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新疆维吾尔自治区喀什第二中学2025届高三上学期9月月考数学试题
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这是一份新疆维吾尔自治区喀什第二中学2025届高三上学期9月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，设，则的大小关系为，已知定义在上的偶函数满足且，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知函数，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ）
A. B. C. D.
5.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：
A. B. C. D.
6.设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后､有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义在上的偶函数满足且，则（ ）
A.2024 B.2025 C.4048 D.4049
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知事件满足，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若与互斥，则
C.若，则与相互独立
D.若与相互独立，则
10.已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ）
A.在上单调递增
B.的图象关于直线对称
C.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D.在上仅有1个零点
11.如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为定值
B.存在点，使平面平面
C.设直线与平面所成角为，则的最大值为
D.平面截正方体所得截面的面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.一组数据的第75百分位数是__________.
13.在中，已知为线段的中点，若，则__________.
14.已知函数若，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
某机构统计了新驾驶员一年内扣除的驾照分（单位：分）及该年对应的新驾驶员数量（单位：万人），得到如下数据表格：
已知与线性相关.
（1）求关于的线性回归方程；
（2）求与的相关系数（精确到0.01）.
参考数据：.
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若，试用表示；
（2）是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
17.（本小题满分15分）
近年中国新能源汽车进入高速发展时期.专家预测2024年中国汽车总销售量将超过3100万辆，继续领跑全球.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍.
（1）完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
（2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中抽取4人，求这4人中青年人数的期望.
附：.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点.
（i）求与的面积之比；
（ii）证明：为定值.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围；
（3）若数列满足且，记数列的前项和为，求证：
喀什二中高三年级9月月考·数学试卷
参考答案､提示及评分细则
1.C ，所以.故选C.
2.B 因为复数，所以对应的点为，位于第二象限.故选B.
3.D 由题意知解得，所以的定义域为.故选D.
4.B 先将《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座全排列，共有种排法，再将《大学》《论语》《周易》看作3个元素，插入产生的7个空隔中，共有种排法，故总共有种排法.故选B.
5.A 依题意，所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为.故选A.
6.B 因为，所以，因为，所以，又因为，所以，所以.故选B.
7.A 记事件为在某次通电后､有且只有一个需要更换，事件为需要更换，则，由条件概率公式可得.故选A.
8.D 由，令，得，又令得，再令，又，所以，又，所以为的一个周期，.故选D.
9.BC 因为，所以，故A错误；若与互斥，则，故B正确；因为，所以与相互独立，故C正确；因为与相互独立，所以，所以，故D错误.故选BC.
10.ABD 由题意可知，函数的最小正周期.对于A，当时，在上单调递增，故A正确；对于的图象关于直线对称，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，当时，，仅当，即时，，故D正确.故选ABD.
11.AC 易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故A正确；以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则，，所以.设平面的一个法向量，则令，解得1，所以平面的一个法向量.又，设，则，所以.设平面的一个法向量
，则令，解得，所以平面的一个法向量.若平面平面，则，设，即，解得，又，不符合题意，所以不存在点，使平面平面，故B错误；易得平面的一个法向量为，
又，所以.因为，所以
，所以的最大值为，故C正确；在上取一点，使得，在上取一点，使得，连接，则平面截正方体所得截面为五边形.易得，所以，所以，故D错误.故选AC.
12.50 先按照从小到大排序：，共12个数据，，第9，10个数据分别为47，53，则第75百分位数为.
13.10 由，得，又为线段的中点，所以，即，所以.
14. 依题意，，可得1，函数恰有三个不同的零点，即恰有三个解，转化为函数与图象有三个交点，函数的图象如图所示.结合图象，，解得，即实数的取值范围为.
15.解：（1）由，
有，
故关于的线性回归方程为.
（2）与的相关系数
.
16.解：（1）因为，所以.
（2）不等式可化为，
即在区间上有解.
令，则，
因为，所以，
又是正整数，故的最大值为2.
17.解：（1）中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人，愿意购买燃油车的中老年人数为50人，青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人，得到如下列联表：
零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关.
（2）愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为，所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，
记这4人中，青年的人数为，则的可能取值为，
，
，
所以的分布列如下：
，
所以这4人中青年人数的期望为.
18.解：（1）根据题意故，
所以椭圆的方程为.
（2）如图所示：
设直线的方程为，则，
联立方程消去，整理得，
，得
设，则.
（i），
，
与的面积之比为1.
（ii）证明：
.
综上，.
19.（1）解：若，则，所以，
所以，又，
所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）解：，
令，所以.
当，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，所以，符合题意；
当，即时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，又，所以存在，使得所以当时，，所以在上单调递减，
所以，不符合题意.
综上，的取值范围是.
（3）证明：因为，所以，即，所以是公差为的等差数列，又，所以，所以.
由（2）知当时，
所以当时，，即.
所以
，
所以，又，
所以.新驾驶员一年内扣除的驾照分（分）
3
4
5
6
7
新驾驶员数量（万人）
1
1.1
1.5
1.9
2.2
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
200
50
250
中老年
100
50
150
合计
300
100
400
1
2
3
4
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知函数，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ）
A. B. C. D.
5.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：
A. B. C. D.
6.设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后､有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义在上的偶函数满足且，则（ ）
A.2024 B.2025 C.4048 D.4049
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知事件满足，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若与互斥，则
C.若，则与相互独立
D.若与相互独立，则
10.已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ）
A.在上单调递增
B.的图象关于直线对称
C.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D.在上仅有1个零点
11.如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为定值
B.存在点，使平面平面
C.设直线与平面所成角为，则的最大值为
D.平面截正方体所得截面的面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.一组数据的第75百分位数是__________.
13.在中，已知为线段的中点，若，则__________.
14.已知函数若，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
某机构统计了新驾驶员一年内扣除的驾照分（单位：分）及该年对应的新驾驶员数量（单位：万人），得到如下数据表格：
已知与线性相关.
（1）求关于的线性回归方程；
（2）求与的相关系数（精确到0.01）.
参考数据：.
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若，试用表示；
（2）是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
17.（本小题满分15分）
近年中国新能源汽车进入高速发展时期.专家预测2024年中国汽车总销售量将超过3100万辆，继续领跑全球.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍.
（1）完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
（2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中抽取4人，求这4人中青年人数的期望.
附：.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点.
（i）求与的面积之比；
（ii）证明：为定值.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围；
（3）若数列满足且，记数列的前项和为，求证：
喀什二中高三年级9月月考·数学试卷
参考答案､提示及评分细则
1.C ，所以.故选C.
2.B 因为复数，所以对应的点为，位于第二象限.故选B.
3.D 由题意知解得，所以的定义域为.故选D.
4.B 先将《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座全排列，共有种排法，再将《大学》《论语》《周易》看作3个元素，插入产生的7个空隔中，共有种排法，故总共有种排法.故选B.
5.A 依题意，所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为.故选A.
6.B 因为，所以，因为，所以，又因为，所以，所以.故选B.
7.A 记事件为在某次通电后､有且只有一个需要更换，事件为需要更换，则，由条件概率公式可得.故选A.
8.D 由，令，得，又令得，再令，又，所以，又，所以为的一个周期，.故选D.
9.BC 因为，所以，故A错误；若与互斥，则，故B正确；因为，所以与相互独立，故C正确；因为与相互独立，所以，所以，故D错误.故选BC.
10.ABD 由题意可知，函数的最小正周期.对于A，当时，在上单调递增，故A正确；对于的图象关于直线对称，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，当时，，仅当，即时，，故D正确.故选ABD.
11.AC 易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故A正确；以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则，，所以.设平面的一个法向量，则令，解得1，所以平面的一个法向量.又，设，则，所以.设平面的一个法向量
，则令，解得，所以平面的一个法向量.若平面平面，则，设，即，解得，又，不符合题意，所以不存在点，使平面平面，故B错误；易得平面的一个法向量为，
又，所以.因为，所以
，所以的最大值为，故C正确；在上取一点，使得，在上取一点，使得，连接，则平面截正方体所得截面为五边形.易得，所以，所以，故D错误.故选AC.
12.50 先按照从小到大排序：，共12个数据，，第9，10个数据分别为47，53，则第75百分位数为.
13.10 由，得，又为线段的中点，所以，即，所以.
14. 依题意，，可得1，函数恰有三个不同的零点，即恰有三个解，转化为函数与图象有三个交点，函数的图象如图所示.结合图象，，解得，即实数的取值范围为.
15.解：（1）由，
有，
故关于的线性回归方程为.
（2）与的相关系数
.
16.解：（1）因为，所以.
（2）不等式可化为，
即在区间上有解.
令，则，
因为，所以，
又是正整数，故的最大值为2.
17.解：（1）中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人，愿意购买燃油车的中老年人数为50人，青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人，得到如下列联表：
零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关.
（2）愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为，所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，
记这4人中，青年的人数为，则的可能取值为，
，
，
所以的分布列如下：
，
所以这4人中青年人数的期望为.
18.解：（1）根据题意故，
所以椭圆的方程为.
（2）如图所示：
设直线的方程为，则，
联立方程消去，整理得，
，得
设，则.
（i），
，
与的面积之比为1.
（ii）证明：
.
综上，.
19.（1）解：若，则，所以，
所以，又，
所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）解：，
令，所以.
当，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，所以，符合题意；
当，即时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，又，所以存在，使得所以当时，，所以在上单调递减，
所以，不符合题意.
综上，的取值范围是.
（3）证明：因为，所以，即，所以是公差为的等差数列，又，所以，所以.
由（2）知当时，
所以当时，，即.
所以
，
所以，又，
所以.新驾驶员一年内扣除的驾照分（分）
3
4
5
6
7
新驾驶员数量（万人）
1
1.1
1.5
1.9
2.2
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
200
50
250
中老年
100
50
150
合计
300
100
400
1
2
3
4
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