江苏省盐城市建湖县 2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

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一、选择题（本题共8小题，每题3分，计24分）
1．将一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0化成一般形式后，常数项是﹣2，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2B．3，1C．3，﹣1D．3，0
2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠BDC＝（ ）
A．20°B．40°C．55°D．70°
3．若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则代数式2021﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2018B．2018C．﹣2024D．2024
4．关于的方程有两个相等的实数根，若是的三边长，则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
5．如图，是的内切圆，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知方程，用换元法解此方程时，可设，则原方程化为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点﹐点B是CD的中点，则∠ABE的度数是（ ）
A．13° B．16° C．18° D．21°
8．已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=1 B．x1•x2=﹣1 C．|x1|＜|x2| D．x12+x1=
（第2题） （第5题） （第7题） （第12题）
二、填空题（本题共10小题，每题3分，计30分）
9．若，则 .
10．的半径为4，圆心O到直线l的距离是方程的一个根，则直线l与的位置关系是_____．
11．写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程： ．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ °．
13．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且AE为，则的度数为 °．
14．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
15．如图， ⊙O的半径为 6 ，点、、在⊙O上， 且，则弦的长为 ．
16．方程的解是，，则方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是 ．
17．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为 .
18．如图，是圆O的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为 ．
（第13题） （第15题） （第18题）
三、解答题（共9题，计96分）
（8分）19．用合适的方法解下列方程．
（1）9（x﹣2）2＝25； （2）（3﹣x）x＝（3﹣x）；
（3）2x2+x﹣3＝0； （4）x2+14x﹣15＝0．
（8分）20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为0,3，点C的坐标为．
（1）在图中利用直尺画出△ABC的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ；
（2）求△ABC外接圆的面积；
（3）若点E的坐标，点E在△ABC外接圆 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”）
（8分）21．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（8分）22．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
（10分）23．设x1，是关于x的方程的两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若，求k的值．
（10分）24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．
（10分）25．某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（400﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过进价的30%，商店计划要盈利500元，每件商品应定价多少元？需要进货多少件？
（12分）26．阅读下列材料：在苏教版九年级数学上册页中，我们通过探索知道：关于的一元二次方程，如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）关于的一元二次方程是一个“全整根方程”
当时，该全整根方程的“最值码”是__________．
若该全整根方程的“最值码”是，则的值为__________．
（2）关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”．
（3）若关于的一元二次方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）．
（12分）27．概念引入
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
概念理解
(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 ．
(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．