2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈Z|x2+3x0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，则1x+3y的最小值是( )
A. 8B. 12C. 16D. 10+2 3
6.已知随机事件A，B，C中，A与B相互独立，B与C对立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，则P(A∪B)=( )
A. 0.4B. 0.58C. 0.7D. 0.72
7.甲、乙、丙、丁四个人在一次比赛中只有一人得奖，在问到谁得奖时，四人的回答如下：
甲：乙得奖．
乙：丙得奖．
丙：乙说错了．
丁：我没得奖．
四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
8.设a=lg52，b=0.50.6，c=0.60.5，则( )
A. c>b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a>c>b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sin(2x+π6)，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π3)的图象
B. 直线x=π3是f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)在[π4,π2]上单调递减
D. f(x)的图象关于点(5π12,0)对称
10.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是( )
参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m，x−，s12；n，y−，s22.记样本平均数为ω−，样本方差为s2，s2=mm+n[s12+(x−−ω−)2]+nm+n[s22+(y−−ω−)2]
A. 男生样本容量为50B. 每个女生被抽到的概率110
C. 抽取的样本的均值为165D. 抽取的样本的方差为43
11.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为4，M是侧面ADD′A′上的一个动点(含边界)，点P在棱CC′上，且|PC′|=1，则下列结论正确的有( )
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 73
B. 保持PM与BD′垂直时，点M的运动轨迹长度为3 2
C. 若保持|PM|=2 5，则点M的运动轨迹长度4π3
D. 平面AD′P截正方体ABCD−A′B′C′D′所得截面为等腰梯形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,m−1)，b=(m,m+3)，若a⋅b=−|a|⋅|b|，则m的值为______．
13.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB，AC=BD=6，AB=8，则CD= ______．
14.若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t，其中t∈N∗，则t的一个取值可以为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinA= 3a．
(1)求C；
(2)若c=7，△ABC的面积为10 3，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，得到如下频率分布直方图．
(1)求a的值并估计这50名男生的身高的第60百分位数；
(2)求这50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人数；
(3)从这50名男生身高在176cm以上(含176cm)的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在180cm以上(含180cm)的概率．
17.(本小题15分)
如图，在底面为菱形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为棱BC，PD的中点，Q是线段PC上的一点．
(1)若Q是直线PC与平面AEF的交点，试确定PQPC的值；
(2)若三棱锥C−EQA的体积为 36，求直线AQ与平面AEF所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=asinx+bcsx，称非零向量p=(a,b)为f(x)的“特征向量”，f(x)为p的“特征函数”．
(1)设函数ℎ(x)=2sin(π3−x)−cs(π6+x)，求函数ℎ(x)的“特征向量”；
(2)若函数f(x)的“特征向量”为p=(1, 3)，求当f(x)=85且x∈(−π3,π6)时sinx的值；
(3)若p=( 3,1)的“特征函数”为f(x)，x∈[0,11π6]且方程f2(x)+(2−a)f(x)+a−3=0存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量u=(a,b,c)，点P0(x0,y0,z0).若平面α以u为法向量且经过点P0，则平面α的点法式方程可表示为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，一般式方程可表示为ax+by+cz+d=0．
(1)若平面α1：2x−y−1=0，平面β1：3y−2z+1=0，直线l为平面α1和平面β1的交线，求直线l的一个方向向量；
(2)已知集合P={(x,y,z)||x|≤1，|y|≤1，|z|≤1}.Q={(x,y,z)||x|+|y|+|z|≤2}，T={(x,y,z)||x|+|y|≤2，|y|+|z|≤2，|z|+|x|≤2}.记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1，P∩Q中所有点构成的几何体的体积为V2，集合T中所有点构成的几何体为W．
(ⅰ)求V1和V2的值；
(ⅱ)求几何体W的体积V3和相邻两个面(有公共棱)所成二面角的余弦值．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.C
6.B
7.D
8.A
9.CD
10.ABD
11.BCD
12.−1
13.10
14.25(答案不唯一)
15.解：(1)因为2csinA= 3a，
由正弦定理可得2sinCsinA= 3sinA，
在锐角△ABC中，可得sinA>0，
可得sinC= 32，可得C=π3；
(2)因为c=7，S=12absinC=12ab⋅ 32=10 3，
解得ab=40，
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−2ab−2ab⋅12，
即49=(a+b)2−2×40−40，
可得a+b=13，
所以△ABC的周长为a+b+c=13+7=20．
16.解：(1)由频率分布直方图的性质可得，4×(a+0.07+0.08+0.02+0.02+0.01)=1，
解得a=0.05，
因为4×(0.05+0.07)=0.480.6，
所以第60百分位数位于[168,172)，设其为m，
则0.48+(m−168)×0.08=0.6，
解得m=169.5，
即估计这50名男生的身高的第60百分位数为169.5cm；
(2)身高在176cm以上(含176cm)的频率为：0.02×4+0.01×4=0.12，
所以这50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人数为：50×0.12=6人；
(3)这50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人数为6人，
其中[176,180)中有0.02×4×50=4人，[180,184]中有0.01×4×50=2人，
从这50名男生身高在176cm以上(含176cm)的人中任意抽取2人，
基本事件总数n=C62=30，
该2人中身高恰有1人在180cm(含180cm)以上包含的基本事件个数m=C41C21=8，
该2人中身高恰有1人在180cm(含180cm)以上的概率为：P=mn=830=415．
17.解：(1)因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，
所以△ABC是等边三角形，所以AE⊥BC，又，PA⊥平面ABCD，
所以在A点处AE，AD，AP两两互相垂直，
则以A为原点，分别以AE，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则依题意有E( 3,0,0)，F(0,1,1)，P(0,0,2)，A(0,0,0)，C( 3,1,0)，
则AE=( 3,0,0)，AF=(0,1,1)，PC=( 3,1,−2)，设PQ=kPC=( 3k,k,−2k)，
则AQ=AP+PQ=( 3k,k,2−2k)，
因为Q是直线PC与平面AEF的交点，所以AQ，AE，AF共面，
所以存在实数m，n，使得AQ=mAE+nAF，即( 3k,k,2−2k)=( 3m,n,n)，
所以 3k= 3mk=n2−2k=n，解得m=23n=23k=23，
所以PQ=23PC，即PQPC=23．
(2)依题意有S△AEC=12EC⋅AE=12×1× 3= 32，
设Q到底面ABCD的距离为d，
则VC−AEQ=VQ−AEC=13S△AEC⋅d=13× 32d= 36，所以d=1，
所以Q是PC中点，则Q( 32,12,1)，所以AQ=( 32,12,1)．
设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AE= 3x=0m⋅AF=y+z=0，令y=1，则x=0，z=−1，所以m=(0,1,−1)，
设直线AQ与平面AEF所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|m⋅AQ||m||AQ|=|12−1| 1+1× 34+14+1=14，
直线AQ与平面AEF所成角的正弦值为14．
18.解：(1)因为ℎ(x)=2( 32csx−12sinx)−( 32csx−12sinx)= 32csx−12sinx，
所以ℎ(x)的“特征向量”为p=(−12, 32)；
(2)由题意知f(x)=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)，
由f(x)=85，得2sin(x+π3)=85，sin(x+π3)=45，
因为x∈(−π3,π6)，x+π3∈(0,π2)，
所以cs(x+π3)=35，
所以sinx=sin[(x+π3)−π3]=12sin(x+π3)− 32cs(x+π3)=4−3 310；
(3)f(x)= 3sinx+csx=2sin(x+π6)，当x∈[0,11π6]时，x+π6∈[π6,2π]，
由f2(x)+(2−a)f(x)+a−3=0，得(f(x)−1)(f(x)−(a−3))=0，
所以f(x)=1或f(x)=a−3，
由f(x)=1，即sin(x+π6)=12，而x∈[0,11π6]，解得x=0或x=2π3，
即f(x)=1在x∈[0,11π6]上有两个根，
因为方程f2(x)+(2−a)f(x)+a−3=0在x∈[0,11π6]上存在4个不相等的实数根，
所以当且仅当f(x)=a−3且a−3≠1在x∈[0,11π6]上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数y=f(x)在x∈[0,11π6]上的图像和直线y=a−3，
因为方程f(x)=a−3(a≠4)在x∈[0,11π6]上有两个不等实根，
即当且仅当函数y=f(x)在x∈[0,11π6]上的图像和直线y=a−3(a≠4)有两个公共点，

由图像可知：−2