初中数学北师大版（2024）九年级上册6 应用一元二次方程教学设计及反思

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册6 应用一元二次方程教学设计及反思，共8页。
课时目标
1.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
2.在列方程解决实际问题的过程中,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般步骤,进一步提高分析问题、解决问题的能力.
学习重点
应用一元二次方程解决实际问题.
学习难点
根据问题中的等量关系列一元二次方程.
课时活动设计
复习引入
列方程解决实际问题的基本步骤有哪些?
(1)审:分清已知未知,明确数量关系;
(2)设:设未知数;
(3)列:列方程;
(4)解:解方程;
(5)验:根据实际验结果;
(6)答:写出答案.
设计意图:通过循序渐进的方法,复习列方程解决问题的基本步骤,为本节内容的学习作铺垫.
探究新知
提出问题:还记得本章开始时梯子下滑的问题吗?
1.如图,梯子顶端下滑1 m时,梯子底端滑动的距离大于1 m,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢?
2.如果梯子长度是13 m,梯子顶端与地面的垂直距离为12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗?如果相等,那么这个距离是多少?
分组讨论:(1)怎么设未知数?在这个问题中存在怎样的等量关系?如何利用勾股定理来列方程?
(2)涉及到解的取舍问题,应引导学生根据实际问题进行检验,决定解到底取哪一个值.
解:(1)设梯子顶端下滑x m时,梯子底端滑动的距离和它相等.
梯子底端原来离墙的距离102-82=6(m).
根据题意,得(8-x)2+(6+x)2=102,
解得x1=2,x2=0(不合题意,舍去).
所以梯子顶端下滑2 m时,梯子底端滑动的距离和它相等.
(2)梯子顶端下滑距离可以与梯子底端滑动距离相等.
设梯子顶端下滑x m时,梯子底端滑动距离与它相等.
梯子底端原来离墙距离132-122=5(m).
根据题意,得(12-x)2+(5+x)2=132,
解得x1=7,x2=0(不合题意,舍去)
所以梯子顶端下滑7 m时,梯子底端滑动的距离与它相等.
设计意图:本环节以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材,以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点,用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望,用学生已有的知识为支点,进一步让学生体会数形结合的思想.
典例精讲
如图,某海军基地位于点A处,在其正南方向200 n mile处有一重要目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1 n mile)
分析:解决实际应用问题的关键是审清题意;分析各量之间的关系,找准各条有关线段的长度关系;建立方程模型,之后求解.
问题:
1.要求DE的长,需要如何设未知数?
2.怎样建立含DE未知数的等量关系?从已知条件中能找到吗?
3.利用勾股定理建立等量关系,如何构造直角三角形?
4.选定Rt△DEF后,三条边长都是已知的吗?DE,DF,EF的长度分别是多少?
学生在问题串的引导下,逐层分析,在分组讨论后找出题目中的等量关系,即:
速度等量:V军舰=2×V补给船;
时间等量:t军舰=t补给船;
三边数量关系:EF2+FD2=DE2.
弄清图形中线段长表示的量:已知AB=BC=200 n mile,DE表示补给船的路程,AB+BE表示军舰的路程.
学生在此基础上选准未知数,用未知数表示出线段DE,EF的长,根据勾股定理列方程求解,并判断解的合理性.
解:如图,连接DF.
∵AD=CD,BF=CF,∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB,DF=12AB.
∵AB⊥BC,AB=BC=200 n mile,∴DF⊥BC,DF=100 n mile,BF=100 n mile.
设相遇时补给船航行了x n mile,
那么DE=x n mile,
AB+BE=2x n mile,
EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n mile.
在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2,
整理,得3x2-1 200x+100 000=0.
解得x1=200-10063≈118.4,
x2=200+10063(不合题意,舍去).
所以相遇时补给船航行了大约118.4 n mile.
设计意图:通过问题串的设立,将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解,使学生在不知不觉中克服困难.
巩固训练
1.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走了10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远?
解:如图,设经x秒二人在B处相遇,这时乙共行AB=3x,
甲共行AC+BC=7x,
∵AC=10,
∴BC=7x-10.
又∵∠A=90°,
∴BC2=AC2+AB2.
∴(7x-10)2=102+(3x)2.
∴x=0(舍去),或x=3.5.
∴AB=3x=10.5.
AC+BC=7x=24.5.
答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.
2.甲、乙两个小朋友的年龄相差4岁,两个人的年龄相乘积等于45,你知道这两个小朋友几岁吗?
解:设较小的小朋友为x岁,则另一个小朋友为(x+4)岁,由题意可得
x(x+4)=45,
化为一般式为x2+4x-45=0.
所以x1=5,x2=-9(舍去).
5+4=9(岁).
所以这两个小朋友分别为5岁、9岁.
3.一块长方形草地的长和宽分别为20 m和15 m,在它四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246 m2,求小路的宽度.
解:设小路的宽度为x m,
依题意得(15+2x)(20+2x)=246+20×15,
整理2x2+35x-123=0,
解得:x1=3,x2=-20.5(不合题意,舍去).
∴小路的宽度为3 m.
4.有一个两位数等于其数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2,求这个两位数.
解:设这个数的个位数字为x,则十位数字为(x-2),
由题意,得10(x-2)+x=3(x-2)x.
解得x1=4,x2=53(不合题意舍去).
所以十位数字为4-2=2.
所以这个两位数为24.
设计意图:通过一元二次方程应用的练习,及时地了解到学生对本节课知识的掌握情况和灵活运用的程度,进而查漏补缺,强化记忆.
课堂小结
1.列方程解应用题的关键是什么?
2.列方程解应用题的步骤是什么?
3.列方程应注意哪些问题?
学生在学习小组中进行回顾与反思后,进行组间交流发言.
设计意图:通过回顾列方程的步骤和注意事项,进一步巩固本节课所学知识,将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中.
课堂8分钟.
1.教材第53页习题2.9第1,2,3,4题.
2.七彩作业
第1课时 应用一元二次方程(一)
解决实际问题的一般步骤. 例1
例2
教学反思


第2课时 应用一元二次方程(二)
课时目标
1.通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般步骤.
2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程,体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型,感受数学学习的意义.
3.能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.
学习重点
应用一元二次方程解决与利润有关的问题.
学习难点
根据问题中的等量关系列一元二次方程.
课时活动设计
复习引入
请同学们回忆并回答与利润相关的知识.
1.商品打9折要乘以90%或0.9或910,那么商品打x折呢?
2.与利润相关的等量关系式:
①利润=售价-进价;
②总利润=单个利润×销量;
③利润率=利润进价.
设计意图:通过回顾前面所学知识,使学生熟悉利润背景的实际问题中蕴含的数量关系,进而引出本节课的销售利润问题。
探究新知
新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元.调查发现,当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,每台冰箱的定价应为多少元?(做了改动,降低难度)
分析:本例中涉及的数量关系较多,学生在思考时可能会有一定的难度.所以,教学时采用列表的形式分析其中的数量关系.本题的主要等量关系是每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5 000元.
如果设每台冰箱降价x元,那么每台冰箱的定价应为 2900-x 元.
填完上表后,就可以列出一个方程,进而问题就解决了.
当然,解题思路不应拘泥于这一种,再利用上述方法解完此题后,可以鼓励学生自主探索,找寻其他解题的思路和方法.如求定价为多少?直接设每台冰箱的定价应为x元,应如何解决?
设计意图:通过分析冰箱销售问题,归纳出这类问题常用的等量关系:总利润=每销售一件产品的利润×销售的数量,找到解决这类问题的一般方法.
典例精讲
例 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,售价在40元至60元范围内,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个.为了实现平均每月10 000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应购进台灯多少个?
分析:本题关键是根据定价和销售量的关系,利用利润列方程求解,设售价定为x元,应少卖出10(x-40)个,其次要检验结果是否符合实际,选择合适的结果.
解:设台灯的售价定为x元,每个台灯的利润为(x-30)元,少卖10(x-40)个,等量关系:销售量×每个台灯的利润=总利润.
[600-10(x-40)](x-30)=10 000.
整理,得x2-130x+4 000=0.
解得x1=50,x2=80(舍去).
因为x=80不在售价40元至60元范围内,所以x=50.
600-10(x-40)=600-10×(50-40)=500(个).
所以台灯的售价定为50元,这时应购进台灯500个.
设计意图:本题为综合应用难度较大要注意:一定找出题中的等量关系,二是选择合适的根.引导学生理清思路,熟练指出问题中的数量关系.
巩固训练
1.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.那么参加这次会议的有多少人?
解:设参加会议有x人,依题意,得12x(x-1)=66,
整理,得x2-x-132=0.
解得x1=12,x2=-11(舍去).
所以参加这次会议的有12人.
2.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经试销发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1 200元,每件衬衫应降价多少元?
解:设每件衬衫降价x元,则每件盈利(40-x)元,平均每天可售出(20+2x)件,
依题意,得(40-x)(20+2x)=1 200.
整理,得x2-30x+200=0.
解得x1=10,x2=20.
又∵商场要尽快减少库存,
∴x=20.
所以每件衬衫应降价20元.
设计意图:选用大量的实际问题,通过列方程解决问题,并且在问题解决的过程中,提升学生分析问题、解决问题的能力.
课堂小结
通过两节课的学习,你能简要说明利用方程解决实际问题的关键和步骤吗?
关键:寻找等量关系.
步骤:(1)是整体地、系统地审清问题;(2)是把握问题中的“相等关系”;(3)是正确求解方程并检验解的合理性.
设计意图:学生通过回顾本节课的学习过程,体会利用一元二次方程解决实际问题的方法和技巧,加强利用方程解决实际问题的意识,进一步提高自己解决问题的能力.
课堂8分钟.
1.教材第55页习题2.10第1,2,3,4题.
2.七彩作业.
第2课时 应用一元二次方程(二)
常用的等量关系:
总利润=每销售一件产品的利润×销售的数量.
教学反思


每天的销售量/台
每台的销售利润/元
总销售利润/元
降价前
8
400
3 200
降价后
8+4×x50
400-x
5 000