2024-2025学年北师大版必修第一册 第五章 2 实际问题中的函数模型 作业

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第五章　函数应用§2　实际问题中的函数模型基础过关练题组一　利用已知函数模型解决问题1.(2024北京怀柔青苗学校期中)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=c　x,x0B.储存的温度越高,该食品的保鲜时间越长C.该食品在11 ℃时的保鲜时间是96 hD.该食品在33 ℃时的保鲜时间是24 h4.(2024福建厦门杏南中学期中)2023年8月29日,某品牌智能手机在该品牌商城正式上线.为了进一步增加市场竞争力,该品牌公司在2024年利用新技术生产某款新手机,通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本300万元,每生产x(千部)手机,需另投入成本R(x)万元,且R(x)=10x2+100x,00,a>0且a≠1)B.y=klogax+b(k>0,a>0且a≠1)C.y=kx+b(k>0)D.y=ax2+bx+c(a>0)9.(2024广西崇左钦州名校期末联考)某果园占地约200公顷,拟种植某种果树,在相同种植条件下,该种果树每公顷最多可种植600棵,种植成本y(单位:万元)与果树数量x(单位:百棵)的相关数据如下表所示:为了描述种植成本y与果树数量x之间的关系,现有以下三种模型可供选择:①y=bx+c;②y=bx+c;③y=blogax+c.(1)选出你认为最符合实际的函数模型,并写出相应的函数解析式;(2)已知该果园的年利润z(单位:万元)与x,y的关系式为z=3y-0.1x-20,则果树数量x为多少时年利润最大?并求出年利润的最大值.能力提升练题组一　已知函数模型解决实际问题1.(2022广西柳州一模)5G技术的数学原理之一是著名的香农公式:C=Wlog21+SN,它表示在受高斯白噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W.S是信道内所传信号的平均功率,N是信道内部的高斯噪声功率,SN叫作信噪比.按照香农公式,在不改变W的情况下,将信噪比SN从1 999提升至λ,使得C增加了20%,则λ的值约为(参考数据:lg 2≈0.3,103.96≈9 120)(　　)A.9 121　　　B.9 119　　　　C.9 919　　　D.10 9992.(2023陕西实验中学第四次模拟)某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策,加装了污水过滤排放设备,在过滤过程中,污染物含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为M=M0e-kt(其中M0,k是正数).已知经过1 h,设备可以过滤掉20%的污染物,则过滤掉60%的污染物需要的时间最接近(参考数据:lg 2=0.301 0)(　　)A.3 h　　　　B.4 h　　　　C.5 h　　　　D.6 h3.(2023江西赣州中学月考)“双碳”战略之下,新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向.根据工信部最新数据显示,截至2022年一季度,我国新能源汽车已累计推广突破1 000万辆大关.某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,每生产x千辆将获利10W(x)万元,且W(x)=2(x2+17),00),②y=dlogrx+s(r>0且r≠1),③y=max+n(a>0且a≠1);(2)为控制平台会员人数,防止其盲目扩大,平台规定会员人数不得超过k·94x(k>0)(千),依据(1)中你选择的函数模型求k的最小值.8.(2023重庆育才中学月考)某品牌汽车企业是我国乃至全世界新能源汽车的排头兵,新能源汽车主要采用电能作为动力来源,目前比较常见的主要有两种:混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对该车企某型号纯电动汽车进行测试,国道限速60 km/h.经数次测试,得到该纯电动汽车每小时耗电量Q(单位:Wh)与速度x(单位:km/h)的数据如下表所示:为了描述该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系,现有以下三种函数模型可供选择:①Q1(x)=150x3-2x2+cx;②Q2(x)=1-23x;③Q3(x)=300logax+b(a>0,且a≠1).(1)当0≤x≤60时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(需说明理由),并求出相应的函数解析式;(2)现有一辆同型号纯电动汽车在国道上行驶50 km,高速上行驶300 km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动,国道上每小时的耗电量Q与速度x的关系满足(1)中的函数解析式;高速上的车速x(单位:km/h)满足x∈[80,120],且每小时耗电量N(单位:Wh)与速度x(单位:km/h)满足N(x)=2x2-10x+200(80≤x≤120).当国道和高速上的车速分别为多少时,该车的总耗电量最少?最少总耗电量为多少?答案与分层梯度式解析第五章　函数应用§2　实际问题中的函数模型基础过关练1.D　由题意可得f(A)=cA=15,所以c=15A,而f(4)=c4=30,所以15A2=30,解得A=16,故c=15A=60.故选D.2.A　由题意可得θ0+(θ1-θ0)e-2kA=4θ0,θ0+(θ1-θ0)e-2kB=7θ0,即(θ1-θ0)e-2kA=3θ0,(θ1-θ0)e-2kB=6θ0,两式相除可得e-2(kB-kA)=2,所以2(kA-kB)=ln 2,即kA-kB=12ln 2.故选A.3.CD　根据题意,将(0,192),(22,48)分别代入y=ekx+b,得192=eb,48=e22k+b,所以e22k=48192=14,所以e11k=12,所以k<0,故储存的温度越高,该食品的保鲜时间越短.该食品在11 ℃时的保鲜时间是e11k+b=e11k×eb=12×192=96(h),该食品在33 ℃时的保鲜时间为e33k+b=(e11k)3×eb=123×192=24(h).故选CD.4.解析　(1)当08 700,∴2024年年产量为100(千部)时,企业所获利润最大,最大利润是8 950万元.5.D　设山区第一年绿色植被的面积为a,则y=a(1+10.4%)xa=(1+10.4%)x,易知其定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),且随x的增大,y增大的速度越来越快.故选D.6.C　由题意得100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车,则(1-30%)x<0.2,即0.7x<0.2,两边取对数得lg 0.7xlg0.2lg0.7≈4.67,那么他至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选C.7.B　由题表中数据可知函数在(0,+∞)上是增函数,且增长速度越来越快,分析选项可知B符合,故选B.8.B　由题图可知,植株高度增长越来越缓慢,故选择对数函数模型,故选B.9.解析　(1)因为模型③在x=0处无意义,所以不符合题意.若选择①作为y与x的函数模型,将(0,3),(4,7)代入,得3=c,7=4b+c,所以b=1,c=3,则y=x+3,当x=9时,y=12,当x=16时,y=19,当x=36时,y=39,与表格中的实际值相差较大,所以①不适合作为y与x的函数模型.若选择②作为y与x的函数模型,将(0,3),(4,7)代入,得3=c,7=2b+c,所以b=2,c=3,则y=2x+3,当x=9时,y=9,当x=16时,y=11,当x=36时,y=15,与表格中的实际值相同,所以②更适合作为y与x的函数模型,且相应的函数解析式为y=2x+3.由题可知,该果园最多可种120 000棵该种果树,所以x∈[0,1 200]且100x∈N.(2)z=3y-0.1x-20=6x+9-0.1x-20=-0.1x+6x-11,x∈[0,1 200]且100x∈N.令x=t,则z=-0.1t2+6t-11=-0.1(t-30)2+79,当t=30,即x=900时,z取得最大值79.故当种植果树900棵时年利润最大,为79万元.能力提升练1.B　由题意得Wlog2(1+λ)-Wlog2(1+1 999)Wlog2(1+1 999)=20%,∴log2(1+λ)log22 000=1.2,∴log2(1+λ)=1.2log22 000,∴1+λ=2 0001.2,∴λ=2 0001.2-1,又∵lg2 0001.2=1.2lg 2 000=1.2(lg 2+3)≈1.2×(0.3+3)=3.96,∴2 0001.2=103.96≈9 120,∴λ=2 0001.2-1=9 119.2.B　由题意可知(1-20%)M0=M0e-k,所以e-k=0.8,设过滤掉60%的污染物需要的时间为t1 h,则(1-60%)M0=M0e-kt1,所以0.4=e-kt1=(e-k)t1=0.8t1,所以t1=log0.80.4=lg0.4lg0.8=lg25lg45=lg2-lg52lg2-lg5=lg2-(1-lg2)2lg2-(1-lg2)=2lg2-13lg2-1=2×0.301 0-13×0.301 0-1≈4,故选B.3.解析　(1)当02时,乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=14x+52,故D不正确.故选ABC.6.解析　(1)当0≤t≤8时,设T=kt+20,代入t=8,T=100,解得k=10,则T=10t+20,将T=60,Tc=20,T0=100,t=10代入T-Tc=(T0-Tc)·at,得a=12110,所以T=f(t)=10t+20,0≤t≤8,80·12t-810+20,t>8.(2)从100 ℃降温至50 ℃,由题意有50-20=(100-20)·12t10,得t=10log1238=10log283=10×(3-log23)=10×3-lg3lg2≈14,故经过14分钟后养生壶(在保温状态下)开始第一次加热;从50 ℃加热至80 ℃需要80-5010=3(分钟),从80 ℃降温至50 ℃,则50-20=(80-20)×12t10,得t=10,则共需要14+3+10=27(分钟),故27分钟后养生壶(在保温状态下)开始第二次加热.7.解析　(1)从题表中数据可知y是关于x的增函数,故不可能是①,∵函数增长的速度越来越快,∴选择③y=max+n(a>0且a≠1),将(1,14),(2,20),(3,29)代入,可得14=ma+n,20=ma2+n,29=ma3+n,解得m=8,a=32,n=2,∴y=8·32x+2,x∈N*.(2)由(1)知y=8·32x+2,x∈N*,则8·32x+2≤k·94x对x∈N*恒成立,∴k≥832x+2322x=2·232x+8·23x对x∈N*恒成立.令t=23x,则t∈…,827,49,23,令g(t)=2t2+8t,t∈…,827,49,23,…,827,49,23⊆0,23,∵g(t)在0,23上单调递增,∴g(t)≤g23=569,∴k≥569,∴kmin=569.8.解析　(1)对于Q3(x)=300logax+b(a>0,且a≠1),当x=0时,它无意义,故不符合题意.对于Q2(x)=1-23x,当x=10时,Q2(10)=1-2310,又0<2310<230=1,所以Q2(10)=1-2310<1,故不符合题意.故选Q1(x)=150x3-2x2+cx,由题表中的数据可得,150×103-2×102+c×10=1 420,解得c=160,∴Q(x)=150x3-2x2+160x(x≥0).经检验,(40,4 480),(60,6 720)均符合上式.(2)设该车在高速上的耗电量为f(x)Wh,则f(x)=300x·N(x)=300x·(2x2-10x+200)=600x+100x-3 000,x∈[80,120],由对勾函数的性质可知,f(x)在[80,120]上单调递增,∴当x∈[80,120]时,f(x)min=f(80)=600×80+10080-3 000=45 750.设该车在国道上的耗电量为g(x)Wh,则g(x)=50x·Q(x)=50x·150x3-2x2+160x=x2-100x+8 000=(x-50)2+5 500,x∈[0,60],∴当x=50时,g(x)min=g(50)=5 500.∴当该车在高速上的行驶速度为80 km/h,在国道上的行驶速度为50 km/h时,该车的总耗电量最少,最少为45 750+5 500=51 250(Wh).x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01x0491636y3791115建立平台第x年123会员人数y/千142029x0104060Q01 4204 4806 720