2024-2025学年山东省德州市宁津县八年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省德州市宁津县八年级（上）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个实数中，是无理数的是( )
A. 3.1415926B. 22C. 5D. 181
2.用如图所示的方式可以测量纸杯的角度，其依据的数学原理是( )
A. 两直线平行，内错角相等B. 等角的余角相等
C. 同位角相等D. 对顶角相等
3.如图，小手盖住的点的坐标可能为( )
A. (−2,−3)
B. (−2,3)
C. (2,3)
D. (2,−3)
4.不等式2x+7≥3x+6的解在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.把方程2x−y=4改写成用含x的式子表示y的形式正确的是( )
A. y=2x−4B. x=12y+2C. y=2x+4D. x=12y−2
6.以下抽样调查中，选取的样本具有代表性的是( )
A. 了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查
B. 了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查
C. 了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查
D. 了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查
7.小明一家在自驾游时，发现某公路上对行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度为v千米/小时，则v满足的条件是( )
A. v≤120B. v=120C. 60≤v≤120D. v≥60
8.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》和《牵风记》两种书.已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同.如果设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元.根据题意列方程组正确的是( )
A. x+2y=805x=6yB. 2x+y=805x=6yC. x+2y=806x=5yD. 2x+y=806x=5y
9.如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F=30°，∠C=45°，AB与DE相交于点G，当EF/​/BC时，∠AGE的度数是( )
A. 60°B. 65°C. 75°D. 85°
10.一个正数的两个不同的平方根为a+3和2a−15，则这个正数是( )
A. 7B. 11C. 49D. 324
11.已知关于x的不等式组x−a≥22−3x>−7的整数解有5个，则a的取值范围是( )
A. −5≤a≤−4B. −512.如图，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A(−1,0).点A第一次向上平移1个单位至点A1(−1,1)，接着又向右平移1个单位至点A2(0,1)，然后再向上平移1个单位至点A3(0,2)，向右平移1个单位至点A4(1,2)，…，照此规律平移下去，点A2024的坐标是( )
A. (1010,1011)
B. (1011,1012)
C. (1010,1012)
D. (1011,1013)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.计算：|−4|− 9+3−1= ______．
14.手工课上小亮将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠1=40°，则∠AEF度数是______．
15.在平面直角坐标系第二象限内有一点A，它到x轴的距离为3，到y轴的距离为6，则点A的坐标为______．
16.如图是根据某初中校为贫困山区学校捐书的情况而制作的统计图，已知该校共有300名学生，请根据统计图计算该校初二年级共捐书______本.
17.如果x=1y=2是方程组ax+by=−1bx+ay=4的解，那么代数式a−b的值为______．
18.在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，[2]=2，[−2.1]=−3，则对于任意的实数x，[1+x]+[2−x]的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)解方程组：3x−y=42x+3y=−1；
(2)解不等式组：2x+3≤51−x220.(本小题10分)
某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩(单位：分)分为四个类别：A(58≤t≤60)，B(54≤t<58)，C(50≤t<54)，D(t≤50)，将分类结果制成如下两幅统计图(尚不完整)．

根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽样的样本容量为______；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中a的值为______，圆心角β的度数为______；
(4)若九年级有612名学生，估计测试成绩少于54分的学生有多少名？
21.(本小题10分)
已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是 15的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求(a+c)b的立方根．
22.(本小题12分)
如图，已知CF/​/AB，∠1+∠B=180°．
(1)尝试判断EF与BC平行吗？请说明理由；
(2)若CF平分∠BCD，CF⊥AD于点F，∠BCD=54°，求∠DFE的度数．
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上．
(1)平移△ABC，使点B与坐标原点O是对应点，请画出平移后的△A1C1O，并写出A、C两点的对应点A1、C1的坐标．
(2)求△ABC的面积．
24.(本小题12分)
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具.灯塔市公交公司购买一批A，B两种型号的新能源汽车，已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要55万元，购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要120万元．
(1)求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？
(2)若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且总费用不超过220万元，则最少能购买A型汽车多少辆？
25.(本小题14分)
综合与探究
问题情境
如图1，点D是∠ABC的边AB上一点，过点D作直线EF/​/BC，BM是∠ABC的平分线，以点D为端点作线段DN，连接MN．
问题初探
(1)在图1中，若DN是∠ADF的平分线，试探究：∠M与∠N的数量关系；
问题再探
(2)如图2，若DN是∠BDE的平分线，则∠M与∠N又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由；
拓展探究
(3)如图3，若DN是∠ADE的平分线，∠N=15°，请求出∠M的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、3.1415926是有限小数，属于有理数，故不符合题意；
B、 22属于无理数，故符合题意；
C、5是整数，属于有理数，故不符合题意；
D、 181=19，是分数，属于有理数，故不符合题意；
故选：B．
无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．
本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念是解题的关键，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．
2.【答案】D
【解析】解：如图所示的方式可以测量纸杯的角度，其依据的数学原理是对顶角相等，
故选：D．
根据对顶角相等判断即可，
题目主要考查对顶角、邻补角，余角和补角，同位角、内错角、同旁内角，平行线的性质，理解题意是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：如图，小手盖住的点的坐标可能为(2,−3)，
故选：D．
根据第四象限点的坐标特征(+,−)，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵2x+7≥3x+6，
∴2x−3x≥6−7，
−x≥−1，
则x≤1，
将解集表示在数轴上如下：
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：方程2x−y=4，
移项得：−y=−2x+4，
解得：y=2x−4．
故选：A．
把x看作已知数表示出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，依次进行判断即可得．
【详解】解：A、了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意；
B、了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意；
C、了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意；
D、了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查，选取的样本具有代表性，选项说法错正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了样本，解题的关键是是掌握样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的．
7.【答案】C
【解析】解：由图可知最低限速60，
∴V≥60，
又自驾游的车属于小客车，
小客车的最高速不超过120，
即V≤120，
综上60≤V≤120，
故选：C．
本题是看图列代数式，要大于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过120，进而作答．
本题考查看图列代数式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答．
8.【答案】A
【解析】解：设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元，列方程组为x+2y=805x=6y，
故选：A．
根据“购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同”建立方程组即可．
本题考查从实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系是解答本题 的关键．
9.【答案】C
【解析】解：过点G作HG/​/BC，
∵EF/​/BC，
∴GH/​/BC/​/EF，
∴∠HGB=∠B，∠HGE=∠E，
在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F=30°，∠C=45°，
∴∠E=60°，∠B=45°，
∴∠HGB=∠B=45°，∠HGE=∠E=60°，
∴∠EGB=∠HGE+∠HGB=60°+45°=105°，
∵∠AGE+∠EGB=180°，
∴∠AGE=180°−105°=75°，
故选：C．
过点G作HG/​/BC，则有∠HGB=∠B，∠HGE=∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F=30°，∠C=45°，可以得到∠E=60°，∠B=45°，进而可求解∠EGB的度数，再根据平角的定义即可得出答案．
本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵一个正数的两个不同的平方根为a+3和2a−15，
∴a+3+2a−15=0，
∴a=4，
∴a+3=7，
∵72=49，
∴这个正数是49，
故选：C．
根据一个正数的两个平方根互为相反数得到a+3+2a−15=0，据此求出a=4，再根据平方根的概念求解即可．
本题主要考查了平方根的概念，解答中涉及相反数的概念，以及解一元一次方程，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：不等式组x−a≥22−3x>−7，
解得：a+2≤x<3，
∵不等式组的整数解有5个，
∴不等式组的整数解为−2，−1，0，1，2，
∴−3解得：−5故选：B．
表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解有5个，求出a的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是本题的突破点．
12.【答案】B
【解析】解：由题意，A2(0,1)，A4(1,2)，A6(2,3)，A8(3,4)，A10(4,5)，⋅⋅⋅，A2n(−1+n,n)，当n=1012时，A2022(1011,1012)，
故选：B．
根据题意得出前若干个点的坐标，得到规律，利用规律解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
13.【答案】0
【解析】解：|−4|− 9+3−1
=4−3−1
=0，
故答案为：0．
先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后计算加减法即可．
本题主要考查了实数的运算，正确进行计算是解题关键．
14.【答案】110°
【解析】解：由折叠的性质可知：∠BFE=∠HFE，
∵∠1+∠BFE+∠HFE=180°，∠1=40°，
∴∠BFE=∠HFE=70°，
∵AD/​/BC，
∴∠AEF=180°−∠BFE=110°，
故答案为：110°．
由折叠的性质和平角的定义得到∠BFE=∠HFE=70°，再由平行线的性质即可得到∠AEF=180°−∠BFE=110°．
本题考查的是翻折变换、矩形的性质，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15.【答案】(−6,3)
【解析】解：∵在平面直角坐标系内有一点A，它到x轴的距离为3，到y轴的距离为6，
∴点A的横坐标的绝对值为6，纵坐标的绝对值为3，
∵点A在第二象限，
∴点A的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点A的坐标为(−6,3)，
故答案为：(−6,3)．
根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值得到点A的横坐标的绝对值为6，纵坐标的绝对值为3，再由第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正即可得到答案．
本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键．
16.【答案】768
【解析】解：300×32%×8=768(本)，
即该校初二年级共捐书768本．
故答案为：768．
先根据扇形统计图求出该校初二年级学生人数，再根据初二年级人均捐书8本可得答案．
本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中获取准确的信息．
17.【答案】5
【解析】解：∵x=1y=2是方程组ax+by=−1bx+ay=4的解，
∴a+2b=−1①2a+b=4②，
②−①得，a−b=5，
故答案为：5．
根据二元一次方程组解的定义代入可得a+2b=−1①2a+b=4②，再由②−①即可得出答案．
本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义是正确解答的前提．
18.【答案】2或3
【解析】解：依题意得：设x=[x]+a(0≤a<1)，
①当a=0时，x为整数，1+x，2−x都是整数，
∴[1+x]=1+x，[2−x]=2−x，
∴[1+x]+[2−x]=1+x+2−x=3，
②当0∴[1+x]=1+[x]，[2−x]=1−[x]，
∴[1+x]+[2−x]=1+[x]+1−[x]=2．
综上所述：[1+x]+[2−x]=2或3．
故答案为：2或3．
设x=[x]+a(0≤a<1)，分①当a=0时，②当0本题主要考查了新定义运算，灵活分类，依据新定义运算法则计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)3x−y=4①2x+3y=−1②，
①×3+②，得11x=11，
解得x=1，
把x=1代入①，得3−y=4，
解得y=−1，
∴原方程组的解为x=1y=−1；
(2)2x+3≤5①1−x2解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x>35，
则不等式组的解集是35【解析】(1)利用加减消元法可以求得该方程组的解；
(2)分别计算出两个不等式的解集，然后再利用解集的规律确定不等式组的解集．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的解法，熟练掌握各个方法与步骤是解题的关键．
20.【答案】60 20 144°
【解析】解：(1)本次抽样的人数为6÷10%=60(人)
∴样本容量为60，
故答案为：60；
(2)C组的人数为60×40%=24，
(3)A组所占的百分比为1260×100%=20%．
a的值为20，
圆心角β=360×40%=144°，
故答案为：20，144°；
(4)全校低于54分的学生的人数=612×24+660=306(人)．
答：全校低于54分的学生的人数306人．
(1)根据D组的人数和百分比即可求出样本容量；
(2)根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；
(3)根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；
(4)先算出低于54分的学生的百分比，在估算出全校低于54分的学生的人数．
本题考查频数(率)分布直方图，正确记忆相关知识点是解题关键．
21.【答案】解：(1)因为5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，
所以5a+2=33=27，3a+b−1=42=16，
所以a=5，b=2，
因为9<15<16，
所以3< 15<4．
因为c是 15的整数部分，
所以c=3；
(2)将a=5，b=2，c=3代入，得(a+c)b=(5+3)2=64，
因为64的立方根是4，
所以(a+c)b的立方根是4．
【解析】(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值；
(2)将a，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键．
22.【答案】(1)证明：EF/​/BC，理由如下：
∵CF/​/AB，
∴∠B+∠FCB=180°，
∵∠1+∠B=180°，
∴∠1=∠FCB，
∴EF/​/BC；
(2)解：∵CF⊥AD，
∴∠CFD=90°，
∵CF平分∠BCD，∠BCD=54°，
∴∠DCF=∠FCB=27°，
由(1)可得∠1=∠FCB=27°
∴∠DFE=∠CFD−∠1=63°．
【解析】(1)由CF/​/AB可得∠B+∠FCB=180°，再结合∠1+∠B=180°可得∠1=∠FCB，可得EF/​/BC；
(2)由CF⊥AD，可得∠CFD=90°，再结合CF平分∠BCD，∠BCD=54°，可求得∠DCF=∠FCB=27°，则可求∠DFE的度数．
本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与应用．
23.【答案】解：(1)如图所示，△A1C1O即为所求A1(−2,−4)C1(−3,−1)

(2)S△ABC=3×4−12×1×3×2−12×2×4=12−3−4=5．
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点A1，C1即可．再根据点的位置确定坐标即可；
(2)利用分割法把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
本题考查作图−平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是周围平移变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
24.【答案】解：(1)设购买每辆A型汽车需要x万元，每辆B型汽车需要y万元．
依题意有：3x+y=552x+4y=120，
解得：x=10y=25．
答：购买每辆A型汽车需要10万元，每辆B型汽车需要25万元；
(2)设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车(15−m)辆．
依题意有：10m+25(15−m)≤220，
10m+375−25m≤220，
解得：m≥313，
∵m取正整数，
∴m最小取11．
答：最少能购买A型汽车11辆．
【解析】(1)找出等量关系列出方程组再求解即可．本题的等量关系为“购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要55万元”和“购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要120万元”．
(2)设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车(15−m)辆，根据总费用不超过220万元，列出不等式计算即可求解．
本题考查不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找出(1)合适的等量关系：“购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要55万元”和“购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要120万元”.(2)根据总费用不超过220万元列出不等式再求解．
25.【答案】解：(1)∠M+∠N=180°，
理由：∵EF/​/BC，
∴∠ADF=∠ABC，
∵BM是∠ABC的平分线，DN是∠ADF的平分线，
∴∠ABM=12∠ABC，∠ADN=12∠ADF，
∴∠ABM=∠ADN，
∴DN//BM，
∴∠M+∠N=180°；
(2)∠M=∠N，
理由：∵EF/​/BC，
∴∠ABC=∠BDE，
∵BM是∠ABC的平分线，DN是∠BDE的平分线，
∴∠ABM=12∠ABC，∠BDN=12∠BDE，
∴∠ABM=∠BDN，
∴BM/​/DN
∴∠M=∠N；
(3)延长ND，BM交于点G，

∵EF/​/BC
∴∠BDF+∠ABC=180°，
∵DN是∠ADE的平分线，
∴∠ADN=12∠ADE，
∵∠ADN=∠BDG，∠ADE=∠BDF，
∴∠BDG=12∠BDF，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM=12∠ABC，
∴∠BDG+∠ABM=12∠BDF+12∠ABC
=12(∠BDF+∠ABC)
=12×180°
=90°，
∴∠G=180°−(∠BDG+∠ABM)=90°，
∵∠N=15°，
∴∠BMN=∠N+∠G=105°，
∴∠BMN的度数为105°．
【解析】(1)根据平行线的性质可得∠ADF=∠ABC，再利用角平分线的定义可得∠ABM=12∠ABC，∠ADN=12∠ADF，从而可得∠ABM=∠ADN，然后利用平行线的判定可得DN//BM，从而利用平行线的性质可得∠M+∠N=180°，即可解答；
(2)根据平行线的性质可得∠ABC=∠BDE，再利用角平分线的定义可得∠ABM=12∠ABC，∠BDN=12∠BDE，从而可得∠ABM=∠BDN，然后利用平行线的判定可得BM/​/DN，从而从而利用平行线的性质可得∠M=∠N，即可解答；
(3)延长ND，BM交于点G，根据平行线的性质可得∠BDF+∠ABC=180°，再利用角平分线的定义可得∠ADN=12∠ADE，然后利用对顶角相等可得∠ADN=∠BDG，∠ADE=∠BDF，从而可得∠BDG=12∠BDF，再利用角平分线的定义可得∠ABM=12∠ABC，从而可得∠BDG+∠ABM=90°，最后利用三角形内角和定理可得∠G=90°，从而利用三角形的外角性质可得∠BMN=105°，即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．最高限速
小客车
120
大型客车
100
货车
90
最低限速
60