北师大版（2024）九年级上册1 认识一元二次方程教案及反思

这是一份北师大版（2024）九年级上册1 认识一元二次方程教案及反思，共6页。

课时目标
1.经历由具体问题抽象出一元二次方程概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
2.理解一元二次方程及其相关概念.
学习重点
抽象概括出一元二次方程的概念.
学习难点
通过具体情境建立数学模型.
课时活动设计
情境引入
图1
幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯(如图1),四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗?
如果设所求的宽度为x m,那么你能列出怎样的方程?
解:(8-2x)(5-2x)=18.
图2
注意事项:教学中,为了帮助学生理解题意,可以先提出问题:你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗?并让一学生指出对应的三部分,再要求学生从这一实物图中抽象出几何图形(如图2).
设计意图:培养学生的问题意识,增强学生分析问题的能力,提升学生抽象思维能力,同时也为后续归纳一元二次方程的概念提供材料.
探究新知
1.你能找到关于102,112,122,132,142这五个数之间的等式吗?
解:102+112+122=132+142.
通过前面的学习,直接让学生设未知数,列出适合条件的方程.
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎么用含x的代数式表示其余四个数?根据题意,你能列出怎样的方程?
解:x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.
注意事项:在找五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和的问题时,部分学生有困难,并且寻找的方式也有不同,有的学生采取代入特殊值一个一个去试,有的学生直接归结为方程去解决.对于那些需要帮助的学生,教师应给予必要的指导.
2.如图,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m.那么梯子的底端滑动多少米?
你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗?如果设梯子底端滑动x m,那么你能列出怎样的方程?
解:(x+6)2+72=102.
结合上面得到的三个方程:(8-2x)(5-2x)=18,x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,(x+6)2+72=102,观察它们的共同点,得到一元二次方程的概念及其各部分的名称.
归纳:上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项,一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
设计意图:通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念,加深对概念的理解.
巩固训练
1.把方程3(x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解:方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一般形式为5x2+36x-32=0,它的二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32.(答案不唯一)
2.从前有一天,一个笨汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺.他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个笨汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出一元二次方程.
解:设竹竿长为x尺,则门框宽为(x-4)尺,门框高为(x-2)尺.由题意得x2=(x-4)2+(x-2)2,即x2-12x+20=0.
设计意图:通过及时巩固一元二次方程的有关概念,使学生可以更好地掌握本节课的知识点.
课堂小结
让学生通过本节课的学习,自己归纳本节课的知识要点,学会了什么?还有哪些困惑?
设计意图:让学生养成自主梳理知识要点的习惯,提高归纳总结的能力,在归纳总结的过程中,了解自己对本节课内容还有哪些困惑并解决.
课堂8分钟.
1.教材第32页习题2.1第1,2题.
2.七彩作业.
教学反思


第2课时 一元二次方程解的估算
课时目标
1.经历探索满足一元二次方程的解或近似解的过程,促进学生对方程解的理解,发展学生的估算意识和估算能力.
2.进一步提高学生分析问题的能力,培养学生大胆尝试的精神,让学生在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣;培养学生的合作学习意识,让学生学会在合作学习中相互交流.
学习重点
估算一元二次方程的近似解.
学习难点
估算一元二次方程的近似解.
课时活动设计
复习引入
在上一节课中,我们得到了如下的两个一元二次方程:
(8-2x)(5-2x)=18,即2x2-13x+11=0;
(x+6)2+72=102,即x2+12x-15=0.
上一节课的两个问题是否已经完全解决了?你能求出各方程中的x吗?
设计意图:上述两个问题是承接上一课时的现实问题,适当的回顾是引导学生将现实问题转化为数学问题,并对该数学问题进行解答.
探究新知
1.有一根外带有塑料皮长为100 m的电线,不知什么原因中间有一处不通,现给你一只万用表(能测量电流是否流通)进行检查,你怎样快速地找到断裂处?与同伴进行交流.
2.对于前一课第一个问题,我们知道,x满足方程(8-2x)(5-2x)=18,即2x2-13x+11=0.
(1)根据题目的已知条件,你能确定x的大致范围吗?说说你的理由.
(2)x可能小于0吗?可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由,并与同伴进行交流.
(3)完成下表:
(4)你知道所求的宽度x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴进行交流.
设计意图:设计问题1,目的在于激发学生的学习兴趣,同时让学生体会和理解“夹逼”的思想,为问题2的解决提供铺垫;问题2引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的过程,为后续其他问题的解决提供了样本、范例.
巩固训练
上节课通过设未知数得到满足条件的方程,即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102,把这个方程化为一般形式为x2+12x-15=0.
(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
(2)小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗?为什么?
(3)底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?
(4)x的整数部分是几?十分位是几?
解:(1)能猜出.
(2)不正确.∵当x=1时,左边=1+12-15≠0,∴不正确.
(3)不可能.
∵当x=2时,左边=22+12×2-15≠0,当x=3时,左边=32+12×3-15≠0,
∴不可能是2 m或3 m.
(4)当x=1时,1+12×1-15=-1.当x=2时,22+12×2-15=13,
∴1 进一步计算:
∴1 设计意图:在本环节中,使学生充分体验探求方程解的过程,这是对上一环节的练习巩固,更重要的是在列表求解的过程中,引导学生先确定解的范围,从而建立两边“夹逼”的思想方法,进而体会无限逼近的思想,促进学生对方程解的理解,为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备.同时,对于近似解的讨论,一方面可以促进学生对方程解的理解,发展学生的估算意识和能力,另一方面又为方程精确解的研究做了铺垫.
课堂小结
师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键步骤,以及在求解(或近似解)时应注意的问题.
设计意图:培养学生及时反思的习惯.这种习惯不仅有助于学生深入理解课堂内容,而且能够提高他们独立思考和自主学习的能力.
课堂8分钟.
1.教材第35页习题2.2第1,2题.
2.七彩作业.
第2课时 一元二次方程解的估算
1.一元二次方程解(略). 例2x2-13x+11=0(略).
2.估算的方法(略).
教学反思


x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2-13x+11
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76