2024-2025学年广东省江门市新会区尚雅中学九年级（上）开学数学试卷(含详解）

这是一份2024-2025学年广东省江门市新会区尚雅中学九年级（上）开学数学试卷(含详解），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，为必然事件的是( )
A. 明天要下雨B. |a|≥0
C. -2>-1D. 打开电视机，它正在播广告
3.抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
A. y=3(x+1)2+3B. y=3(x-5)2+3
C. y=3(x-5)2-1D. y=3(x+1)2-1
4.某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是( )
A. 19B. 16C. 13D. 23
5.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．设修建的道路宽为x米，如果绿化面积为y米 ​2，那么y与x之间的函数关系式为( )
A. y=8000-100x-80xB. y=(100-x)(80-x)+x2
C. y=(100-x)(80-x)D. y=100x+80x
6.若点A(x1,-5)，B(x2,2)，C(x3,5)都在反比例函数y=10x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x17.将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为( )
A. π2,180°B. π4,540°C. π4,1080°D. π3,2160°
8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为( )
A. 3B. 3C. 2 3D. 4
9.如图，已知△ABC中，∠CAB=20°，∠ABC=30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，以下结论：①BC=B'C'，②AC//C'B'，③C'B'⊥BB'，④∠ABB'=∠ACC'，正确的有( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(-2,0)对称轴为直线x=1，下列结论：①abc<0；②2a-b=0；③b2-4ac>0；④当y>0时，x的取值范围是-23b，其中正确的结论序号为( )
A. ①②③
B. ①③④
C. ①③④⑤
D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的一个根为x=1，则这个一元二次方程的另一个根为______．
12.如图是某同学的微信二维码，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______cm2．
13.如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在AB上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO=13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是_____．
14.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≤-2时，y随x的增大而减小，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为______．
15.如图，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB，BC于点D、E.若四边形ODBE的面积为12，则k的值为______．
16.如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算： 16-4× 22+|- 3× 6|+(-1)2023．
18.(本小题8分)
用配方法解方程：2x2+4x-5=0．
19.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
(2)将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1；
(3)若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
20.(本小题8分)
随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路A和省级公路B两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路C、高速公路D和城市高架E三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人(不考虑其他因素)．
(1)从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为______．
(2)用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率．
21.(本小题8分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=4 3，求图中阴影部分的面积．
22.(本小题8分)
如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)的图象相交于A(-1,m)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在y轴上有一动点E，当EA+EB最小时，求点E的坐标；
(3)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．
23.(本小题8分)
某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y(件)与售价x(万元/件)之间满足一次函数关系，部分数据如表：
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
(1)求：三月份每件产品的成本是多少万元？
(2)四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元.若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w(万元)关于售价x(万元/件)的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
24.(本小题8分)
综合运用
已知，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，抛物线的对称轴交x轴于点D，在抛物线对称轴上找点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标；(不需要证明)
(3)如图2，点F在对称轴上，以点F为圆心过A、B两点的圆与直线CE相切，求点F的坐标．
25.(本小题8分)
△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点(不与点B，C重合)，连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．
(1)如图1，当点E为BC中点时，线段DM与EM的数量关系是______；
(2)如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当BC=6，CE=2时，请求出DM的长．
答案解析
1.D
【解析】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.B
【解析】解：根据题意，结合必然事件的定义可得：
A、明天要下雨不一定发生，不是必然事件，故选项不合题意；
B、一个数的绝对值为非负数，故是必然事件，故选项符合题意；
C、-2>-1，是不可能事件，故选项不合题意；
D、打开电视机，它不一定正在播广告，有可能是其他节目，故不是必然事件，故选项不合题意；
故选：B．
3.C
【解析】解：根据题意知，将抛物线y=3(x-2)2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y=3(x-5)2-1．
故选：C．
此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
4.C
【解析】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为39=13，
故选：C．
画树状图，共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．
5.C
【解析】解：根据题意得：y=(100-x)(50-x)．
故选：C．
根据平移的原理求解．
本题考查了列二次函数解析式，理解题意是解题的关键．
6.C
【解析】解：当y=-5时，10x1=-5，解得：x1=-2；
当y=2时，10x2=2，解得：x2=5；
当y=5时，10x3=5，解得：x3=2．
∴x1故选：C．
利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出x1，x2，x3的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x1，x2，x3的值是解题的关键．
7.C
【解析】解：根据题意得虚线①所对的圆弧对的圆心角为45°，展开后得到的多边形为正八边形，
所以虚线①所对的圆弧长为45×π×1180=π4，
展开后得到的多边形的内角和为180°×(8-2)=1080°．
故选：C．
把360度折叠三次得到45°，则可根据弧长公式计算出虚线①所对的圆弧长，由于把圆分成两8个相同的部分，从而得到圆的内接正八边形，然后根据多边形的内角和求解．
本题考查了弧长的计算：弧长公式：l=nπR180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)，也考查了多边形内角与外角和折叠性质．
8.C
【解析】解：如图，设AO与BC交于点D．
∵∠AOB=60°，AB=AB，
∴∠C=12∠AOB=30°，
又∵AB=AC，
∴AB=AC
∴AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴在直角△ACD中，CD=AC⋅cs30°=2× 32= 3，
∴BC=2CD=2 3．
故选：C．
如图，首先证得OA⊥BC；然后由圆周角定理推知∠C=30°，通过解直角△ACD可以求得CD的长度．则BC=2CD．
本题考查了解直角三角形，圆周角定理等知识点．推知△OAB是等边三角形是解题的难点，证得AD⊥BC是解题的关键．
9.B
【解析】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，
∴BC=B'C'.故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB'=50°．
∵∠CAB=20°，
∴∠B'AC=∠BAB'-∠CAB=30°．
∵∠AB'C'=∠ABC=30°，
∴∠AB'C'=∠B'AC．
∴AC//C'B'.故②正确；
③在△BAB'中，
AB=AB'，∠BAB'=50°，
∴∠AB'B=∠ABB'=12(180°-50°)=65°．
∴∠BB'C'=∠AB'B+∠AB'C'=65°+30°=95°．
∴C'B'与BB'不垂直．故③不正确；
④在△ACC'中，
AC=AC'，∠CAC'=50°，
∴∠ACC'=12(180°-50°)=65°．
∴∠ABB'=∠ACC'.故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
根据旋转的性质可得，BC=B'C'，∠C'AB'=∠CAB=20°，∠AB'C'=∠ABC=30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．
10.B
【解析】解：①由开口方向可得：a<0，x=-b2a=1，∴b>0，由图象与y轴的交点可得c>0，∴abc<0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，∴b=-2a，即2a+b=0，故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac>0，故③正确；
④∵图象过点(-2,0)，对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为(4,0)，∴当y>0时，x的取值范围是-2⑤∵当x=-3时，y<0，∴9a-3b+c<0，即9a+c<3b，故⑤错误；
故选B．
11.x=-2
【解析】解：x2+kx-2=0，
∵a=1，b=k，c=-2，
∴x1⋅x2=ca=-2．
∵关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的一个根为x=1，
∴另一个根为x=-2÷1=-2．
故答案为：x=-2．
利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为-2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之积等于ca是解题的关键．
12.1.6
【解析】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.4，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为Scm2，
则S4=0.4，
解得S=1.6．
∴估计黑色部分的总面积约为1.6cm2．
故答案为：1.6．
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，可得点落入黑色部分的概率为0.4，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
13.24cm
【解析】解：连接OA、OB，如图所示：
∵PA、PB为圆的两条切线，
∴由切线长定理可得PA=PB，
同理可得DA=DC，EC=EB，
∵OA⊥PA，OA=5cm，PO=13cm，
∴由勾股定理得PA=12cm，
∴PA=PB=12cm，
∴△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24cm．
故答案为24cm．
连接OA、OB，由切线长定理可得PA=PB，DA=DC，EC=EB，由勾股定理可得PA的长，则△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB，即可求得△PDE的周长．
本题考查切线长定理．
14.1
【解析】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，
∴对称轴是直线x=-2a2a=-1，
∵当x≤-2时，y随x的增大而减小，
∴a>0，
∵-2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a-6=0，
∴a=1，或a=-2(不合题意舍去)．
故答案为：1．
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．
本题考查了二次函数的性质，关键是对函数对称轴，函数增减性的应用．
15.4
【解析】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=12|k|，S△OAD=12|k|，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则
S矩形ONMG=|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO=4S矩形ONMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，
∴k>0，则k2+k2+12=4k，
∴k=4．
本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
16.15°或165°
【解析】解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
当BE=DF时，
∴AB=ADBE=DFAE=AF，
∴△ABE≌△ADF(SSS)，
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠FAD=30°，
∴∠BAE=∠FAD=15°；
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
当BE=DF时，
∴AB=AD，BE=DF，AE=AF，
∴△ABE≌△ADF(SSS)，
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE=(360°-90°-60°)×12+60°=165°，
∴∠BAE=∠FAD=165°
故答案为：15°或165°．
利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF(SSS)，即可得解.应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小．
17.解： 16-4× 22+|- 3× 6|+(-1)2023
=4-2 2+3 2+(-1)
=3+ 2．
【解析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.解：∵2x2-4x-5=0，
∴x2-2x-52=0，
∴x2-2x=52，
∴x2-2x+12=52+12，
∴(x-1)2=72，
∴x-1=± 72，
解得x1=1+ 142，x2=1- 142．
【解析】根据配方法的步骤解决问题．
本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确配方法解一元二次方程的步骤．
19.(0,1)
【解析】解：(1)作图如下：
(2)作图如下：
(3)根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等；
故旋转中心在线段BE、CF的中垂线上；
由图像可知，该点的坐标为(0,1)．
(1)根据成中心对称图形的性质画图即可；
(2)根据旋转中心、旋转角、旋转方向画图即可；
(3)线段BE、CF的中垂线的交点即为旋转中心．
本题考查了图形的旋转，平面直角坐标系中点的坐标变换；熟练掌握旋转的性质是解题关键．
20.(1)12；
(2)画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小华两段路程都选省级公路的结果有1种，
∴小华两段路程都选省级公路的概率为16．
【解析】解：(1)由题意得，从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为12，
故答案为：12；
(2)画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小华两段路程都选省级公路的结果有1种，
∴小华两段路程都选省级公路的概率为16．
(1)根据概率的定义可得答案；
(2)画树状图可得出所有等可能的结果数以及小华两段路程都选省级公路的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及随机事件的定义是解答本题的关键．
21.解：(1)直线BD与⊙O相切，
理由：连接BE，
∵∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠C=60°，
连接OB，
∵OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵∠ADB=30°，
∴∠OBD=180°-60°-30°=90°，
∴OB⊥BD，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BD与⊙O相切；
(2)∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AB=4 3，
∴sin∠AEB=sin60°=ABAE=4 3AE= 32，
∴AE=8，
∴OB=4，
∴BD= 3OB=4 3，
∴图中阴影部分的面积=S△OBD-S扇形BOE=12×4×4 3-60⋅π×42360=8 3-8π3．
【解析】(1)连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB=∠C=60°，连接OB，根据等边三角形的性质得到∠BOD=60°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据圆周角定理得到∠ABE=90°，解直角三角形得到OB，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.解：(1)∵一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)的图象相交于A(-1,m)，B两点，
∴当x=-1时，m=-1+5=4，
∴A(-1,4)，
∴k=-1×4=-4，
反比例函数解析式：y=-4x；
(2)根据题意可得：x+5=-4x，
解得：x1=-1，x2=-4，
则y1=4，y2=1，
即B(-4,1)，A(-1,4)，
∴B(-4,1)关于又轴对称点B'(4,1)，
连接AB'交y轴与E点，此时EA+EB最小，
设直线AB'为：y=k'x+b'，
则-k'+b'=44k'+b'=1，
解得：k'=-35b'=175，
∴直线AB'为：y=-35x+175，
当x=0时，y=-35×0+175=175，
即E(0,175)；
(3)设一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)后为y=x+5-b，
由于和y=-4x只有一个交点，
根据题意可得：x+5=-4x，
则x2+(5-b)x+4=0，
∴Δ=(5-b)2-4×1×4=0，
解得：b=1或b=9．
故b=1或9．
【解析】(1)由一次函数y=x+5过A(-1,m)，所以m=-1+5=4，则A(-1,4)，由反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)过A(-1,4)所以k=-1×4=-4，即可求得反比例函数解析式；
(2)根据一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=-4x(k为常数且k≠0)的图象相交于A(-1,4)，B两点，则x+5=-4x，求出B(-4,1)，得到B关于又轴对称点B'(4,1)，连接AB'交y轴与E点，求出直线AB'解析式，此时EA+EB最小；
(3)设一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)后为y=x+5-b，与y=-4x联立转化为一元二次方程x2+(5-b)x+4=0，当Δ=0时，只有一个交点，即可求b的值．
本题考查了一次函数和反比例函数交点的问题以及利用待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称求最小值的问题，函数图象的平移问题，理解题意是解决问题的关键．
23.解：(1)设三月的成本为m万元，
当x=35时，y=-2x+100=30，
由题意得：450=30(35-m)，
解得：m=20，
即三月份每件产品的成本是20万元；
(2)四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20-14=6，
由题意得：w=y(x-6)-450=(-2x+100)(x-6)-450=-2x2+112x-1050(25≤x≤30)，
则抛物线的对称轴为x=28，
则x=25时，w取得最小值，
此时，w=500，
即四月份最少利润是500万元．
【解析】(1)设三月的成本为m万元，当x=35时，y=-2x+100=30，由题意得：450=30(35-m)，即可求解；
(2)由题意得：w=y(x-6)-450，即可求解．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
24.解：∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)，
∴a-b+3=09a+3b+3=0，
解得a=-1b=2，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴D(1,0)，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
∴CD= 10，
设P(1,t)，
∴PD=|t|，PC= 1+(t-3)2，
当PC=CD时， 10= 1+(t-3)2，
解得t=0(舍)或t=6，
∴P(1,6)；
当PD=CD时， 10=|t|，
解得t=± 10，
∴P(1, 10)或(1,- 10)；
综上所述：P点坐标为(1,6)或(1, 10)或(1,- 10)；
(3)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点为E(1,4)，
设直线CE的解析式为y=kx+3，
∴k+3=4，
解得k=1，
∴直线CE的解析式为y=x+3，
∴直线CE与x轴、y轴分别交于点H(-3,0)，C(3,0)，
∵D(1,0)，
∴DH=DE=4，
∴∠CEF=45°，
过点F作FG⊥EH交于G点，
∵FG⊥EH，
∴∠GFE=∠CEF=45°，
∴GF=FE，
∵GF=FA，
∴GF=FA=FE，
在Rt△GFE中，GF2+GE2=EF2，2FA2=EF2，
设F(1,m)，则EF=4-m，
∴FA2=22+m2，
∴2(22+m2)=(4-m)2，
解得m=-4+2 6或m=-4-2 6，
∴F(1,-4+2 6)或(1,-4-2 6)；
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)设P(1,t)，根据等腰三角形边的特点，分三种情况讨论：当PC=CD时， 10= 1+(t-3)2，P(1,6)；当PD=CD时， 10=|t|，P(1, 10)或(1,- 10)；当PD=CD时， 10=|t|，P(1, 10)或(1,- 10)；
(3)先确定直线CE的解析式，可得直线CE与x轴、y轴分别交于点H(-3,0)，C(3,0)，从而得到∠CEF=45°，过点F作FG⊥EH交于G点，可得GF=FA=FE，在Rt△GFE中，2FA2=EF2，设F(1,m)，得到方程2(22+m2)=(4-m)2，求出m的值即可求F点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
25.DM=EM
【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴∠BAC=60°，∠BAE=12∠BAC，
∴∠BAE=30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAB=∠DAE-∠BAE=60°-30°=30°，
∴∠DAB=∠BAE，
∴DM=EM；
故答案为：DM=EM；
(2)(1)中的结论成立，证明如下：
连接BD，DF，如图，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=180°-∠ACB=120°，BD=CE，
∴∠DBE=∠ABD-∠ABC=120°-60°=60°，
∴∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°，
∴BD//EF，
∵CE=EF，
∴BD=EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴DM=EM；
(3)当点E在BC的延长线上时，作AG⊥BC于G，连接BD，如图，
∵∠ACB=60°，
∴CG=AC⋅cs60°=12AC=12×6=3，
AG=AC⋅sin60°= 32AC=3 3，
∴EG=CG+CE=3+2=5，
∴AE= AG2+EG2=2 13，
由(2)知：DM=EM，
∴AM⊥DE，
∴∠AME=90°，
∵∠AED=60°，
∴AM=AE⋅sin60°=2 13× 32= 39；
当点E在BC上时，作AG⊥BC于G，如图，
同上知：AG=3 3，CG=3，
∴EG=CG-CE=3-2=1，
∴AE= AG2+EG2=2 7，
∴AM=AE⋅sin60°=2 7× 32= 21，
综上所述：DM的长为 39或 21．
(1)证明∠BAD=∠BAE=30°，进一步可得答案；
(2)连接BD，可证明△BAD≌△CAE，从而∠ABD=∠ACE=120°，BD=CE，进而得出∠DBE=60°，从而得出∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°，从而BD/​/EF，结合BD=EF得出四边形BDFE是平行四边形，从而得出DM=EM；
(3)分为两种情形：当点E在BC的延长线上时，作AG⊥BC于G，可得出CG和AG，从而EG=CG+CE=3+2=5，进而得出AE，进一步得出结果；当点E在BC上时，作AG⊥BC于G，可得出EG=1，即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型．每件售价x/万元
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