初中数学北师大版（2024）八年级上册2 求解二元一次方程组教案

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册2 求解二元一次方程组教案，共12页。
课时目标
1.会用代入消元法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组的“消元”思想,初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
学习重点
理解和掌握用代入消元法解二元一次方程组.
学习难点
在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
课时活动设计
回顾引入
教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题,想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.
通过设他们中有x个成人,y个儿童,我们得到了方程组x+y=8,5x+3y=34.那么成人和儿童到底去了多少人呢?
在上一节中,我们通过检验x=5,y=3是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34的解,得知这个解既是方程x+y=8的解,也是方程5x+3y=34的解,根据二元一次方程组的解的概念,得出x=5,y=3是方程组x+y=8,5x+3y=34的解.所以成人和儿童分别去了5人和3人.
问题:每一个二元一次方程的解都有无数多个,而方程组的解是方程组中各个方程的公共解,前面的方法中我们找到了这个公共解,但如果数据不巧,这可没那么容易,那么,有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢?
设计意图:培养学生养成时时回顾已学知识的习惯,并在回顾的过程中学会思考和质疑,通过质疑,自然地引出我们要研究和解决的问题.
知识回顾
用一元一次方程解决问题.
回顾七年级第一学期学习的一元一次方程,你是不是也曾碰到过类似的问题,能否利用一元一次方程求解该问题?
学生独立思考解决,教师注意指导学生规范表达.
解:设去了x个成人,则去了(8-x)个儿童.
根据题意,得5x+3(8-x)=34,解得x=5.
将x=5代入8-x,解得8-5=3.
答:去了5个成人,3个儿童.
设计意图:复习应用一元一次方程解题,为本节课的学习做准备.
探究新知
探究1 比较二元一次方程组与一元一次方程
问题:列二元一次方程组和列一元一次方程在设未知数上有何不同?列出的一元一次方程和二次一次方程组又有何联系?
先让学生独立思考,然后在充分思考的前提下,进行小组讨论,并在此基础上由学生代表回答,教师适时地引导与补充,让学生能通过观察、思考与讨论得出以下要点.
解:列二元一次方程组需要设两个未知数:x个成人和y个儿童.列一元一次方程只用设一个未知数:x个成人,儿童的个数则是用总人数减去成人的个数,得出(8-x)个.因此y应该等于8-x.而根据等式的性质,二元一次方程组中的一个方程x+y=8也可以推出y=8-x.
探究2 二元一次方程组与一元一次方程的转换
我们发现一元一次方程5x+3(8-x)=34与二元一次方程组中的第二个方程5x+3y=34类似,只需把5x+3y=34中的“y”用“8-x”代替,就转化成了一元一次方程.
引导学生发现新旧知识之间的联系,寻求解决新问题的方法,即将新知识(二元一次方程组)转化为旧知识(一元一次方程).
探究3 用二元一次方程组解决问题
上一节我们就已经知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量,所以将方程组x+y=8,①5x+3y=34②中的①变形,得y=8-x③,我们把y=8-x代入方程②,即将②中的y用(8-x)代替,得5x+3(8-x)=34,从而达到化“二元”为“一元”的目的.
教师小结:同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想,可以通过它使问题得到完美解决.下面我们来完整地求解这个二元一次方程组.
教师把解答的详细过程板书在黑板上,并要求学生一起完成.
x+y=8,①5x+3y=34.②
解:由①,得y=8-x.③
将③代入②,得5x+3(8-x)=34.
解得x=5.
把x=5代入③,得y=8-5=3.
所以原方程组的解为x=5,y=3.
再进行检验,即把求出的解代入原方程组时,代入的解必然使原方程组中的每个方程都同时成立,若不成立,则可知解有误.试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”问题.
注意:让学生自己完成,并请两个学生在黑板上规范地板书过程,教师巡视.若发现学生的闪光点,则给予表扬;若发现存在的问题,则适时辅导.
设计意图:通过对比、思考、发现,让学生惊喜地发现“温故而知新”,将新知融入旧知,使学生在解答的过程中领会“化归”的数学思想,培养学生独立获取知识的能力.
归纳总结
教师根据学生实际情况进行师与生、生与生之间的相互补充与评价,并提出以下问题:
(1)给这种解方程组的方法取个什么名字好?
(2)上面解方程组的基本思路是什么?
(3)主要步骤有哪些?
(4)观察例题的解法会发现,在解方程组之前,首先要观察方程组中未知数的特点,尽可能地选择变形后较简单和代入后化简比较容易的方程变形,这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形比较好呢?
学生分组讨论,教师深入参与到学生讨论中,发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法,请学生小组的代表回答或学生举手回答,其余学生可以补充,力求让学生能够回答出以下要点.
教师板书要点,在学生回答时注意进行积极评价.
(1)将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.
(2)解二元一次方程组的基本思路是“消元”,把“二元”变为“一元”.
(3)解上述方程组的步骤:
第一步:在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程,将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步:把此代数式代入没有变形的另一个方程中,可得一个一元一次方程.
第三步:解这个一元一次方程,得到一个未知数的值.
第四步:把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)中,求得另一个未知数的值.
第五步:检验(在草稿纸上口算或笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
第六步:把方程组的解表示出来.
(4)用“代入消元法”解二元一次方程组时,尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形;若两个未知数的系数的绝对值都不是1,则选取系数的绝对值较小的方程进行变形.
设计意图:进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路,熟练掌握解二元一次方程组的基本步骤和过程,并能对二元一次方程组的解进行检验.
典例精讲
例 解下列方程组:
(1)3x+2y=14,①x=y+3;②(2)2x+3y=16,①x+4y=13.②
解:(1)将②代入①,得3(y+3)+2y=14.
解得y=1.
把y=1代入②,得x=4.
经检验,x=4,y=1适合原方程组.
所以原方程组的解是x=4,y=1.
(2)由②,得x=13-4y.③
将③代入①,得2(13-4y)+3y=16.
解得y=2.
将y=2代入③,得x=5.
经检验,x=5,y=2适合原方程组.
所以原方程组的解是x=5,y=2.
注意:第(2)题需先进行恒等变形,教师要鼓励学生通过自主探索与交流求解,在求解过程中,学生“消元”的具体方法可能不同,所以教学中不必强求解答过程的统一,但要提出将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算更简单的问题,让学生在解题中进行思考.
设计意图:通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
巩固训练
1.用代入法解方程组x-2=y,①3x+5y=14,②下列四个选项中正确的是( A )
A.由①,得x=2+y,再代入② B.由①,得x=2-y,再代入②
C.由②,得5y=14-3x,再代入①D.由②,得x=14-5y,再代入①
2.用代入法解方程组:
(1)y+3x=6,①2x-y=-1;② (2)x+2=y+1,①x+y=5.②
解:(1)由②,得y=2x+1.③
把③代入①,得2x+1+3x=6,解得x=1.
把x=1代入③,得y=3.
所以原方程组的解是x=1,y=3.
(2)由②,得y=5-x.③
把③代入①,得x+2=5-x+1,解得x=2.
把x=2代入③,得y=3.
所以原方程组的解是x=2,y=3.
设计意图:通过练习,巩固和熟练运用代入消元法解二元一次方程组.
课堂小结
1.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的?
2.消元时应注意哪些问题?
设计意图:梳理本节所学内容,把所学知识系统化,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第110页习题5.2第1,2题.
2.七彩作业.
第1课时 代入消元法
1.代入消元法的概念.
2.通过例题,总结用代入法解方程组的一般步骤.
3.理解化归的思想.
教学反思



第2课时 加减消元法
课时目标
1.会用加减消元法解二元一次方程组.
2.进一步理解二元一次方程组的“消元”思想,体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
3.选择恰当的方法解二元一次方程组,培养学生的观察、分析能力.
学习重点
用加减消元法解二元一次方程组.
学习难点
在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
课时活动设计
回顾引入
怎样解下面的二元一次方程组呢?
3x+5y=21,①2x-5y=-11.②
学生在练习本上做,教师巡视、引导、解疑.注意发现学生在解答过程中出现的新想法,可以让用不同方法解题的学生将他们的方法写在黑板上,教师进行评析,为加减消元法的出现作铺垫.
解法一:把②变形,得x=5y-112.③
把③代入①,得3×5y-112+5y=21,
解得y=3.
把y=3代入②,得x=2.
所以原方程组的解为x=2,y=3.
解法二:由②,得5y=2x+11.③
把③代入①,得3x+(2x+11)=21,
解得x=2.
把x=2代入③,得y=3.
所以原方程组的解为x=2,y=3.
通过上面的练习发现,同学们对代入消元法都掌握得很好了,基本上都能够按要求解出二元一次方程组的解(如解法一).可是也有同学发现解法二比解法一更简便,他是将5y作为一个整体代入消元,不仅体现了代入法的核心,还体现了整体的思想.两种解法都是通过“消元”,使“二元”转化为“一元”,从而解决问题的.
设计意图:通过对已经学过的知识的回顾,激发学生们的学习兴趣,为学习新知识作铺垫.
探究新知
探究1 观察上面的方程组,你还能找出其他的解法吗?
在解法二中,我们是通过直接解出5y,把5y=2x+11代入另一个方程,从而消去一个未知数的,那么是否可以不解出5y,而是直接代入消去这个未知数呢?两个方程中的y的系数有什么关系?能否利用等式的基本性质进行加减,直接消去这个未知数呢?引导观察发现,两个方程中一个含5y,而另一个含-5y,两者互为相反数.
解:根据等式的基本性质,将方程①+方程②,得5x=10,
解得x=2.
把x=2代入①,解得y=3.
所以原方程组的解为x=2,y=3.
问题:这个解法是怎么达到“消元”的目的呢?
引导学生发现方程①和②中的5y和-5y互为相反数,根据相反数的和为0,将方程①和②的左右两边同时相加,然后根据等式的基本性质消去未知数y,得到一个关于x的一元一次方程,从而实现了化“二元”为“一元”的目的.
探究2 解方程组2x+3y=12,①3x+4y=17.②
让学生独立思考,进行小组讨论,教师巡视指导.
分析:1.方程组中两个方程的x,y的系数既不相同又不是相反数,不能直接用加减消元法解方程组.
2.可以用等式的基本性质将x或y的系数化成相等或互为相反数的情形,再用加减消元法,达到消元的目的.
3.只要在方程①和方程②的两边分别除以2和3,x的系数就变成了“1”,这样就可以用加减消元法了.
4.有同学不同意3的做法.认为如果这样的话y的系数和常数项都变成了分数,这样解更麻烦了,不如用代入消元法简便.可以找x的系数2和3的最小公倍数6,在方程①的两边同乘3,得6x+9y=36③,在方程②的两边同乘2,得6x+8y=34④,然后③-④,就可以将x消去,得y的值,代入得到x的值.
解:①×3,得6x+9y=36,③
②×2,得6x+8y=34,④
③-④,得y=2.
将y=2代入①,得x=3.
所以原方程组的解为x=3,y=2.
小结:在方程组的两个方程中,若某个未知数的系数是相反数,则可直接把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;若某个未知数的系数相等,可直接把这两个方程的两边分别相减,消去这个未知数得到一个一元一次方程,从而求出它的解.通过两式相加减消去其中一个未知数,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.
其实在我们学习数学的过程中,二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1,或同一个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是这样的方程组,我们要想比较简捷地把它解出来,就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形,从而用加减消元法,达到消元的目的.
设计意图:让学生经历合作探究的过程通过观察、发现,得到新的解二元一次方程组的方法——加减消元法,培养学生发现问题,解决问题的能力.
归纳总结
1.回忆上一节的练习和习题,看哪些题用代入消元法解起来比较简单?哪些题用加减消元法简单?让学生分组讨论,每组各派一个代表阐述自己小组的意见,试说明两种解方程组的方法的共同特点和各自的优势.
共同特点:关于二元一次方程组的两种解法:代入消元法和加减消元法,通过比较,发现其实质都是消元,即都是消去一个未知数,化“二元”为“一元”.
各自优势:只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时,用代入消元法较简单,其他的用加减消元法较简单.
2.根据上面几个方程组的解法,请同学们思考下面两个问题:
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么?
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?
解:(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是:
设计意图:对本课时内容进行回顾和总结,帮助学生梳理知识.
典例精讲
例1 解二元一次方程组2x-5y=7,①2x+3y=-1.②
解:由②-①,得8y=-8,解得y=-1.
把y=-1代入①,得2x+5=7,解得x=1.
所以原方程组的解是x=1,y=-1.
例2 解方程组:3x+2y=10,①4x-3y=2.②
解:①×3,得9x+6y=30,③
②×2,得8x-6y=4,④
③+④,得17x=34,解得x=2.
将x=2代入①,得y=2.
所以原方程组的解为x=2,y=2.
设计意图:通过练习,体会加减消元法的基本特点,熟悉加减消元法的基本步骤,提升用加减法解二元一次方程组的基本技能,积累解二元一次方程组的经验.
巩固训练
1.二元一次方程组3x-2y=4,5x-2y=6的解是( C )
A.x=1,y=-1 B.x=-1,y=-12 C.x=1,y=-12 D.x=-1,y=12
2.用加减消元法解下列方程组:
(1)5x-2y=9,5x+y=3; (2)3x+y=8,2x-y=7; (3)x4+y3=43,3(x-4)=4(y+2).
解:(1)x=1,y=-2. (2)x=3,y=-1. (3)x=6,y=-12.
注意:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程右边的形式,再做如上加减消元的考虑.
设计意图:使学生明确使用加减法的条件,体会在某些条件下使用加减法的优越性.
课堂小结
1.用加减消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的?
2.加减消元中应注意哪些问题?
设计意图:梳理本节所学内容,把所学知识系统化,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第113,114页习题5.3第1,2,3,4题.
2.七彩作业.
第2课时 加减消元法
1.加减消元法的概念.
2.通过例题,总结用加减法解方程组的一般步骤.
3.会用适当的方法解二元一次方程组.
教学反思


步骤
具体做法
变形
找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数,再分别在两方程的两边乘以适当的数,使所找的未知数的系数相等或互为相反数
加减消元
当所找的未知数的系数相等或互为相反数时,将两个方程相减或相加,得到一个一元一次方程
求解
解消元后得到的一元一次方程
回代
把求出的未知数的值代入原方程组中的任一方程,求出另一个未知数的值,从而得方程组的解
写解
用大括号把两个未知数的值联立起来