北师大版（2024）九年级上册3 正方形的性质与判定教案

这是一份北师大版（2024）九年级上册3 正方形的性质与判定教案，共9页。
课时目标
1.理解正方形的概念,了解它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系.
2.探索并证明正方形的性质定理,进一步发展推理能力.
3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展合情推理能力.
学习重点
探索正方形的性质定理.
学习难点
正方形的性质的应用.
课时活动设计
情境引入
图中的四边形都是特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形,你能发现它们有什么样的共同特征?
学生自主探究,小组内讨论,教师引导,得出结论.
总结:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
设计意图:培养学生从数据中发现、推导结论的能力.
合作探究
1.正方形是矩形吗?是菱形吗?
2.你认为正方形具有哪些性质?与同伴交流.
3.正方形有几条对称轴?
学生对于问题1,3比较容易得到结论.对于问题2,比较容易得到“四个角都是直角”“四条边都相等”的结论,但是对于“正方形的对角线相等且互相垂直平分”这个结论,学生不一定能发现,不一定能得到完整的结论,所以教师在此处还是要进行必要的引导.比如:“我们来关注一下对角线的数量和位置关系”或者“既然正方形也是菱形,那么它的对角线……(引导学生回答)”.
答:1.正方形既是矩形,又是菱形.2.它具有矩形与菱形的所有性质.3.4条.
总结
定理:正方形的四个角都是直角,四条边相等.
定理:正方形的对角线相等且互相垂直平分.
设计意图:(1)引出正方形的定义.(2)通过引导学生回顾关于矩形、菱形的性质,由“正方形既是矩形又是菱形”得出关于正方形的两个性质定理.(3)引用教材上的“想一想”,让学生解决“正方形有几条对称轴的问题”.
典例精讲
例 如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由.
解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCE=90°(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF, ∴△BCE≌△DCF,∴BE=DF.
如图,延长BE交DF于点M.
∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
设计意图:使学生能够熟练运用正方形的性质解决问题.
议一议
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系?你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗?与同伴交流.
设计意图:充分锻炼学生理论依据图形化的能力、文本信息图形化的能力和空间观念.
巩固训练
1.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,图中有多少个等腰三角形?
解:图中共有8个等腰三角形.
第1题图 第2题图
2.如图,在正方形ABCD中,F为对角线AC上一点,连接BF,DF.你能找出图中的全等三角形吗?选择其中一对进行证明.
解:图中的全等三角形共有3对,分别是△ADC与△ABC,△FCD与△FCB,△FAD与△FAB.
选择△FAD≌△FAB(答案不唯一),证明如下:
在正方形ABCD中,∵AD=AB,∠DAF=∠BAF,
又∵AF=AF,∴△FAD≌△FAB.
设计意图:对本节课知识进行巩固练习.
课堂小结
1.正方形的性质包括边、角、对角线以及对称性.
2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系.
3.你有哪些收获与感悟?
设计意图:通过此环节对学过的知识进行回顾,并且进行再加工.总结主要由学生自主完成,教师只是在学生将某些知识或思想方法遗忘时进行适当的引导即可.
课堂8分钟.
1.教材第22页习题1.7第1,2,3题.
2.七彩作业.
第1课时 正方形的性质
正方形
定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等.定理2:正方形的对角线相等且互相垂直平分.
2.例题.
教学反思


第2课时 正方形的判定
课时目标
1.掌握正方形的判定定理,并能综合运用特殊平行四边形的性质和判定解决问题.
2.发现决定中点四边形形状的因素,能熟练地运用特殊平行四边形的判定及性质对中点四边形进行判断,并能对自己的猜想进行证明,进一步发展学生演绎推理的能力.
3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
学习重点
掌握正方形的判定定理.
学习难点
合理利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.
课时活动设计
情境引入
问题:如图,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个角,打开.怎样剪才能剪出一个正方形?(学生动手折叠、思考、剪切)
教师展示下面的框架图,复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.
设计意图:通过剪纸活动,引入正方形的判定问题,激发学生的学习兴趣与动手操作能力.
议一议
满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?请证明你的结论,并与同伴交流.
学生小组内交流、讨论,教师引导得出正方形的判定定理.
定理:
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线互相相等的菱形是正方形.
设计意图:引导学生归纳总结正方形的判定方法,提高学生归纳总结的能力,并复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,加深学生对知识的理解.
典例精讲
例 如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.
求证:四边形BECF是正方形.
证明:∵BF∥CE,CF∥BE,
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°.
又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
∴∠EBC=12∠ABC=45°,∠ECB=12∠DBC=45°.
∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.
∴▱BECF是菱形(菱形的定义).
在△EBC中,∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,
∴∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
设计意图:通过上述例题,复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理,让学生尝试综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.
探究新知
1.(1)如图1,在△ABC中,EF为△ABC的中位线,
①若∠BEF=50°,则∠A= 50° .②若EF=8 cm,则AC= 16 cm .
(2)如图2,在AC的下方找一点D,分别作CD和AD的中点G,H,则EF和GH有怎样的关系?EH和FG呢?(EF∥HG,EH∥FG.)
图1 图2
(3)四边形EFGH(如图2)的形状有什么特征?(四边形EFGH是平行四边形.)
教师在提问时选择平时学习数学有困难的学生,由于是前面已经学过的知识,并且问题比较简单,这样可以增强学生学习数学的自信心.
2.问题:如果四边形ABCD变为特殊的四边形,中点四边形EFGH会有怎样的变化呢?
3.学生以小组的形式,在众多的特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形)中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形,并验证结论的正确性.
学生结合前面学过的各种特殊四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识,通过类比和转化归纳出以下几种情况.
图1 图2 图3 图4
图5 图6 图7
归纳:
平行四边形的中点四边形是平行四边形(如图1);矩形的中点四边形是菱形(如图2);菱形的中点四边形是矩形(如图3);正方形的中点四边形是正方形(如图4);等腰梯形的中点四边形是菱形(如图5);直角梯形的中点四边形是平行四边形(如图6);梯形的中点四边形是平行四边形(如图7).
4.问题:(1)矩形和等腰梯形是形状不同的四边形,为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形?
(2)平行四边形变化为菱形需要增加什么条件?
(3)你是从什么角度考虑的?
(4)你从哪儿得到的启发?
(5)你能用你的发现解释其他的图形变化吗?例如,原四边形为菱形,其中点四边形为矩形.
规律:确定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.
(1)若对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形(如图1);
(2)若对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形(如图2);
(3)若对角线既相等,又垂直,则中点四边形EFGH为正方形(如图3);
(4)若对角线既不相等,也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形(如图4).
图1 图2 图3 图4
设计意图:以问题串的形式引导学生逐步深入思考,体会由一般到特殊再到一般的归纳思想方法,进一步提高学生的数学表达能力.
学以致用
E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,利用几何画板拖动点A,对四边形EFGH的图形变化进行研究.
设计意图:用动画的形式让学生观察四边形在不断变化的过程中,中点四边形的变化情况,体会变化中存在不变的几何关系,培养学生的发散思维能力.在题目的设置上,采用逐步递进的策略,其中图1中四边形ABCD为凸四边形,图2中是AB,AD在同一条直线上,图3中四边形ABCD为凹四边形,图4中四边形ABCD为扭曲四边形.
课堂小结
1.本节课重点学习了什么知识,运用了哪些数学思想和方法?
2.通过本节课的学习你有哪些收获?在今后的学习过程中应该怎么做?
设计意图:培养学生的归纳能力,使学生形成完整的知识结构,总结研究数学问题的一般方法.
课堂8分钟.
1.教材第25页习题1.8第1,2,3题.
2.七彩作业.
第2课时 正方形判定
1.正方形的判定定理有一组邻边相等手矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形
2.特殊四边形的中点四边形.
3.例题.
教学反思