2024-2025学年广东省深圳市龙岗实验学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市龙岗实验学校九年级（上）开学数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上.下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2+x−y=0B. ax2+2x−3=0C. x2+2x+5=x3D. x2−1=0
3.如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离( )
A. 变小
B. 不变
C. 变大
D. 无法判断
4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形对角线的长为( )
A. 4
B. 8
C. 4 3
D. 4 5
5.一元二次方程y2−y−34=0配方后可化为( )
A. (y+12)2=34B. (y−12)2=34C. (y+12)2=1D. (y−12)2=1
6.实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克.如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍.晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×10150=10150−x，则未知数x表示的意义是( )
A. 增加的水量B. 蒸发掉的水量C. 加入的食盐量D. 减少的食盐量
7.若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m<14B. m≤14C. m≥−14D. m>−14
8.如图1，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E是CD的中点.点P从点A出发，沿A→D→C→B以1cm/s的速度运动到终点B.设点P运动的时间为x(s)，△APE的面积为y(cm2)，图2是y与x之间的函数关系图象，下列判断不正确的是( )
A. b=92B. BC=2，CD=5
C. 平行四边形ABCD的面积为5 3D. a=6 35
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知方程2x2−mx+3=0的一个根是−1，则m的值是______．
10.如图，A，B两地被古城墙阻隔，为测量A，B两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达A，B两地的点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，连接DE.若DE的长为27m，则A，B两地间的距离为______m.
11.门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分.如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案.其中∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1+∠2+∠3+∠4=300°，则∠D的度数是______°.
12.已知关于x的不等式组x>a3−2x≥1只有3个整数解，则实数a的取值范围是______．
13.如图，正方形OABC边长为3，正方形ODEF边长为2，连接CD和AF，则CD2+AF2的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
解方程：
(1)x2+2x−4=0；
(2)3x(2x+1)=4x+2．
15.(本小题6分)
先化简，再求值(1−x+1x−3)÷x2−9x2−6x+9，其中x=−1．
16.(本小题8分)
如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF．
(1)求证：四边形ABEF为菱形；
(2)AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
17.(本小题8分)
阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n.求m2+n2的值．
解：∵方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，则m+n=1，mn=−1，
∴m2+n2=(m+n)2−2mn=12−2×(−1)=3．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：若一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2= ______，x1⋅x2= ______；
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值.；
(3)思维拓展：已知实数m，n满足2m2−3m−1=0，2n2−3n−1=0，且m≠n，求1m+1n的值．
18.(本小题8分)
社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知AD=52m，AB=28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积为640m2．
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元？
19.(本小题11分)
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
任务：
(1)为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下.请按她的思路选择一种方法写出证明过程．
已知：如图2，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AB=DC．
求证：∠B=∠C，∠A=∠D．
证明：方法1：过点A作DC的平行线，交BC于点E，…；
方法2：过点A，D作BC的垂线，垂足分别为M，N，…．
(2)根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题，并判断其真假：______的梯形是等腰梯形，该命题是______命题．
20.(本小题12分)
【材料背景】
如图1，在△ABC中，以边AB为底边向外作等腰Rt△ABD，其中∠ADB=90°，且AD=DB，那么点D就被称为边AB的“外展等直点”．
【建构与探究】
如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上，∠OAB=90°，点C为OB的中点．
(1)连接OA、OB、AB，请分别作边OA、AB的“外展等直点”P和Q，连接PC、QC和PQ，则△PCQ的形状为______；
(2)如图3，点E、F在格点上，请在线段EF上的格点中任取一点D(不与点A重合)，连接OD、BD，分别作△OBD的边OD和边BD的“外展等直点”G、H，连接GC、HC和GH，请判断△GHC的形状，并说明理由．
【应用与拓展】
(3)如图4，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知M(−2,−1)，N(3,1)，请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.B
5.D
6.B
7.C
8.D
9.−5
10.54
11.120
12.−2≤a<−1
13.26
14.解：(1)x2+2x−4=0，
x2+2x=4，
x2+2x+1=4+1，
(x+1)2=5，
x+1=± 5，
x1= 5−1，x2=− 5−1；
(2)3x(2x+1)=4x+2，
3x(2x+1)=2(2x+1)，
3x(2x+1)−2(2x+1)=0，
(3x−2)(2x+1)=0，
3x−2=0或2x+1=0，
x1=23，x2=−12．
15.解：原式=(x−3x−3−x+1x−3)÷(x+3)(x−3)(x−3)2
=−4x−3⋅x−3x+3
=−4x+3，
当x=−1时，原式=−4−1+3=−2．
16.(1)证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=FA，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形；
(2)解：∵四边形ABEF为菱形，BF=6，
∴AE⊥BF，BO=12FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，AB=5，
∴AO= 52−32=4，
∴AE=2AO=8．
17.(1)32，−12；
(2)∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n=32，mn=−12，
∴m2n+mn2=mn(m+n)=−12×32=−34；
(3)∵实数m，n满足2m2−3m−1=0，2n2−3n−1=0，且m≠n，
∴m，n是关于x的一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根，
∴m+n=32，mn=−12，
∴1m+1n=m+nmn=32−12=−3．
18.解；(1)根据道路的宽为x米，根据题意得，
(52−2x)(28−2x)=640，
整理得：x2−40x+204=0，
解得：x1=34(舍去)，x2=6，
答：道路的宽为6米．
(2)设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元，
根据题意得：(200+a)(50−a5)=10125，
整理得：a2−50a+625=0，
解得a=25，
答：每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元．
19.(1)证明：方法1：如图1，过点A作DC的平行线，交BC于点E，
∴∠AEB=∠C，
∵AD//BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=DC，
∵AB=DC，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∴∠B=∠C，
∵AD//BC，
∴∠B+∠BAD=180°，∠C+∠D=180°，
∴∠BAD=∠D；
方法2：如图2，过点A，D作BC的垂线，垂足分别为M，N，
∵AD//BC，
∴AM⊥AD，
∴∠AMN=∠MND=∠MAD=90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AM=DN，
∵AB=DC，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN(HL)，
∴∠B=∠C，
∵AD//BC，
∴∠B+∠BAD=180°，∠C+∠D=180°，
∴∠BAD=∠D；
(2)解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图2，四边形ABCD是梯形，AD//BC，∠B=∠C，∠A=∠D．
求证：AB=DC．
证明：过点A，D作BC的垂线，垂足分别为M，N，
∴∠AMB=∠DNC=90°，
∵AD//BC，
∴AM⊥AD，
∴∠AMN=∠MND=∠MAD=90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AM=DN，
∵∠B=∠C，
∴△ABM≌△DCN(AAS)，
∴AB=DC．
20.(1)点P、Q即为所求，
由图可知PC=CQ=3，且∠PCQ=90°，
∴△PCQ是等腰直角三角形．
(2)选取点D如图所示，G、H即为所求．
参考一：
△GHC形状为等腰直角三角形，理由如下：
如图，GI=CJ=CI=HJ=3，∠GIC=∠CHH=90°
∴△GIC≌△CJH(SAS)，
∴GC=CH，且∠GCH=180°−45°−45°=90°，
∴△GHC为等腰直角三角形．
参考二：
如图，GI=CJ=3，CI=HJ=1，∠GIC=∠CJH=90°，
∴△GIC≌△CJH(SAS)，
∴GC=HC，∠IGC=∠JCH，则∠GCH=90°，
∴△GHC为等腰直角三角形．
参考三：
如图，GI=CJ=1，CI=HJ=3，∠GIC=∠CHH=90°，
∴△GIC≌△CJH(SAS)，
∴GC=HC，∠IGC=∠JCH，则∠GCH=90°，
∴△GHC为等腰直角三角形．
(3)由第二问可知△MNK为等腰直角三角形，如图则会在MN上方和下方各有一个K点，
过K1作EF//x轴，作ME⊥EF于点E，NF⊥EF于点F，
∵∠MK1N=90°，
∴∠MK1E=∠FNK1=90°−∠FK1N，
∵∠E=∠F=90°，MK1=NK1，
∴△MEK1≌△K1FN(AAS)，
∴ME=FK1，EK1=FN，
∵M(−2,−1)，N(3,1)，
∴EF=EK1+FK1=5，EM−FN=2，
即ME+FN=5，ME−FN=2，
∴ME=72，FN=32，
∴K1(−12,52)；
同理可得K2(32,−52).
综上，三角形第三条边的中点K的坐标为K1(−12,52)，K2(32,−52).
等腰梯形
在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形.生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究．
定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰.两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
如图1，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD//BC，AB=DC．
性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形：
从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质：
性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质2：…
判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系
判定1：…．