2024-2025学年贵州省遵义市红花岗区高二（上）开学数学试卷(含答案）

这是一份2024-2025学年贵州省遵义市红花岗区高二（上）开学数学试卷(含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.过点P(5,2)且斜率为−1的直线的点斜式方程为( )
A. y=−x+7B. y−2=−(x−5)
C. y+2=−(x+5)D. y−5=−(x−2)
2.直线l1：2x−3y+5=0与l2：x+y−10=0的交点坐标是( )
A. (5,5)B. (2,3)C. (3,7)D. (8,5)
3.已知向量a=(x,2,3)，b=(3,−4,−3)，若(a+b)⊥a，则x=( )
A. −4B. 4C. −4或1D. 4或−1
4.若直线l1：ax−y−2=0与l2：x−ay+2=0平行，则它们之间的距离为( )
A. 8 2B. 6 2C. 4 2D. 2 2
5.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. a，b−c，b−a−c
B. a+b，a−2b+c，b+c
C. a−2b，b+c，a+2c
D. a−b+c，2b+c，a+b+2c
6.若直线l：(a−2)x+ay+2a−3=0经过第四象限，则a的取值范围为( )
A. (−∞,0)∪(2,+∞)B. (−∞,0)∪[2，+∞)
C. (−∞,0)∪(32,+∞)D. (−∞,0)∪[32,+∞)
7.如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，∠ABC=2π3，则折后直线AC与平面OEF所成角的正弦值为( )
A. 77 B. 1111
C. 3 1313 D. 217
8.已知(m,n)为直线x+y−1=0上的一点，则 m2+n2+ (m+2)2+n2的最小值为( )
A. 10B. 2 3C. 4D. 3 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PB，PD的中点，则( )
A. BF在AD方向上的投影向量为12AD
B. EF在AD方向上的投影向量为AD
C. CE在AB方向上的投影向量为−12AB
D. CF在AB方向上的投影向量为−AB
10.直线l1：y=ax+b与l2：y=bx+a在同一平面直角坐标系内的位置可能是( )
A. B. C. D.
11.若三条不同的直线l1：mx+2y−6=0，l2：x+y−1=0，l3：3x+y−5=0不能围成一个三角形，则m的取值可能为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
12.在空间直角坐标系O−xyz中，若A(1,2,3)，B(2,−1,0)，C(−1,2,0)，D四点可以构成一个平行四边形，则点D的坐标可以为( )
A. (0,−1,−3)B. (−2,5,3)C. (4,−1,3)D. (3,−2,0)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(2,−1,3)关于x轴对称的点的坐标为______．
14.已知A(m,−2)，B(2,5)，C(3,7)三点在同一条直线上，则m= ______．
15.如图，已知二面角A−EF−D的平面角大小为π3，四边形ABFE，EDCF均是边长为4的正方形，则|BD|= ______．
16.某公园的示意图为如图所示的六边形ABCDEF，其中AB⊥AF，AF//BC，AB//DE，∠BCD=∠AFE，且tan∠BCD=−34，CD=EF=50米，BC=DE=80米.若计划在该公园内建一个有一条边在AB上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积(单位：平方米)的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l1经过点A(2,3)．
(1)若l1与直线l2：x+2y+4=0垂直，求l1的方程；
(2)若l1在两坐标轴上的截距相等，求l1的方程．
18.(本小题12分)
《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑P−ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D为PC的中点，BE=2EA．
(1)设PA=a，PB=b，BC=c，用a，b，c表示DE；
(2)若|PA|=|PB|=|BC|=1，求AC⋅DE．
19.(本小题12分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，E，F，G分别为B1C1，AC，A1C的中点，AA1=AB=2．
(1)求直线D1F与EG所成角的余弦值；
(2)求点D1到平面EFG的距离．
20.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为等腰梯形，OA//BC，点A(4,2)，B(1,4)．
(1)求点C的坐标；
(2)求等腰梯形OABC的面积．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，E，F分别是PB，CD的中点，M是PD上一点．
(1)证明：EF//平面PAD．
(2)若AE⊥MF，求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知△ABC的三个顶点是A(1,1)，B(3,3)，C(2,8)．
(1)过点B的直线l1与边AC相交于点D，若△BCD的面积是△ABD面积的3倍，求直线l1的方程；
(2)求∠BAC的角平分线所在直线l2的方程．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.B
6.C
7.A
8.A
9.ACD
10.ABC
11.BCD
12.ABC
13.(2,1,−3)
14.−32．
15.4 2
16.338003
17.解：(1)由题可知，l2的斜率为−12，
设l1的斜率为k，因为l1⊥l2，所以−12k=−1，则k=2，
又l1经过点A(2,3)，所以l1的方程为y−3=2(x−2)，即2x−y−1=0；
(2)若l1在两坐标轴上的截距为0，即l1经过原点，设l1的方程为y=kx，
将A(2,3)代入解析式得2k=3，解得k=32，
故l1的方程为3x−2y=0，
若l1在两坐标轴上的截距不为0，则设l1的方程为xa+ya=1，
由2a+3a=1，得a=5，
故l1的方程为x+y−5=0，
综上，l1的方程为x+y−5=0或3x−2y=0．
18.解：(1)连接BD，PE，如图，DE=PE−PD=PA+AE−PB−BD，
因为D为PC的中点，BE=2EA，
所以AE=13AB=13PB−13PA，BD=12BP+12BC=−12PB+12BC，
所以DE=PE−PD=PA+AE−PB−BD=PA+(13PB−13PA)−PB−(−12PB+12BC)
=23PA−16PB−12BC=23a−16b−12c；
(2)因为AC=AP+PB+BC=−PA+PB+BC，
所以AC⋅DE=(−PA+PB+BC)⋅(23PA−16PB−12BC)=−23PA2−16PB2−12BC2+56PA⋅PB+76PA⋅BC−23PB⋅PC，
因为PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，且PB，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PAB，
所以PA⊥PB，PA⊥BC，PB⊥BC，
又因为|PA|=|PB|=|BC|=1，
所以−23PA2−16PB2−12BC2+56PA⋅PB+76PA⋅BC−23PB⋅PC=−23−16−12=−43，即AC⋅DE=−43．
19.解：(1)连接BD，因为底面ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
因为F，G分别为AC，A1C的中点，
所以FG//AA1，
则FG⊥平面ABCD，
以F为坐标原点，FA，FB，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由∠BAD=60°，AA1=AB=2，
得F(0,0,0)，D1(0.−1,2)，G(0,0,1)，E(− 32,12,2)，
则D1F=(0,1,−2)，GE=(− 32,12,1)，
可得cs=D1F⋅GE|D1F||GE|=12−2 5× 2=−3 1020，
故直线D1F与EG所成角的余弦值为3 1020；
(2)由(1)知FG=(0,0,1)，
设平面EFG的法向量为m=(x0,y0,z0)，
则− 32x0+12y0+z0=0,z0=0,
令x0=1，得m=(1, 3,0)，
所以点D1到平面EFG的距离为|D1F⋅m||m|= 32．
20.解：(1)因为OA//BC，所以kBC=kOA=2−04−0=12．
又B(1,4)，所以直线BC的方程为y=12x+72．
设C(a,12a+72)，由|AB|=|OC|，得a2+(12a+72)2=13，
解得a=−3或a=15．
当a=−3时，OC/​/AB，不符合题意．
当a=15时，OC与AB不平行，符合题意，故点C的坐标为(15,185)．
(2)|OA|= 42+22=2 5，|BC|= (1−15)2+(4−185)2=2 55，
点B(1,4)到直线OA：x−2y=0的距离d=|1−8| 12+(−2)2=7 55，
故等腰梯形OABC的面积S=12(|OA|+|BC|)d=425．
21.(1)证明：取PA的中点N，连接EN，DN，如图所示：
因为E是PB的中点，所以EN/​/AB，且EN=12AB；
又因为四边形ABCD为正方形，F是CD的中点，所以EN//DF，且EN=DF，
所以四边形ENDF为平行四边形，所以EF//DN，
因为EF⊄平面PAD，DN⊂平面PAD，所以EF/​/平面PAD．
(2)解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
设AB=2，则E(1,0,1)，F(1,2,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)；
设PM=λMD，则M(0,2λ1+λ,21+λ)，
AE=(1,0,1)，MF=(1,21+λ,−21+λ)；
因为AE⊥MF，所以AE⋅MF=1−21+λ=0，解得λ=1，
所以EM=(−1,1,0)，MF=(1,1,−1)，AF=(1,2,0)；
设平面AMF的法向量为m=(x,y,z)，则x+2y=0x+y−z=0，
令y=1，得m=(−2,1,−1)；
设平面EMF的法向量为n=(a,b,c)，则a+b−c=0−a+b=0，
令b=1，得n=(1,1,2)，计算cs=m⋅n|m||n|=−2+1−2 4+1+1× 1+1+4=−12，
因为两平面的夹角范围是[0,π2]，所以平面AMF与平面EMF夹角的余弦值为12．
22.解：(1)因为△BCD的面积是△ABD面积的3倍，所以DC=3AD，
设D(x0,y0)，则AD=(x0−1,y0−1)，DC=(2−x0,8−y0)，
则2−x0=3(x0−1)8−y0=3(y0−1)，解得x0=54y0=114，
故直线l1的方程为y−3=3−1143−54(x−3)，即x−7y+18=0．
(2)显然，l2的斜率存在且不为零，设l2的方程为y−1=k(x−1)，
则过点B且与l2垂直的直线l的方程为y−3=−1k(x−3)．
设点B关于直线l对称的点为B′(x1,3−1k(x1−3))，因为直线AC的方程为7x−y−6=0，
所以7x1−3+1k(x1−3)−6=03+3−1k(x1−3)2−1=k(3+x12−1)，
整理得2k3−3k2−2k=0．
因为k≠0，所以2k2−3k−2=0，解得k=2或k=−12．
又kAC=7>0，kAB=1>0，所以k>0，
故直线l2的方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0．