2024-2025学年北京市朝阳区人大附中朝阳校区九年级上学期开学数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市朝阳区人大附中朝阳校区九年级上学期开学数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各根式中，与 2不是同类二次根式的是( )
A. 12B. 8C. 12D. 3 2
2.下列各式中，计算正确的是( )
A. 2× 3= 6B. 2 3− 3=2C. 3+ 5= 8D. 5− 3= 2
3.一次函数y=x+2的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.如果直角三角形的边长为3，4，a，则a的值是( )
A. 5B. 6C. 7D. 5或 7
5.若关于x的方程m−1x2+mx−1=0是一元二次方程，则m的取值范围是( )
A. m≠1B. m=1C. m≥1D. m≠0
6.在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象经过点P1−1,y1，P22,y2，且y1>y2，则k的值可能为( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
7.如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( )
A. 乙前4秒行驶的路程为48米
B. 在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C. 两车到第3秒时行驶的路程相等
D. 在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
8.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO.若∠COB=60∘，FO=FC，则下列结论中正确结论的个数是( )
①DE=EF；②四边形DFBE是菱形；③BC=4FM；④S▵AOE:S▵BCF=2:3
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若二次根式 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.已知▵ABC,AB=5,BC=12,AC=13，点P是AC上的一个动点，则
线段BP长的最小值是 ．
11.如图，直线y=kx+b与y=mx+n相交于点M，则关于x，y的方程
组y=kx+by=mx+n的解是 ．
12.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折
竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学
问题是：如图所示，▵ABC中，∠ACB=90∘，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果
设AC=x，则可列方程为 ．
13.用配方法解方程x2−8x+2=0时，可将方程变为(x−m)2=n的形式，
则m的值为 ．
14.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加
一个适当的条件 ，使ABCD成为菱形(只需添加一个即可)
15.如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=6，点E在AD上，DE=2.若EC平分
∠BED,则BC的长为 ．
16.有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算： 2+1 2−1− 18+π−50
18.(本小题8分)
解方程：2x−12−8=0．
19.(本小题8分)
已知，如图，在▵ABC中，∠ABC=90∘,BD是▵ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE=CF，连接BE、AE．
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)若BC=8,BE=5,求菱形AEBD的面积．
20.(本小题8分)
已知：如图1，▵ABC．
求作：▱ABCD．
作法：①作∠ABC的平分线BM；
②以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线BM于点N，作射线AN；
③以点A为圆心，BC长为半径画弧，交射线AN于点D，连接CD；
∴四边形ABCD为所求．
(1)使用直尺和圆规，依作法在图2中补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面证明．
∵AB=AN，
∴∠ABN=________，
∵BN是∠ABC的平分线，
∴∠ABN=∠CBN，
∴∠CBN=________，
∴AD//BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形(___________)(填推理的依据)．
21.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx−2的图象与正比例函数y=12x的图象交于点Am,2．
(1)求k,m的值；
(2)当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=axa≠0的值大于一次函数y=kx−2的值，则a的取值范围是 ．
22.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，点E和F分别在AB和BC上，且关于BD对称，连接AF,EF，过点F作FG⊥AF，点G在AF的右侧，且FG=AF,连接AG交BD于H，连接CG．
(1)请依题意补全图形，求证：EF=CG；
(2)猜想AH,GH的数量关系并证明．
23.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线OQ与图形W的一个交点为M，射线PQ与图形W的一个交点为N，且满足四边形OPMN为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”.如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”.已知点：A2,2,B6,2,C2,0．
(1)点D1,1,E2,3，F−32,1中，是点C关于直线AB“平心点”的有________；
(2)若点C关于线段AB的“平心点”J的横坐标为a时，求a的取值范围；
(3)已知点G6,5,H2,5,K0,−2，点P是线段CK上的动点(点P不与端点C，K重合)，若直线l：y=kx上存在点P关于矩形ABGH的“平心点”，请直接写出k的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.D
5.A
6.D
7.C
8.B
9.x⩾1
10.6013
11.x=2y=4
12.x2+9=10−x2
13.4
14.OA=OC(答案不唯一)
15.10
16.2026
17.解：原式= 22−12−3 2+1，
=2−1−3 2+1，
=2−3 2，
18.解：∵2x−12−8=0，
∴2x−12=8，
∴x−12=4，
∴x−1=2或x−1=−2，
∴x1=3，x2=−1．

19.(1)证明：∵F是BD的中点，
∴DF=BF，
∵CF=EF,∠CFD=∠EFB，
∴▵CDF≌▵EBFSAS，
∵∠ABC=90∘,BD是▵ABC中线，
∴BD=AD=CD，
∵▵CDF≌▵EBF，
∴CD=BE,∠FCD=∠FEB，
∴BE//CD，
∵BE=CD=AD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD=AD，
∴四边形AEBD是菱形；
(2)解：连接ED，
∵BE//CD,CD=BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=8，
∵AD=BE=5,BD是▵ABC中线，
∴AC=2AD=10，
∵∠ABC=90∘,BC=8，
∴AB= AC2−BC2= 102−82=6，
∵四边形AEBD是菱形，
∴菱形AEBD的面积=12×AB×DE=12×6×8=24．

20.(1)解：补全图形如图所示：
(2)∵AB=AN，
∴∠ABN=∠ANB，
∵BN是∠ABC的平分线，
∴∠ABN=∠CBN，
∴∠CBN=∠ANB，
∴AD//BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
21.(1)解：由题意，点Am,2在函数y=12x的图象上，
∴12m=2．
∴m=4
将A4,2代入y=kx−2，得4k−2=2，
∴k=1；
(2)解：当x=−1时，由题意得：−a≥−1−2，
解得：a≤3，
∵当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=axa≠0的值大于一次函数y=x−2的值，
∴a≥1，
∴a的取值范围是1≤a≤3．
22.(1)证明：图形如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90∘，AB=BC．
∵E，F关于BD对称，
∴BE=BF，
∴AE=CF，
∵AF⊥FG，
∴∠AFG=90∘，
∴∠BAF+∠AFB=90∘，∠AFB+∠CFG=90∘，
∴∠EAF=∠CFG，
在▵EAF和▵CFG中，
EA=CF∠EAF=∠CFGAF=FG,
∴▵EAF≌▵CFGSAS
∴EF=CG；
(2)解：结论：AH=GH．
理由：连接AC交BD于点O，连接CH．
∵BE=BF，∠EBF=90∘，
∴∠BEF=45∘，
∴∠AEF=135∘，
∵▵EAF≌▵CFG
∴∠AEF=∠FCG=135∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45∘，
∴∠ACG=90∘，
∵OH垂直平分线段AC，
∴HA=HC，
∴∠HAC=∠HCA，
∵∠HAC+∠AGC=90∘，∠HCA+∠HCG=90∘，
∴∠HCG=∠HGC，
∴HC=HG，
∴AH=GH．
23.(1)解：根据题意作图如下：
A2,2,B6,2,C2,0，O(0,0)，D1,1，
直线AB所在直线为y=2，
设直线OD所在直线为y=mx，
将点D1,1代入得：m=1，
∴y=x，
交直线y=2于点2,2，
设直线CD所在直线为y=nx+d，
0=2n+d1=n+d，解得n=−1d=2,
∴直线CD所在直线为y=−x+2，
交直线y=2于点4,2，
∴两个交点之间的距离为4−2=2，
∵AB所在直线平行于x轴，
∴四边形为平行四边形，符合题意；
同理点E不符合题意；点F符合题意；
故答案为：D、F；
(2)根据题意结合图象，连接AC，则中点J2+22,0+22即J2,1，
连接OB，则中点J10+62,0+22即J13,1，
∴2≤a≤3；
(3)根据题意得：“平心点”为平行四边形对角线的交点，
如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形ABGH为矩形，
根据题意，平移OP，使得平移后的线段落在矩形ABGH上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M，
平移线段OP，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角，
当落在左下角时，如图所示：
点P接近点K时，点M接近点A，点P接近点C时，由(2)得点M接近AB中点2,4，
OM所在直线即为直线l：y=kx，
将点A2,2代入得：k=1，
将点2,4代入得：k=12，
∴12当落在右上角时，如图所示：
点P接近点K时，点M接近点G6,5，
点P接近点C时，G6,5,K0,−2，点M接近点6,3，
OM所在直线即为直线l：y=kx，
将点G6,5代入得：k=56，
将点6,3代入得：k=12，
∴12综上可得：12