高中数学北师大版必修11.2利用二分法求方程的近似解当堂达标检测题

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1.2 利用二分法求方程的近似解
基础过关练
题组一 二分法的概念及适用条件
1.下列图象对应的函数能用二分法求零点的是( )
2.(2024安徽皖北六校期末联考)用二分法求函数f(x)=3x-2-1的零点时,初始区间可选为( )
A.[-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3]
3.(多选题)(2024陕西宝鸡期末) 用二分法求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据:f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)≈-0.984,f(1.375)≈-0.260,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在(1.25,1.5)上有零点
B.已经达到精确度,可以取1.375作为近似值
C.没有达到精确度,应该接着计算f(1.312 5)
D.没有达到精确度,应该接着计算f(1.437 5)
4.(2024福建莆田第二十五中学期末)若用二分法求方程2x3+3x-3=0在初始区间(0,1)内的近似解,则第三次取区间的中点x3= .
题组二 用二分法求函数零点的近似值
5.(2023黑龙江哈尔滨师大附中期中)用二分法求方程3x=8-3x在(1,2)内的近似解时,记f(x)=3x+3x-8,可得f(1)<0, f(1.25)<0, f(1.5)>0, f(1.75)>0,据此判断,方程的根所在的区间是( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,1.75) D.(1.75,2)
6.(2023河北唐山第一中学月考)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题不正确的是( )
A.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
7.已知用二分法计算函数f(x)=x3+2x-8的零点时,其附近的函数值参考数据如下表所示:
则方程x3+2x-8=0的近似解可为(精确度为0.1)( )

8.已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续的曲线,且函数f(x)在区间(a,b)上有一个零点x0,f(a)·f(b)<0,用二分法求x0时,当f a+b2=0时,函数f(x)的零点x0是 .
9.已知函数f(x)=3x2-1在区间(0,1)上有唯一零点x0,如果用二分法求这个零点(精确度ε=0.05)的近似值,那么将区间(0,1)等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间(a,b)满足|a-b|<ε,则可用a+b2作为零点的近似值,由此求得x0= .
10.求方程lg x=12x-1的近似解(精确度为0.1).
题组三 二分法思想的应用
11.已知函数f(x)=ax3+2ax+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若a=3233,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根.
12.为防范某种病毒的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用“优选法”提高检测效率:每32人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查.若为阴性,则全部放行;若为阳性,则对该组32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组,选其中一组16人的样本混合检查,若为阴性,则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分为两组,选其中一组8人的样本混合检查……依此类推,最终从这32人中认定那名感染者需要经过检测的次数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
13.已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障),这是一条10 km长的线路,应如何迅速查出故障所在?
答案与分层梯度式解析
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.2 利用二分法求方程的近似解
基础过关练
1.C 在A和D中,函数虽有零点,但这些零点均是不变号零点,因此都不能用二分法求零点.在B中,函数无零点.在C中,函数图象是一条连续的曲线,且图象与x轴有交点,并且其零点为变号零点,所以C中图象对应的函数能用二分法求零点.
2.A f(-1)=-16<0,f(0)=12>0,f(1)=52>0,f(2)=172>0,f(3)=532>0,则f(-1)·f(0)<0,即初始区间可选[-1,0].故选A.
3.AD 对于A,f(1.25)f(1.5)<0,由零点存在定理知,函数f(x)=x3+x2-2x-2在(1.25,1.5)上有零点,故A正确;
对于B,1.5-1.375=0.125>0.1,没有达到精确度,故B错误;
对于C、D,没有达到精确度,1.5+1.3752=1.437 5,所以应该接着计算f(1.437 5),故C错误,D正确.故选AD.
4.答案 58
解析 设f(x)=2x3+3x-3,则f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,
∴第一次取区间(0,1)的中点x1=12,
f12=-54<0, f12·f(1)<0,∴f(x)的零点所在的区间为12,1,
∴第二次取区间12,1的中点x2=34,
f34=332>0,f12·f34<0,∴f(x)的零点所在的区间为12,34,
∴第三次取区间12,34的中点x3=12+342=58.
5.B 因为y=3x与y=3x-8在R上均单调递增,所以f(x)=3x+3x-8在R上单调递增,
因为f(x)的图象连续不断,f(1.25)<0, f(1.5)>0,所以f(x)在(1.25,1.5)上有唯一零点x0,即3x0+3x0-8=0,故3x0=8-3x0,所以方程的根落在区间(1.25,1.5)内,且为x=x0.故选B.
6.C 对于A,令f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,则函数f(x)的两个零点可能分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A中命题正确;
对于B,令f(1)>0,f(2)<0,f(3)>0,则函数f(x)的两个零点可能分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B中命题正确;
对于C,已知f(0)>0,若函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(2,3)内,则必有f(1)<0,f(2)<0,f(3)>0,与f(1)f(2)f(3)<0矛盾,故C中命题错误;
对于D,如果函数f(x)的两个零点都在区间(1,2)内,f(0)>0,那么必有f(1)>0,f(2)>0,进而有f(3)>0,与f(1)f(2)f(3)<0矛盾,所以函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内,故D中命题正确.
故选C.
7.B 由题表可知函数的零点在区间(1.625,1.687 5)内,结合选项知方程的近似解可为1.66,故选B.
8.答案 a+b2
解析 因为f a+b2=0,所以函数f(x)的零点是a+b2.
9.答案 5;3764
解析 开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n(n∈N+)次操作后,区间长度变为12n,故有12n<0.05,即2n>20,因为24=16,25=32,所以n≥5.
故计算5次就可满足要求,所以将区间(0,1)等分的次数至少是5.
f(0)=-1<0,f(1)=2>0.
因为f 12<0,所以第一次得到的区间为12,1;
因为f 34>0,所以第二次得到的区间为12,34;
因为f 58>0,所以第三次得到的区间为12,58;
因为f 916<0,所以第四次得到的区间为916,58;
因为f 1932>0,所以第五次得到的区间为916,1932.
因为1932-916=132<0.05,所以函数零点为916+19322=3764.
10.解析 作出y=12x-1与y=lg x的图象,如图所示.
由函数y=lg x与y=12x-1的图象可知,方程lg x=12x-1有唯一实数解,且在区间(0,1)内.
设f(x)=lg x-12x+1, f(1)=12>0,用计算器计算,列表如下:
由于|0.562 5-0.5|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)的零点的一个近似值为0.562 5,即方程lg x=12x-1的近似解为0.562 5.
11.解析 (1)若a=0,则f(x)=-4,与题意不符.
故a≠0,则易得f(x)在(-1,1)上是单调连续函数,
∵f(x)在区间(-1,1)上有一个零点,
∴f(-1)·f(1)=-4(6a-4)<0,解得a>23,
故实数a的取值范围为23,+∞.
(2)若a=3233,则f(x)=3233x3+6433x-1211,
∵f(-1)=-4<0, f(0)=-1211<0, f(1)=2011>0,
∴函数f(x)的零点在区间(0,1)上,
又f 12=0,
∴方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根为12.
12.C 第1次检验:32人均分为两组,每组16人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第2次检验:留下的16人均分为两组,每组8人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第3次检验:留下的8人均分为两组,每组4人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第4次检验:留下的4人均分为两组,每组2人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第5次检验:任意检验其中的1人,若该人检测结果为阴性,则另一个人感染,若该人检测结果为阳性,则该人感染.
综上,最终从这32人中认定那名感染者需要进行的检测次数为5.故选C.
13.解析 如图,可首先从中点C开始检查,若AC段正常,则故障在BC段;再从BC段的中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段;再从BD段的中点E检查,……,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,这样即可迅速找到故障所在.
x
1
2
1.5
1.75
1.625
1.687 5
f(x)
-5.00
4.00
-1.63
0.86
-0.46
0.18
零点所在区间
中点的值
中点函数
近似值
区间长度
(0,1)
0.5
-0.008 1
1
(0.5,1)
0.75
0.280 5
0.5
(0.5,0.75)
0.625
0.147 5
0.25
(0.5,0.625)
0.562 5
0.073 0
0.125
(0.5,0.562 5)
0.062 5