2024-2025学年江苏省赣榆高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省赣榆高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某工厂生产A，B，C，3种不同型号的产品，产量之比为3：2：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量n=( )
A. 40B. 60C. 80D. 100
2.复数z=i1+i+(1+i)2，则z−的虚部为( )
A. 52B. 52iC. −52D. −52i
3.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是( )
A. α∩β=a，b⊂α⇒a//b
B. α∩β=a，a//b⇒b//α且b//β
C. a//β，b//β，a⊂α，b⊂α⇒α//β
D. α//β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a//b
4.已知点P(2,1)在角θ的终边上，则sin(2θ−π)1+sin(π2−2θ)=( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
5.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=4，E为棱AC的中点，则异面直线A1E与BC所成角的余弦值为( )
A. − 55B. − 510C. 55D. 510
6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，a=2c，B=π3，则△ABC的面积为( )
A. 2 3B. 3 3C. 6 3D. 6
7.平面向量a，b，c，两两的夹角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|=( )
A. 2B. 4或 5C. 5或3D. 2或5
8.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，a+2csA=b+2csB，a≠b，则▵ABC面积的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为偶数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是( )
A. A与B互斥B. A与D互为对立事件
C. P(C)=12D. P(CD)=P(B)
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有( )
A. a=bcsC+ccsB
B. 若a2sinB，则A>B
D. 若csA>sinB，则△ABC为钝角三角形
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥D1−PA1A的体积为定值
B. AP+PC的最小值为2 2
C. A1P//平面ACD1
D. 直线A1P与AC所成的角的取值范围是0,π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 ．
13.已知向量a=(2,1)，b=(x,2)，若a⊥(2a−5b)，则实数x的值为______．
14.已知△ABC中，A，B，C对应边分别是a，b，c，若a2−b2=bc，则AB= ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知a=(1,sinα)，b=(5,3)，且a/​/b，其中α是第二象限角．
(1)求cs(α+π3)的值;
(2)若tan(α+β)=2，求tanβ的值．
16.(本小题12分)
某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如图频率分布直方图：
(1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；
(2)根据样本频率分布直方图估计样本的平均数；
(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.(精确到1)
17.(本小题12分)
甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为34，乙每轮答对的概率为23.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求两人在两轮比赛中都答对的概率；
(2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；
(3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，PA= 5，PD⊥CD，PB⊥BD，点N在棱PC上，平面PBD⊥平面ABCD．
(1)证明：AB⊥PB；
(2)若PA//平面BDN，求三棱锥N−PAD的体积；
(3)若二面角N−BD−C的平面角为π4，求PNNC．
19.(本小题12分)
类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．
已知复变函数f(x)=xn+1xn，x∈C，n∈N∗．
(1)当n=1时，解关于x的方程：f(x)=1；
(2)当n=2时，
①若|x|=1，求f(x)的最小值；
②若存在实部不为0的虚数x和实数M，使得f(x)≥M成立，求|x|的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.A
5.D
6.C
7.D
8.A
9.ABD
10.ACD
11.ACD
12.1316
13.0
14.2
15.解：(1)因为已知a=(1,sinα)，b=(5,3)，且a//b，
所以sinα=35；
又因为α是第二象限角所以csα=− 1−925=−45，
所以cs(α+π3)=12csα− 32sinα=−4+3 310；
(2)由(1)可知csα=−45，则tanα=sinαcsα=−34．
因为tan(α+β)=2，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2，
所以tanβ=−112．
16.解：(1)依题意，设区间[80,90)中应抽x人，区间[90,100]中应抽y人，得：
成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：0.045×10×100=45；
成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：0.03×10×100=30；
所以545+30=x45=y30，解得x=3，y=2，
所以区间[80,90)中应抽3人，区间[90,100]中应抽2人．
(2)根据样本频率分布直方图估计样本的平均数为：
x−=10×(65×0.01+75×0.015+85×0.045+95×0.03)=84.5．
(3)由频率分布直方图易得，[90,100]的频率为0.03×10=0.3，[80,100]的频率为0.045×10+0.3=0.75，
所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为x0，
故(90−x0)×0.045+0.3=0.6，解得x0=83.333≈83，
所以成绩良好的最低分数线为83．
17.解：(1)根据题意，甲每轮答对的概率为34，
乙每轮答对的概率为23，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，
则两人在两轮比赛中都答对的概率为P=34×23×34×23=14；
(2)设事件A表示“甲第一轮答对”，事件B表示“乙第一轮答对”，事件C表示“甲第二轮答对”，
事件D表示“乙第二轮答对”，事件E表示“两人在两轮活动中至少答对3道题”，
则E=ABCD∪A−BCD∪AB−CD∪ABC−D∪ABCD−，
∴两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为：
P(E)=P(ABCD)+P(A−BCD)+P(AB−CD)+P(ABC−D)+P(ABCD−)
=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A−)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B−)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C−)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D−)
=34×23×34×23+14×23×34×23+34×13×34×23+34×23×14×23+34×23×34×13=23．
(3)设事件A2，A3分别表示甲三轮答对2个，3个题目，B2，B3表示乙三轮答对2个，3个题目，
则P(A2)=3×34×34×14=2764，
P(A3)=(34)3=2764，
P(B2)=3×23×23×13=49，
P(B3)=(23)3=827，
设事件Q表示“两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”，
则Q=A2B2∪A3B3，且A2，A3，B2，B3相互独立，
∴两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为：
P(Q)=P(A2B2)+P(A3B3)
=P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)
=2764×49+2764×827=516．
18.解：(1)∵面PBD⊥面ABCD，面PBD∩面ABCD=BD，PB⊥BD，PB⊂面PBD，
∴PB⊥面ABCD，
又∵AB⊂面ABCD，
∴PB⊥AB;
(2)∵PA//面BDN，PA⊂面PAC，面PAC∩面BDN=NO，
∴PA//NO，可知N为PC中点，
∴VN−PAD=12VC−PAD=12VP−ACD=12×13×2× 32= 36;
(3)由题意知PB⊥面ABCD，过点N作PB平行线交BC于点H，
∴NH⊥面ABCD，再作HK⊥BD(K为垂足)，
∴∠NKH为二面角N−BD−C的平面角，∠NKH=π4，
不妨设NH=x=KH，NC= 2x，BH=2−x且BH=2KH，∴x=23=NH，
∴PNNC=2 2− 2x 2x=2．
19.解：(1)由题意得x+1x=1，整理得x2−x+1=0，
x=1± 1−42=1± 3i2；
(2)①当n=2时，f(x)=x2+1x2，设x=a+bi(a,b∈R)，
因为|x|=1，所以a2+b2=1，
f(x)=x2+1x2=(a+bi)2+1(a+bi)2
=(a2−b2)+2abi+1(a2−b2)+2abi
=(a2−b2)+2abi+(a2−b2)−2abi[(a2−b2)+2abi][(a2−b2)−2abi]
=(a2−b2)+2abi+(a2−b2)−2abi(a2−b2)2+4a2b2
=(a2−b2)+2abi+(a2−b2)−2abi(a2+b2)2
=(a2−b2)+2abi+(a2−b2)−2abi
=2(a2−b2)
=2(2a2−1)≥−2，
当且仅当a=0时，取等号，所以f(x)的最小值为−2；
②设x=a+bi(a,b∈R,a≠0,b≠0)，
则f(x)=x2+1x2=(a+bi)2+1(a+bi)2
=(a2−b2)+2abi+1(a2−b2)+2abi
=(a2−b2)+2abi+(a2−b2)−2abi[(a2−b2)+2abi][(a2−b2)−2abi]
=(a2−b2)+2abi+(a2−b2)−2abi(a2−b2)2+4a2b2
=(a2−b2)+2abi+(a2−b2)−2abi(a2+b2)2
=(a2−b2)+a2−b2(a2+b2)2+2abi−2abi(a2+b2)2
=(a2−b2)+a2−b2(a2+b2)2+[2ab−2ab(a2+b2)2]i，
因为存在实数M，使得f(x)≥M成立，
所以f(x)为实数，所以2ab−2ab(a2+b2)2=0，
因为a≠0，b≠0，所以a2+b2=1，
当a2+b2=1时，f(x)=2(a2−b2)=2(2a2−1)>−2(a≠0)，符合题意，
此时x=a+bi(a,b∈R,a≠0,b≠0)，则|x|= a2+b2=1，
所以|x|的取值范围为{1}．