+湖南省长沙市华益中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷+

这是一份+湖南省长沙市华益中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷+，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.如图，点A在直线l上，与关于直线l对称，连接分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接若，，则的周长为( )
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
5.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A. 3mB. 4mC. D. 5m
6.下列对的判断，错误的是( )
A. 若 ，，则是等边三角形
B. 若：：：3：5，则是直角三角形
C. 若，，则是等腰三角形
D. 若 ，，则
7.如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为( )
A. 14B. 16C. 18D. 20
8.如图，将过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为BD，现有以下结论：
①；
②；
③BD平分；
④是等边三角形；
⑤BD垂直平分EC；
其中正确的有( )
A. ①②③
B. ②③
C. ①②③④
D. ①②③⑤
9.如图，已知等边中，点D为线段BC上一点，将沿DA翻折得到，点C与E重合，连接BE，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，中，，，点D为AB上一定点，点E、F分别为边AC、BC上的动点，当的周长最小时，则度数( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若等腰三角形的周长是20cm，一腰长为7cm，则这个三角形的底边长是______
12.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是__________.
13.如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使，则BE的长为__________.
14.如图，等边三角形ABC中，，垂足为点D，点E在线段AD上，，则等于______.
15.如图，在中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点若，，的面积为8，则的面积为______.
16.如图，在中，，，，若点P从点B出发以的速度向点A运动，点Q从点A出发以的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为______ s时，是直角三角形.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
计算：
18.本小题6分
某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间单位：小时进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图所对应的是21人根据图中提供的信息.解答下列问题：
这次抽样调查的学生人数是______人；并补全频数分布直方图；
扇形统计图m的值为______，其中“ E”组对应的圆心角度数为______；
已知该校共有学生3000人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于6小时的学生人数.
19.本小题6分
已知关于x、y的二元一次方程组
若方程组的解x、y互为相反数.求k的值；
若方程组的解满足，求k的取值范围.
20.本小题8分
如图，在平面直角坐标系xOy中，的三顶点都在格点上，位置如图.请完成下列问题：
画出关于y轴的对称图形注意标出对应点字母；并分别写出点、点、点的坐标；
求的面积；
在x轴上找一点P，使最小.在图中画出点P，并写出点P的坐标保留作图痕迹，不写作法，写出结论
21.本小题8分
如图，在中，，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且，
求证：是等腰三角形；
当时，求的度数.
22.本小题9分
某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元.
甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中甲种书柜的数量不超过10个，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择.
23.本小题9分
如图，中，，，点D在斜边AB上，且过点B作交直线CD于点E，过点A作交直线CD于点
求的度数；
求证：≌；
连接AE，若，，求的面积.
24.本小题10分
定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“华益三角形”.
下列三角形一定是“华益三角形”的有______.
①顶角是的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一个角是的直角三角形.
如图1，在中，，，沿作边AB所在的直线对称图形，延长DA到点E，使，求证：是“华益三角形”；
如图2，AD平分的内角，交BC于点E，CD平分的外角，延长BA和DC交于点P，已知，若是“华益三角形”，设，求的度数.
25.本小题10分
在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足
填空：______，______；
如图1，作等腰，，，求C点坐标；
如图2，点M在x轴负半轴上，分别以AB、BM为腰；点B为直角顶点，在第一、第二象限作等腰，等腰，连接DE交y轴于点F，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可．
解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：点关于x轴对称的点的坐标是
故选：
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于x轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：如图：
与关于直线l对称，
≌，，，，
，，
，，
，
故选项A，D，C正确，
不能得出，则B错误;
故选：
利用轴对称的性质，全等三角形的性质一一判断即可．
本题考查轴对称变换，全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4.【答案】C
【解析】解：作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，
，
的周长为
故选：
根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长为，即可得出结果．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：过C作于M，
则，，
，
，
，
故选：
过C作于M，求出，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：，，
是等边三角形有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意；
B.：：：3：5，，
最大角的度数是，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，
，
，
是等腰三角形，故本选项不符合题意；
D.，
，
，
，
，故本选项符合题意；
故选：
根据等边三角形的判定即可判断选项A；根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项B；根据三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的判定定理即可判断选项C；根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出，即可判断选项
本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记等腰三角形的性质和判定定理是解此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：，
平分，
，
，
同理可得：，
故选：
由平行线的性质、角平分线的性质推知，则同理可得，，所以线段DE的长度转化为线段AB、AC的和即可得到答案．
本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：将过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，
≌，
，，，，
，BD平分，故①②③正确，
，，
垂直平分EC，故⑤正确，
不一定等于，
不一定是等边三角形，故④错误，
故选：
由折叠的性质可得，，，，可得，BD平分，由线段垂直平分线的判定可得BD垂直平分EC，由不一定等于，可得不一定是等边三角形，即可求解．
本题考查了翻折变换，全等三角形的性质，等边三角形的判定等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由折叠性质可得，≌，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
由折叠性质可得≌，得到，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和表示出，则，再利用得到，然后计算即可．
本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于，等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，也考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
10.【答案】C
【解析】解：作D关于AC的对称点，D关于BC的对称点，连接交AC于E交BC于F，
则此时，的周长最小，
，，
，，，
，
，
，
，，
，，
，
，
故选：
作D关于AC的对称点，D关于BC的对称点，连接交AC于E交BC于F，则此时，的周长最小，然后根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
11.【答案】6
【解析】解：等腰三角形的周长是20cm，一腰长为7cm，
这个三角形的底边长，
故答案为：
由等腰三角形的定义和三角形的周长即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】八
【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
，
解得
则这个多边形的边数是八．
故答案为八.
已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
任何多边形的外角和是，即这个多边形的内角和是，n边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
本题考查多边形的外角和与内角和.
13.【答案】3
【解析】解：因为是等边三角形，
所以，
因为BD是AC边上的高线，
所以D为AC的中点，
所以，
因为，
所以，
所以
故答案为：
由等边三角形的性质可得，根据BD是AC边上的高，可得，再由题中条件求出CE，最后由即可求得
本题考查了等边三角形的性质和线段的和差，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到是正确解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为
根据，求出，即可．
本题考查等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15.【答案】12
【解析】解：如图，过点G作于点M，于点
由作图可知CG平分，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：
如图，过点G作于点M，于点利用角平分线的性质定理证明，利用三角形面积公式求出GM，可得结论．
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】2或
【解析】解：，，，
，，
设运动时间为t秒，
由题意得：，，
，
分两种情况：
当时，如图：
，
，
，
解得：；
当时，如图：
，
，
解得：；
综上所述：运动的时间为2或时，是直角三角形，
故答案为：2或
先利用含30度角的直角三角形性质可得，，然后设运动时间为t秒，根据题意可得：，，从而可得，最后分两种情况：当时；当时；分别进行计算即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，分两种情况讨论是解题的关键．
17.【答案】解：原式
故答案为：
【解析】先算乘方和开方，再化简绝对值，最后加减．
本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、乘方法则、立方根、平方根、绝对值的意义等知识点是解决本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：这次被调查的学生共有：人，
D组人数为：人，
补全图形如下：
故答案为：100；
，E组对应的圆心角为：；
故答案为：40；；
人
答：估计该校每周课外阅读时间不少于6小时的学生人数约为870人．
组人数组所占百分比=被调查总人数，将总人数组所占百分比求出D组人数，即可补全频数分布直方图；
组人数调查总人数即可得m的值；E组对应的圆心角度数组占调查人数比例；
将样本中课外阅读时间不少于6小时的百分比乘以3000可得．
本题考查频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19.【答案】解：将两个方程相加可得，
、y互为相反数，
，
则，
，
解得；
两个方程相加可得，即，
，
，
解得
【解析】将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于k的方程，解之可得；
将两个方程相加可得，即，结合题意得出k的不等式组，解之可得．
本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】解：如图1，即为所求．
点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；
的面积为；
如图2，取点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接AP，
此时，为最小值，
此时点P的坐标为
【解析】根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
利用割补法求三角形的面积即可．
取点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求．
本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21.【答案】证明：，
，
在和中
，
≌，
，
是等腰三角形；
解：如图，
≌，
，，
，
，
，
，

【解析】由，，，利用边角边定理证明≌，然后即可求证是等腰三角形．
根据可求出，根据≌，利用三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，
由题意得：，
解之得：，
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买个；
由题意得：，
解之得：，
因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10，
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个；
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个；
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【解析】设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；
设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买个．根据：购买的乙种书柜的数量甲种书柜数量且所需资金列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．
本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
23.【答案】解：，，
，
，
，
；
证明：，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，
，
，
的面积为：
【解析】根据等腰直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可；
证明≌，根据全等三角形的性质证明即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】②③
【解析】解：若顶角是的等腰三角形，
两个底角分别为，，
顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”，
若等腰直角三角形，
三个角分别为，，，
，
等腰直角三角形是“倍角三角形”，
若有一个是的直角三角形，
另两个角分别为，，
，
有一个的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案为：②③；
证明：，
，
沿作边AB所在的直线对称图形，
，，，
，
，
，
，
，
是“华益三角形”；
解：平分的内角，CD平分的外角，
，，
，
，
即，
又，则，
，，
，即，
，
，
①当或时，
或，
解得，或；
②或时，
或，
解得；
③或时，
或，
解答或，
综上所述：或或或或
利用“倍角三角形”的定义依次判断可求解；
由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；
由角平分线的定义，得，，利用三角形外角定理，得，，进而得到，根据是“华益三角形”，列方程即可得到结论．
本题为几何变换综合题，新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质以及开心角和开心三角形的概念，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键．
25.【答案】5 3
【解析】解：，
又，，
，，
故答案为：5，3；
如图1中，过C作轴于
，
，
又，，
≌
，
又点C在第三象限，
；
为定值；理由如下：
如图2，在y轴上取点G，使，连接DG，
，
，，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
利用非负数的性质求解即可；
如图1中，过C作轴于证明≌推出，，可得结论；
如图2中，在y轴上取点G，使，连接DG，证明≌，推出，进而求得，进而推导出
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．