2025届上海市高三数学一模暨春考数学试卷2

这是一份2025届上海市高三数学一模暨春考数学试卷2，共19页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，.若，则实数a的值是 .
2．已知是虚数单位.若，则的值为 .
3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．
4．函数的定义域是 .
5．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
6．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线为 ．
7．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则
8．设为等差数列的前项和，若，，则的值为 .
9．已知函数，则关于x的不等式的解集为 .
10．如图，在△中，，，与交于点，，，，则的值为 .
11．圆与曲线相交于点四点，为坐标原点，则 .
12．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则sin2A+sin2B的最大值为 ．
二、单选题
13．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，判断下列结论：
（1）月接待游客量逐月增加；
（2）年接待游客量逐年增加；
（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；
（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．设函数，且其图像关于直线对称，则
A．的最小正周期为，且在上为增函数
B．的最小正周期为，且在上为增函数
C．的最小正周期为，且在上为减函数
D．的最小正周期为，且在上为减函数
15．已知函数是自然对数的底数，存在，所以（ ）
A．当时，零点个数可能有3个
B．当时，零点个数可能有4个
C．当时，零点个数可能有3个
D．当时，零点个数可能有4个
16．实数，满足，且，则对，的最大值为，则
A．B．C．D．
三、解答题
17．已知向量，.
（1）当时，求的值；
（2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值.
18．如图，在三棱柱中，，D，E分别是的中点.
（1）求证：DE∥平面
（2）若，求证：平面平面.
19．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为S．

（1）求面积S关于的函数表达式，并求定义域；
（2）求面积S的最小值及此时的值．
20．已知圆与椭圆相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为.
（1）求的值和椭圆C的方程；
（2）过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点.
①若，求直线的方程；
②设直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，问：是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.
21．已知函数.
（1）若在处的切线方程为，求实数，的值：
（2）求证：当时，在0,+∞上有两个极值点：
（3）设，若在单调递减，求实数的取值范围.（其中为自然对数的底数）
参考答案：
1．9
【解析】根据集合交集的定义即得.
【详解】集合，，，
，则a的值是9.
故答案为：9
【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.
2．
【分析】根据复数的运算，以及复数相等的条件，即可得出结果.
【详解】∵，∴，，
则，
故答案为：.
【点睛】本题考查了复数的乘方和复数相等的概念，是基础题.
3．0.08
【解析】先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.
【详解】首先求得，
．
故答案为：0.08.
【点睛】本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.
4．
【分析】根据偶次根式有意义的条件是被开方大于等于0，列不等式可解得.
【详解】由，解得或，
所以定义域为.
故答案为：
【点睛】本题考查了利用偶次根式的被开方大于等于0求函数的定义域，属于基础题.
5．
【详解】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为
【考点】古典概型
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.
6．
【分析】利用双曲线的离心率求出a，然后求解双曲线的渐近线方程．
【详解】双曲线（a＞0）的离心率为，可得：，解a＝1，
所以双曲线方程为：，所以该双曲线的渐近线为．
故答案为．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的离心率和渐近线，属于常考题型．
7．
【详解】试题分析：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE：S△ABC=1：4，
又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．
即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍．
所以V1：V2=S△ADE•h/S△ABC•H＝=1：24
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
8．30
【解析】由等差数列的性质可得，结合可得，公差，所以，再利用等差数列的求和公式即可得到答案.
【详解】设等差数列的公差为，由已知及等差数列的性质，得，
，又，所以，即，，
故，.
故答案为：30
【点睛】本题考查等差数列的求和问题，涉及到等差数列的基本性质，考查学生的计算能力，是一道中档题.
9．
【解析】由题意画出函数的图象，结合图象分类讨论，当时，代入解析式直接解不等式；当时，根据单调性解不等式；从而求出解集．
【详解】解：根据题意可得函数在上单调递减，在上单调递增，图象如图，
当即时，
，，
由得，解得；
当即时，
∵，函数在上单调递增，
∴恒成立；
综上：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分段函数解不等式，本题的关键在于画出图象得到函数的单调性，考查数形结合思想，属于中档题．
10．2
【分析】令，，利用平面向量的基本定理知：，，将其转化为的线性关系，可求，再由已知条件，应用数量积的运算律求即可.
【详解】令，，
而，
，
∴，得，
∴，又，
∴，，，
∴.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：设，，应用平面向量基本定理求的线性关系求参数，利用向量数量积的运算律求.
11．
【分析】根据圆方程，求得圆心；根据函数求得其对称中心，结合圆的对称性，即可求得结果.
【详解】由圆方程，可得圆心坐标为，
又，其图象关于对称
在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如下所示：
数形结合可知，圆和函数都关于点对称，
故可得其交点和，和都关于点对称.
故，
则
.
故.
故答案为：.
【点睛】本题综合考查向量的运算，由圆方程求解圆心的坐标以及圆的对称性，分式函数图象的绘制，属综合性困难题.
12．
【分析】用降幂公式降幂后，再利用两角和与差的余弦公式转化（），然后利用余弦函数性质放缩可得．
【详解】，
因为都是锐角，所以，，
所以，取等号时，此时由得，所以.
所以最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角函数的最值，解题时用降幂公式转化，用两角和与差的余弦公式（可用和差化积公式）转化，目的是减少变量的个数，便于利用三角函数性质求得最值．
13．C
【解析】由题图可知逐一分析即可，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误，（2）（3）（4）正确.
【详解】由题图可知，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误；
年接待游客数量逐年增加，故（2）正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对变化较小，而7月至12月则变化较大，故（4）正确；
故选：C.
【点睛】本题考查折线统计图，考查统计思想与分析数据能力，属于简单题.
14．C
【详解】试题分析：，∵函数图像关于直线对称，
∴函数为偶函数，∴，∴，∴，
∵，∴，∴函数在上为减函数.
考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.
15．C
【分析】将的零点转化为两个图象的交点，分析的单调区间，即可得出结论.
【详解】将看成两个函数与的交点，
时，与图象的交点，
单调递增，
，
所以存在唯一的，使得，
当单调递减，
当单调递增，
所以有两个单调区间，与至多只有两个交点，
所以AB错误；
当时，
，
设单调递增，
，
所以存在唯一的，使得，
令或，
当时，或，
当时，，
所以的单调递增区间是，
单调递减区间是，
所以有三个单调区间，与至多有三个交点，则D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查函数的零点，等价转化为求函数的单调区间，属于中档题.
16．B
【解析】不妨设，，要求的最大值，考虑极端情况，考虑和两种情况，计算得到答案.
【详解】不妨设，，要求的最大值，考虑极端情况，
当时，计算得到数列为：，
故，当时，；
当时，得到数列为：，
故，当时，；
综上所述：.
故选：.
【点睛】本题考查了数列项的最大差值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
17．（1）；（2）时，函数的最大值为.
【解析】（1）根据即可求出，然后根据二倍角的正切公式即可求出的值；
（2）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式得出，从而可求出的最大值，以及对应的的值．
【详解】（1）因为，所以，
因为（否则与矛盾），所以，
所以.
（2）
，
因为，所以，
所以当，即时，函数的最大值为.
【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系、二倍角的正弦、余弦和正切公式、两角和的正弦公式和数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
18．（1）见证明；（2）见证明
【分析】（1）连结AB1，B1C，推导出四边形ABB1A1是平行四边形，DE∥B1C，由此能证明DE∥平面BCC1B1．
（2）推导出DE∥B1C，从而AB⊥B1C，推导出平行四边形BCC1B1是菱形，从而BC1⊥B1C，再由AB⊥B1C，得BC1⊥平面ABC1，由此能证明平面ABC1⊥平面BCC1B1．
【详解】（1）连结.
在三棱柱中，，且，
所以四边形是平行四边形，
因为E是的中点，
所以E也是中点，
又因为D是AC的中点，
所以
又平面，平面，
所以DE∥平面.
（2） 由（1）知，因为，所以，
在三棱柱中，，四边形是平行四边形，
因为，所以，
所以平行四边形是菱形，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19．（1），的取值范围为，，；（2）时，面积S有最小值为．
【分析】（1）构造直角三角形，利用小圆直径与三角函数分别求出大、小正方形的边长，即可求得五个正方形的面积表达式，由小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长可求得的取值范围；（2）利用降幂公式及辅助角公式化简面积表达式为正弦型函数，当时S取最小值，此时求出的值然后求出，由二倍角的正弦公式可求得.
【详解】（1）过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，
所以点E，F分别为小正方形和大正方形边的中点，
所以小正方形的边长为，
大正方形的边长为，
所以五个正方形的面积和为，
，
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以，，，
所以的取值范围为，，
所以面积S关于的函数表达式为，
的取值范围为，，．

（2）法一：，
，
，
，其中，，
所以，此时，因为，所以
，所以，
所以，
则，化简得：，
由此解得：，
因为，所以，
答：面积S最小值为，
法二：，
，
令，则，
设，，
令，得：，
所以时，面积S最小值为.
【点睛】本题考查三角函数的综合应用、三角恒等变换、含三角函数的复合型二次方程的求解，属于较难题.
20．（1），；
（2）①；②是定值，为.
【解析】（1）由圆与椭圆相交于点M得，又因为椭圆的离心率为和可得答案；
（2）①设直线的方程为分别与圆、椭圆的方程联立，可求得坐标，由可得；②利用①中坐标得，，化简可得答案.
【详解】（1）因为圆与椭圆相交于点M(0，1)，N(0，-1)，所以，又因为椭圆的离心率为，所以，
所以，椭圆.
（2）①因为过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点，
因为所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得，所以，
同理得，所以，
因为，所以，又，所以，
即直线的方程为.
②是定值，理由如下，
由①知，，
，，
所以为定值.
【点睛】本题考查了椭圆的简单集合性质，椭圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系，（2）中的关键点是圆的方程与直线方程、椭圆方程与直线方程联立得出坐标，再结合已知条件可得答案.
21．（1）；.（2）见解析（3）
【分析】（1）根据函数解析式，先求得导函数，将横坐标带入结合切线方程的斜率即可求得的值，进而可得切点坐标，将切点坐标代入切线方程即可得的值.
（2）令，再求得，由导函数与函数单调性关系可得的单调区间.由可得的最小值符号，再由及零点存在定理可判断在有一个零点；表示出，并构造函数，由的符号可得的单调递减区间，根据零点存在定理可知在有一个零点，从而证明出结论.
（3）由题意可得的表达式，构造函数，并求得，再构造函数，并由的符号可判断的单调情况，从而由的最值判断出的符号，即可得的单调情况.对分类讨论，从而由的符号得符合题意的的取值范围.
【详解】（1）函数.
则，
由条件知，所以，
，所以切点坐标为.
把代入，
解得.
（2）证明：令，
则，所以在单调递减，在单调递增.
因为，所以.
又，所以在有一个零点.
又，
令，则，
所以在单调递减，故，
即，所以在有一个零点.
于是可知：当时，，单调递增；当时，
，单调递减；当时，，单调递增.
因此，在0,+∞上有两个极值点（在处取得极大值，在处取得极小值）.
（3），
令，
则，
令，当时，，
单调递增，，
所以，在单调递增，
于是可得，
①若，则，，
因为在单调递减，
所以
，
令，
当时，，
故单调递减，所以，解得，
②若，则，
，
因为在单调递减，所以，
当，时，
，
所以，即，满足题设.
③若，则存在唯一确定的，使得.
当时，，即存在，，
但，这与在单调递减矛盾，不合题意.
综上所述，.
【点睛】本题考查了导数的几何意义及由切线方程求参数，利用导函数分析函数的极值情况，构造函数法分析函数的单调性与最值情况，分类讨论思想的综合应用，是高考的热点和难点，属于难题.
题号
13
14
15
16






答案
C
C
C
B






t
-
0
+
极小值