湖北省随州市广水市第二高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

这是一份湖北省随州市广水市第二高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题，共7页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交，下列说法中不正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
考试范围：
高二数学选择性必修 第一册 第一章 空间向量与立体几何
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.32 cm
2、如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( )
A.直线AC B.直线AB C.直线CD D.直线BC
3、如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列命题正确的是( )
A.MN∥AP B.MN∥BD1 CMN∥平面BDP ∥平面BB1D1D
4、设α,β为两个不同的平面,直线l⊂α,则“l⊥β”是 “α⊥β”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5、若{a,b,c}是空间的一个基底,且向量m=a+b,n=a-b,则可以与m,n构成空间的一个基底的另一个基向量是( )
A.a B.b C.c D.2a
6、已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12x-2a,则x等于( )
A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)
7、已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cs=-12,则直线l与平面α所成的角为( )
A.150°B.60°
C.120°D.30°
8、空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离为( )
A.22B.23
C.3D.25
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9、(多选题)下列说法中不正确的是( )
A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
10、(多选题)用一个平面α截正方体,把正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是( )
A.这两部分的表面积一定不相等 B.截面不会是三角形
C.截面不会是五边形 D.截面可以是正六边形
11、(多选题)在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,直线A1C与平面AB1D1的交点为M,O为线段B1D1的中点,则下列结论正确的是(ABD)
A.A,M,O三点共线B.M,O,A1,A四点共面
C.B,B1,O,M四点共面D.A,O,C,M四点共面
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12、设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 。
13、在三棱锥P⁃ABC中,点P在平面ABC内的射影为点O。
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的 心。
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的 心。
14、已知在正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22,E为CC1的中点,则直线AC1到平面BED的距离为 。
四、解答题：本题共5小题，共75分
15、（本小题满分12分）
如图所示,在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面交BD于点H。求证:PA∥GH。
16、（本小题满分17分）
在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥P⁃BCDE。
(1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱锥P⁃BCDE的体积;
(2)若PB=PC,求证:平面PDE⊥平面BCDE。
17、（本小题满分17分）
如图,正方形ABCD的边长为22,四边形BDEF是平行四边形,BD与AC交于点G,O为GC的中点,FO=3,且FO⊥平面ABCD。
(1)求证:AE∥平面BCF;
(2)求证:CF⊥平面AEF。
18、（本小题满分17分）
如图,四棱锥P⁃ABCD中,△ABD是等边三角形,PA=PB=PD,BC=CD。
(1)证明:BD⊥PC;
(2)若BD=23,CD=AP=7,求点A到平面PCD的距离。
19、（本小题满分12分）
在直棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD
且∠ADC=90°,AD=1,CD=3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1到平面ABE的距离。
参考答案
1、B 2、C 3、D 4、A 5、C 6、B 7、D 8、A
9、ABC 10、BCD 11、ABD
12、α内有两条相交直线与β平行 13、(1)外心、(2)垂心。 14、1
15、证明 如图所示,连接AC交BD于点O,连接OM,因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,又M是PC的中点,所以PA∥OM,又OM⊂平面BMD,PA⊄平面BMD,所以PA∥平面BMD,又平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH。
在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,一定注意定理成立的条件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交,这时才有直线与交线平行。
16、解
(1)如图所示,取DE的中点M,连接PM,由题意知,PD=PE,所以PM⊥DE,又平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,PM⊂平面PDE,所以PM⊥平面BCDE,即PM为四棱锥P⁃BCDE的高。在等腰直角三角形PDE中,PE=PD=AD=2,所以PM=12DE=2,而直角梯形BCDE的面积S=12(BE+CD)·BC=12×(2+4)×2=6,所以四棱锥P⁃BCDE的体积V=13PM·S=13×2×6=22。
(2)证明:如图,取BC的中点N,连接PN,MN,则BC⊥MN,因为PB=PC,所以BC⊥PN,又MN∩PN=N,MN,PN⊂平面PMN,所以BC⊥平面PMN,因为PM⊂平面PMN,所以BC⊥PM,由(1)知,PM⊥DE,又BC,DE⊂平面BCDE,且BC与DE是相交的,所以PM⊥平面BCDE,因为PM⊂平面PDE,所以平面PDE⊥平面BCDE。
17、证明
如图,取BC的中点H,连接OH,则OH∥BD,又四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,所以OH⊥AC,故以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),C(-1,0,0),D(1,-2,0),F(0,0,3),B(1,2,0)。BC=(-2,-2,0),CF=(1,0,3),BF=(-1,-2,3)。
(1)设平面BCF的法向量为n=(x,y,z)。则n·BC=0,n·CF=0,即-2x-2y=0,x+3z=0,取z=1,得n=(-3,3,1)是平面BCF的一个法向量。又四边形BDEF为平行四边形,所以DE=BF=(-1,-2,3),所以AE=AD+DE=BC+BF=(-2,-2,0)+(-1,-2,3)=(-3,-4,3),因为AE·n=33-43+3=0,所以AE⊥n,又AE⊄平面BCF,所以AE∥平面BCF。
(2)因为AF=(-3,0,3),CF·AF=-3+3=0,CF·AE=-3+3=0,所以CF⊥AF,CF⊥AE,即CF⊥AF,CF⊥AE。又AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,所以CF⊥平面AEF。
18、解
①
(1)证明:如图①,连接AC,交BD于点O,连接PO。由AD=AB,CD=BC,AC=AC,可得△ABC≌△ADC,所以∠BAC=∠DAC,又AO=AO,所以△AOB≌△AOD,所以BO=OD,即O为BD的中点。在等腰△PBD中,可得BD⊥OP,在等腰△BCD中,可得BD⊥OC,又OP∩OC=O,OP,OC⊂平面POC,所以BD⊥平面POC,又PC⊂平面POC,所以BD⊥PC。
(2)由(1)可得,AC⊥BD,又CD=7,OD=12BD=3,所以CO=CD2-OD2=2,AO=3OD=3。由于P⁃ABD为正三棱锥,所以点P在底面ABD上的射影一定在AO上,设该射影为M,连接PM,如图②所示。根据正三棱锥的性质可得AM=23AO=2,PM=AP2-AM2=3。以O为原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz,可
得A(3,0,0),C(-2,0,0),D(0,-3,0),P(1,0,3),PC=(-3,0,-3),DC=(-2,3,0),AC=(-5,0,0)。设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·PC=0,n·DC=0,即-3x-3z=0,-2x+3y=0,令x=3,可得n=(3,2,-3)为平面PCD的一个法向量,所以点A到平面PCD的距离d=|n·AC|n=534,故点A到平面PCD的距离为534。
②
19、解
如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,3,1),C(0,3,0)。过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=3,所以B(1,23,0),B1(1,23,2)。所以AB=(0,23,0),BE=(-1,-3,1)。设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=0,n·BE=0,即23y=0,-x-3y+z=0,所以y=0,x=z,取x=1,则z=1,所以n=(1,0,1)是平面ABE的一个法向量。因为A1B1=AB=(0,23,0),所以AB∥A1B1,又AB⊂平面ABE,A1B1⊄平面ABE,所以A1B1∥平面ABE,所以点A1到平面ABE的距离即为所求。因为AA1=(0,0,2),所以A1B1到平面ABE的距离为|AA1·n|n=22=2。