河南省周口市西华县致远外国语学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

这是一份河南省周口市西华县致远外国语学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后的括号内．
1．若方程是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．将一元二次方程化成一般形式为，则的值为（ ）
A．10B．－10C．8D．3
4．【新考向】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲B．丙和丁C．甲和丁D．乙和丙
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ）
A．13B．12C．11D．8
6．已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点，则该抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
7．随着新能源电动汽车数量的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，全市约有3.5万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到5.04万个，则从2023年底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（ ）
A．B．C．D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．已知三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．6或10B．10C．6D．12或10
10．在学习“二次函数的性质”时，九年级某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点分别在抛物线上．
甲：无论取何值，都有；
乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为；
丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短．
下列判断正确的是（ ）
A．只有丙说的错B．只有乙说的错
C．只有甲说的对D．甲、乙、丙说的都对
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．将一元二次方程配方后得到，则_________．
12．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围为_________．
13．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较大的数，如：，．则方程的解为_________．
14．抛物线的图象与轴交于点为常数，则的最小值为_________．
15．如图，抛物线的对称轴是，下列结论：
①；②；③当时，随的增大而减小；④．则正确的结论是_________．（填序号即可）
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）解下列方程：
（1）；（2）．
17．（9分）已知二次函数．
（1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）若是二次函数图象上的两个点，且，请比较与的大小．
18．（9分）已知关于的方程．
（1）若是方程的解，求的值；
（2）若原方程有实数根，求的取值范围；
（3）若方程的两根分别为，且，求的值．
19．（9分）如图，抛物线经过两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，将线段向右水平移动个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出的取值范围．
29．（9分）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售品牌头态，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实䜨，求该品牌头盔的实际售价．
21．【新情境】（9分）如图1是一个高脚杯的剖面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即，之间的距离）为15cm．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm）．
（1）求杯体CPD所在抛物线的解析式；
（2）将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，如图2，过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面高度（即液面到点所在水平线的距离）低于1cm，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围．
22．（10分）为实现“全民健身”，某区政府准备开发城北一块长为32m，宽为21m的矩形空地．
（1）方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，则这块草坪的面积为________；
（2）方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽度为的小路，使这块草地的面积为，求的值；
（3）方案三：修建一个面积为的矩形篮球场，使相邻两边的差为6m，若比赛用的篮球场要求长为，宽为，且满足．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由．
23．（10分）如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，其中．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在抛物线上有一点，使得，求点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标及的周长的最小值，若不存在，请说明理由．
答案
解析：抛物线的图象开口向下，顶点为，
无论取何值，都有．故甲说的对；
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为，
将抛物线向右平移3个单位，
向下平移3个单位得到抛物线，
点移动到点的最短路程为．故乙说的对；
当时，，
随着的增大而减小，
当时，随着的增大，线段由长变短，故丙说的不对．
故选A．
11．2612．13．
14．－415．②④
解析：根据抛物线的对称轴位于轴右侧知异号，则．
由抛物线与轴交于正半轴，则．
所以．故①错误；
由该抛物线的对称轴是直线知，，则．
故②正确；
由抛物线的对称轴为，所以当时，随的增大而减小，故③错误；
由图象可得，且，所以，故④正确．
16．解：（1），
或，
（2），
，
，
17．解：（1），
，
抛物线的开口向下，
对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）抛物线的开口向下，
时，随增大而减小，时，随增大而增大．
．
18．解：（1）把代入方程，得，解得
（2）当，即时，
原方程可化为，是一元一次方程，有实数根；
当，即时，原方程为一元二次方程，
要使方程有实数根，则，
即，解得．
综上，要使方程有实数根，的取值范围是；
（3）由题意可得，解得．
19．解：（1）抛物线与轴的交点坐标为两点，
抛物线的解析式为；
（2）当时，代入，得，
．
线段向右水平移动个单位长度，点的对应点在抛物线上，
点的对应点与点关于抛物线的对称轴对称，
此时点的对应点的坐标为的值为2；
当点的对应点在抛物线上，即点平移到点，此时的值为4，
若平移线段后与抛物线只有一个交点时，的取值范围为．
20．解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，则每个的销售利润为元，
月销售量为个，
根据题意得，
解得，
又尽可能让顾客得到实惠，．
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
21．解：（1），杯子的高度（即之间的距离）为15cm．
设抛物线的解析式为，
解得
抛物线的解析式为
（2）抛物线的解析式为，
平移后的解析式为，平移后，点的坐标为，
当液面高度为1cm时，液面到轴的距离为7cm，
设液面与高脚杯的交点分别为，如图所示：
当时，即，解得，
所以点．
设直线的解析式为，
由题意可得解得
设直线的解析式为，
由题意可得解得
所以剩余饮料的液面的高度低于1cm时，的取值范围是．
22．解：（1）；
（2）由题意可得，解得（舍去）．
的值为1；
（3）这个篮球场能用做比赛，
理由如下：设矩形较短的边为，则较长的边为，
由題意得，
解得（舍去），
所以较长的边为满足比赛场地的要求．
这个篮球场能用做比赛．
23．解：（1）二次函数的图象经过，
解得．
这个二次函数的解析式为；
（2）令，则，解得，
．
．
设点到轴的距离为，则，解得．
当时，即，解得．
当时，即，解得．
满足条件的点的坐标为或或；
（3）存在．
抛物线的对称轴为直线．
点与点关于对称轴对称，
连接与交于点，则点即为所求，
此时的周长最小，其最小值为，
设直线的解析式为，由题意可得解得
直线的解析式为，
当时，点的坐标为，
此时的周长最小值为．