初中数学北师大版（2024）九年级上册第二章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册第二章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程教案设计，共5页。
1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解决某些简单的数字系数的一元二次方程.
2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活地选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.
学习重点
用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的一元二次方程.
学习难点
用提公因式法或公式法将一元二次方程适当变形.
课时活动设计
知识回顾
问题1.我们已经学过的解一元二次方程的方法有哪些?
①直接开平方法,将一元二次方程化为x2=p(p≥0)的形式,再开平方求解;
②用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式;
③用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式.
问题2.多项式因式分解的方法有哪些?
①提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c);
②平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);
③完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;
④“+”字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
设计意图:以问题串的形式引导学生思考,回忆解一元二次方程的方法和多项式因式分解的方法,有利于学生衔接前后知识,形成清晰的知识脉络,为学生后面的学习作铺垫.
探究新知
1.一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等,这个数是几?你是怎样求出来的?
学生A:设这个数为x.
根据题意,可列方程x2=3x,∴x2-3x=0.
∵a=1,b=-3,c=0,∴b2-4ac=9.∴x=3±32.
∴x1=0,x2=3.
∴这个数是0或3.
学生B:设这个数为x.
根据题意,可列方程x2=3x,∴x2-3x=0.
x2-3x+322=322,x-322=94.
∴x-32=32,或x-32=-32.
∴x1=3,x2=0.
∴这个数是0或3.
学生C:设这个数为x.
根据题意,可列方程x2=3x,
∴x2-3x=0,即x(x-3)=0.
∴x=0或x-3=0.∴x1=0,x2=3.
∴这个数是0或3.
学生D:设这个数为x.
根据题意,可列方程x2=3x,
两边同时约去x,得x=3,
∴这个数是3.
2.观察学生C的做法,你发现了什么?他运用了什么方法解一元二次方程?(小组讨论)
教师总结:当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就让两个因式各自为0,化成两个一元一次方程,进而达到降次.
设计意图:通过一元二次方程不同解法的比较,使学生能够根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.
一起探究
展示因式分解法如何通过降次求解一元二次方程.
以方程3x2=6x为例.
分析:先因式分解,使一元二次方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.基本步骤如下:
3x2=6x
↓ ①移项,使一元二次方程右边为0.
3x2-6x=0
↓ ②分解,把左边运用因式分解化为两个一次因式的乘积.
3x(x-2)=0
↓③赋值,分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程.
3x=0,x-2=0.
↓④求解,分别解这两个一元一次方程,它们的根就是原方程的解.
x1=0,x2=2.
归纳:左分解,右化0,两因式,各求解.
设计意图:师生互动,引导学生归纳总结,通过已知ab=0,则a=0或b=0,引出因式分解法解一元二次方程的概念和步骤,提高学生的归纳能力和理解能力.
典例精讲
例 解下列方程:
(1)5x2=4x;
(2)x-2=x(x-2);
(3)(x+1)2-25=0.
解:(1)原方程可变形为5x2-4x=0,
∴x(5x-4)=0.
∴x=0,或5x-4=0.
∴x1=0,x2=45.
(2)原方程可变形为(x-2)-x(x-2)=0,
∴(x-2)(1-x)=0.
∴x-2=0,或1-x=0.
∴x1=2,x2=1.
(3)原方程可变形为[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴(x+6)(x-4)=0.
∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-6,x2=4.
设计意图:例题讲解中,第(1)题学生独自完成,考查了学生对引例的掌握情况,便于及时反馈.第(2)(3)题师生互动共同合作,进一步规范解题步骤.
巩固训练
1.解方程:(1)(x+2)(x-4)=0; (2)x2-4=0;
(3)4x(2x+1)=3(2x+1).
解:(1)(x+2)(x-4)=0, (2)原方程可变形为x2-22=0,
x+2=0,或x-4=0, (x+2)(x-2)=0.
x1=-2,x2=4. x+2=0,或x-2=0.
x1=-2,x2=2.
(3)原方程可变形为(2x+1)(4x-3)=0,
2x+1=0,或4x-3=0.
x1=-12,x2=34.
2.一个数平方的两倍等于这个数的7倍,求这个数.
解:设这个数为x,
则2x2=7x,
即2x2-7x=0,
x(2x-7)=0,
解得x=0,或2x-7=0.
所以x1=0,x2=72.
故这个数为0或72.
设计意图:通过精心设计的练习题,学生可以更加清晰地回忆起课堂上讲解的概念和原理.通过不断地练习,学生可以巩固获得的基础知识,将零散的知识点串联起来,完善对新方法的认知.
扩展应用
一元二次方程(m-1)x2+3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0,求m的值.
注意事项:学生交流合作,教师提出问题进行适当的引导,题中一个根为0有什么用?
解:∵一元二次方程(m-1)x2+3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0.
∴把x=0代入方程,得(m+4)(m-1)=0.
∴m+4=0,或m-1=0.
∴m1=-4,m2=1.
又∵m-1≠0,∴m≠1.∴m=-4.
设计意图:通过有实际背景的练习题,可以有效地巩固和深化学生对本节知识的理解和应用.这些练习题不仅是对学生所学知识的检验,更是他们灵活运用知识、提高逻辑思维能力的有力工具.
课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键是什么?
2.在应用因式分解法时,应注意什么问题?
3.因式分解法体现了怎样的数学思想?
设计意图:通过思考上面的问题,对所学知识进行回顾,培养学生的归纳概括能力和语言表达能力.帮助学生将零散的知识点串联起来,逐步形成完整的知识框架.
课堂8分钟.
1.教材第47页习题2.7第1,2题.
2.七彩作业.
2.4用因式分解法求解一元二次方程
解一元二次方程的方法:
4.因式分解法(略). 例(略)
教学反思