2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线y=1−xtan72∘的倾斜角为( )
A. 108∘B. 72∘C. 118∘D. 18∘
2.向量a=(1,2,3)，b=(−2,−4,−6)，|c|= 14，若(a+b)⋅c=−7，则a与c的夹角为( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
3.已知直线l1:mx+y−1=0，l2：3m−2x+my−2=0，若l1//l2，则实数m的值为( )
A. 2B. 1C. 1或2D. 0或13
4.将一枚均匀的骰子抛掷2次，事件A=“没有出现1点”，事件B=“出现一次1点”，事件C=“两次抛出的点数之和是8”，事件D=“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是( )
A. 事件A与事件B是对立事件B. 事件A与事件D是相互独立事件
C. 事件C与事件D是互斥事件D. 事件C包含于事件A
5.已知点M是直线y=x+1上一点，A(1,0)，B(2,1)，则|AM|+|BM|的最小值为( )
A. 2B. 2 2C. 1+ 2D. 10
6.已知在矩形ABCD中，AB=1，BC= 3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则BD=( )
A. 102B. 62C. 52D. 2
7.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则点A1到平面ECC1的距离为( )
A. 15B. 55C. 2 55D. 25
8.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，AA1=3，AB=4，CD=2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为( )
A. 39921B. 27321C. 2 4221D. 4221
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是265
B. 已知点A(2,0)，B(0,4)，若过P(−6,−8)的直线l与线段AB不相交，则直线l的斜率k∈(−∞,1)∪(2,+∞)
C. 若样本数据x1，x2，⋯，x10的标准差为8，则2x1−1，2x2−1，⋯，2x10−1的标准差为32
D. 在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB+AD+AA1=AC1
10.铁蒺藜在古代能抵挡敌人骑兵的进攻，有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2，在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若AB=2，则( )
A. 该几何体的表面积为12 3B. 该几何体的体积为4
C. 直线HM与直线GN所成的角为π3D. 二面角B−EF−H的余弦值为13
11.已知正方体的棱长为2，点P满足CP=λCD+μCC1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，E为棱DD1的中点，则下列说法正确的有( )
A. 若B1P//平面A1BE，则点P的轨迹的长度为 2
B. 当μ=1时，△ABP的面积为定值
C. 当λ+μ=12时，三棱锥P−AB1D1的体积为定值
D. 当λ=12时，存在点P使得BP⊥平面A1B1E
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.6，P(AB)=0.42，则P(A+B)= ．
13.已知直线过点(2,3)，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ．
14.已知三棱锥P−ABC的体积为6,M是空间中一点，PM=−115PA+215PB+415PC，则三棱锥A−MBC的体积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)试用a，b，c表示向量AC、BD1;
(2)若∠A1AD=∠A1AB=120∘，求点A到直线BD1的距离．
16.(本小题15分)
已知直线l:(2m+2)x+(1−4m)y−2m−7=0
(1)证明无论m为何值，直线l与直线x−2y−1=0总相交;
(2)求点Q(2,4)到直线l距离的最大值;
(3)若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△AOB面积的最小值．
17.(本小题15分)
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄从小到大分成5组，得到如图所示频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数;(结果用小数表示)
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
(ⅰ)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率;
(ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35∼45岁所有人的年龄的方差．
18.(本小题17分)
如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=π2，F为PA的中点，PD= 2,AB=AD=12CD=1，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．
(1)求证：AC//平面DEF；
(2)求二面角A−PB−C的正弦值；
(3)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为π6？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120∘时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120∘时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cs2B+cs2C−cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.D
5.D
6.A
7.C
8.D
9.AB
10.ABC
11.ABC

13.3x−2y=0或x+2y−8=0
14.4
15.解：(1)由向量的加减运算法则知，在正方形ABCD中，AC=AB+AD=a+b．
连接AD1，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，BD1=AD1−AB=AD+DD1−AB=AD+AA1−AB=b+c−a．
(2)由题意知|a|=|b|=1，c= 2，⟨a,b⟩=90∘，⟨a,c⟩=120∘，⟨b,c)=120∘，
BA⋅BD1=−a⋅(b+c−a)=−a⋅c+a2−a⋅b=−1×2×cs 120∘+1−1×1⋅cs90∘=1+1=2，
|BD1|= (b+c−a)2= b2+c2+a2+2(b⋅c−a⋅b−a⋅c)
= 1+4+1+2×[−1−(−1)]= 6，
所以点A到直线BD1的距离：d=BA 1−BA·BD1BABD12=1× 1−21× 62
= 33．

16.(1)证明：直线l:(2m+2)x+(1−4m)y−2m−7=0的方程可化为(2x−4y−2)m+2x+y−7=0．
令2x−4y−2=0,2x+y−7=0,解得x=3,y=1,故直线l经过定点(3,1)．
因为(3,1)是直线x−2y−1=0上一点，经检验，直线l与直线x−2y−1=0不重合，
所以无论m为何值，直线l与直线x−2y−1=0总相交．
(2)解：因为直线恒过定点(3,1)，
点Q(2,4)与定点(3,1)间的距离，就是所求点Q(2,4)到直线l的距离的最大值，
即 (3−2)2+(1−4)2= 10；
(3)解：由(1)可知，直线l经过定点(3,1)，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，
不妨令l的方程为y=k(x−3)+1，k0,x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|得m+n=t，
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
则m+n+2=mn，而m>0,n>0，故m+n+2=mn⩽(m+n2)2，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时等号成立，
又m+n=t，即有t2−4t−8⩾0，解得t⩾2+2 3或t⩽2−2 3(舍去)，
故实数t的最小值为2+2 3．