2023-2024学年广东省深圳市龙岗外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市龙岗外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知aA. a+2>b+2B. −3a>−3bC. a23.如图，该数轴表示的不等式的解集为( )
A. x>−2B. x≤3C. −24.2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与150多个国家、30多个国际组织签署了230多份合约，携手实现经济共同发展.北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在( )
A. 三边垂直平分线的交点
B. 三边中线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 三边上高的交点
5.将多项式x2+4x−12分解因式正确的结果为( )
A. (x+3)(x−4)B. (x+4)(x−3)C. (x+6)(x−2)D. (x+2)(x−6)
6.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为( )
A. 80°B. 20°C. 80°或20°D. 80°或50°
7.已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2=2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
8.如图，以直角△ABC的一个锐角的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直角边AB于点D，交斜边AC于点E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若AB=3，BC=4，用S△ABC表示△ABC的面积(其它同理)，则S△ABGS△ACG=( )
A. 12B. 34C. 35D. 45
9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动点且PA=1，以PB为边作等边△PBM，则当线段AM的长取到最大值时，点P的横坐标为( )
A. 1.5B. 2C. 3D. 1
10.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转2024次后，点P的坐标为( )
A. (6070,2)B. (6072,2)C. (6073,2)D. (6074,1)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.平面直角坐标系中，一点P(−3,2)关于原点的对称点P′的坐标是______．
12.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，BD=3，则AB的长是______ ．
13.已知关于x的方程3k−5x=−9的解是非负数，则k的最小值为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+1与直线l2：y=ax+b交于点A(32,m)，则关于x的不等式组ax+b>x+1>0的解集为______．
15.已知，等边三角形ABC，点D，E分别在边AB，AC上，且满足AD=CE，连接CD，BE，交于点M.作∠ADC，∠ABE的角平分线，交于点N.连接MN，当∠DCB=34°时，∠MND的度数为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算：
(1)分解因式：
①3a2−6ab+3b2．
②x2(m−2)+y2(2−m)．
(2)解不等式组：4x≤−2(1−x)3x+14>−2．
17.(本小题8分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．

(1)△ABC的面积为______；
(2)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(3)画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(4)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为______．
18.(本小题6分)
小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示.具体要求如下：在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB=90°，AB=13米，BC=12米，CD=3米，AD=4米．
(1)求线段AC的长；
(2)若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
19.(本小题8分)
“人间烟火气，最抚凡人心.”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度.某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．
(1)求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
(2)若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元.结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的23.两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
20.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AC的垂直平分线交CB于点D，连接AD．
(1)判断△ABD的形状，并说明理由；
(2)过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若△ABD的周长是10，求CE的长．
21.(本小题8分)
新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>2x+2<7的解集为32x+2<7的“关联方程”．
(1)在方程①3(x+1)−x=9；②4x−8=0；③x−12+1=x中，关于x的不等式组2x−2>x−13(x−2)−x≤4的“关联方程”是______；(填序号)
(2)若关于x的方程2x−k=6是不等式组3x+1≥2xx−12≥2x+13−2的“关联方程”求k的取值范围；
(3)若关于x的方程x+72=3m是关于x的不等式组x+3m>3mx−m≤2m+1的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求m的取值范围．
22.(本小题9分)
1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，
由PC=P′C，∠PCP′=60°，可知△PCP′为______三角形，故PP′=PC，又P′A′=PA，故PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′≥A′B，
由______可知，当B，P，P′，A′在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A′B，此时的P点为该三角形的“费马点”，
且有∠APC=∠BPC=∠APB= ______；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为______点.
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2 3km，∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km， 2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为______元.(结果用含a的式子表示)
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.A
5.C
6.C
7.B
8.C
9.A
10.C
11.(3,−2)
12.12
13.−3
14.−115.73°
16.解：(1)①3a2−6ab+3b2
=3(a2−2ab+b2)
=3(a−b)2；
②x2(m−2)+y2(2−m)
=(m−2)(x2−y2)
=(m−2)(x+y)(x−y)．
(2)4x≤−2(1−x)①3x+14>−2②，
由①得x≤−1，
由②得x>−3，
∴不等式组的解集为：−317.(1)4；
(2)如图1，△A1B1C1即为所求；
(3)如图2，△A2B2C2即为所求；
(4)如图3，
根据图形可知：
旋转中心的坐标为：(−2,0)，
18.解：(1)∵∠ACB=90°，BC=12米，AB=13米，
∴AC= AB2−BC2= 132−122=5(米)，
即线段AC的长为5米；
(2)∵32+42=52，CD=3米，AD=4米，AC=5米，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12AC⋅BC+12CD⋅AD=12×5×12+12×3×4=36(平方米)，
∴36×10=360(元)，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
19.解：(1)设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得：5x+3y=1148x+6y=204，
解得：x=12y=18．
答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
(2)设购进腊梅m束，则购进百合(80−m)束，
根据题意得：12m+18(80−m)≤126080−m≥23m，
解得：30≤m≤48，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，则w=(20−12)m+(30−18)(80−m)，
即w=−4m+960，
∵−4<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=30时，w取得最大值，最大值=−4×30+960=840(元)，此时80−m=80−30=50(束)．
答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元．
20.解：(1)△ABD为等腰三角形，
理由：∵AC的垂直平分线交CB于点D，
∴AD=CD，
∴∠C=∠CAD，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠ADB=∠B，
∴AD=AB，
∴△ABD为等腰三角形；
(2)∵AE⊥BD，
∴DE=BE，
∵△ABD的周长是10，
∴AD+DE=5，
∴CE=CD+DE=AD+DE=5．
21.解：(1)①②；
(2)解不等式3x+1⩾2x得：x≥−1，
解不等式x−12≥2x+13−2得：x≤7，
∴3x+1⩾2xx−12≥2x+13−2的解集为−1≤x≤7，
关于x的方程2x−k=6的解为x=12k+3，
∵关于x的方程2x−k=6是不等式组3x+1⩾2xx−12≥2x+13−2的“关联方程”，
∴x=12k+3在−1≤x≤7范围内，
∴−1⩽12k+3≤7，
解得−8≤k≤8；
(3)解不等式x+3m>3m得：x>0，
解不等式x−m≤2m+1得：x≤3m+1，
∴x+3m>3mx−m≤2m+1的解集为0∵此时不等式组有4个整数解，
∴4≤3m+1<5，
解得1≤m<43，
关于x的方程x+72=3m的解为x=6m−7，
∵关于x的方程x+72=3m是不等式组x+3m>3mx−m≤2m+1的“关联方程”，
∴x=6m−7在0∴0<6m−7≤3m+1，
解得76综上所述，7622.解：(1)等边；两点之间线段最短；120°；A；
(2)如图4，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，
由(1)可知当B、P、P′、A′在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A′B，
∵∠ACP=∠A′CP′，
∴∠ACP+∠BCP=∠A′CP′+∠BCP=∠ACB=30°，
又∵∠PCP′=60°，
∴∠BCA′=90°，
根据旋转的性质可知：AC=A′C=3，
∴A′B= 42+32=5，
即PA+PB+PC的最小值为5；
(3)2 13a