52C．72D．92
【变式4-3】（2023秋·河南驻马店·九年级平舆县第二初级中学校考期末）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP的最小为 ．
【题型5 由圆的对称性求最短路线问题】
【例5】（2023秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED=12∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10． 上述结论中正确的个数是
【变式5-1】（2023秋·安徽淮北·九年级校考期末）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为弧BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．22B．2C．1D．2
【变式5-2】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，A、B是半圆O上的两点，MN是直径，OB⊥MN．若AB=4，OB=5，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值为 ．
【题型6 三角形的内切圆与内心】
【例6】（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
1277B．1077
C．977D．877
【变式6-1】（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8B．4，10，10C．5，9，10D．6，8，10
【变式6-2】（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，且∠A=90°，BC=5，CA=4，则⊙O的半径是 ．

【变式6-3】（2023秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，四边形ABCD是矩形，点P是△ABD的内切圆的圆心，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，则四边形PECF和矩形ABCD的面积之比等于（ ）
A．1：2B．2：3C．3：4D．无法确定
【题型7 正多边形与圆】
【例7】（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）
A．3−3B．23−12C．3+12D．13−12
【变式7-1】（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，已知⊙O的半径为4，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG（ ）

A．32B．32C．23D．3
【变式7-2】（2023秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则EFGH的值是（ ）
A．62B．2C．3D．2
【变式7-3】（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，⊙O的半径是1，则下列四个结论中正确的是 ．
①DF的长为π2；②DF=2OF；③ΔODE为等边三角形；④S正八边形ABCDEFGH=AE⋅DF．
【题型8 圆锥侧面积的相关计算】
【例8】（2023秋·全国·九年级专题练习）小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为20cm，高为402cm的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）
(1)你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？
(2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？
【变式8-1】（2012春·湖南永州·九年级阶段练习）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=2,BC=6,以A为圆心，AD为半径的圆与BC 边相切于点M，于 AB 交于点E，将扇形A-DME剪下围成一个圆锥，则圆锥的高为 .
【变式8-2】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图是一张直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2 cm，DB＝4 cm，DE⊥AB．若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体的表面积为 cm2．

【题型9 动点的运动轨迹长度计算】
【例9】（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知∠ABC=90°，AB=10，BC=5，半径为2的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止，圆心O运动的路程是 ．

【变式9-1】（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，有一块长为4cm、宽为3cm的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到点A2的位置经过的路径长为（ ）

A．10cmB．3.5πcm
C．4.5πcmD．2.5πcm
【题型10 动态图形的扫过的面积的计算】
【例10】（2023秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，已知A、D是⊙O上任意两点，且AD=6，以AD为边作正方形ABCD，若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 ．

【变式10-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，半圆O的直径AB=4，弦CD=22，弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为___________．

【变式10-2】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）在平面直角坐标系中，已知A2,0，B3,1，C1,3；

(1)将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△A1B1C1，画图并写出C1的坐标____________；
(2)以A1点为旋转中心，将△A1B1C1逆时针方向旋转90°得△A1B2C2，画图并写出C2的坐标_____；
(3)在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为___________．
【变式10-3】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．
(1)求O点运动的路径长；
(2)求O点走过路径与射线l围成的面积．