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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质同步测试题
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质同步测试题，共18页。试卷主要包含了下图是三个对数函数的图象,则，故选B等内容，欢迎下载使用。
3.3 对数函数y=lgax的图象和性质
基础过关练
题组一 对数型函数的图象及其应用
1.(2023广东广州第九十七中学阶段训练)若函数f(x)=lga(x-n)+m(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,-1),则mn=( )
A.-2 B.-3
C.1 D.2
2.(多选题)(2023陕西西安长安一中月考)下图是三个对数函数的图象,则( )
A.a>1 B.0C.2b<2c<2a D.c3.(2024甘肃天水甘谷第二中学月考)函数f(x)=x2ln|x|的图象大致为( )
A B
C D
4.(2022陕西礼泉期中)已知0A B
C D
5.已知函数y=lgax+a+12的图象经过第二、三、四象限,则实数a的取值范围为 .
题组二 对数型函数的单调性及其应用
6.(2022山西名校月考)已知函数f(x)=ax-2,x<1,lgax,x≥1在R上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,2] D.(1,e]
7.(2024陕西汉中多校联考)已知函数f(x)=lg(x2-ax+12)在[-1,3]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.[6,+∞) B.[6,7)
C.(-∞,-2] D.(-13,-2]
8.(多选题)(2022广西河池八校联考)使lg12(2x-3)>-2成立的一个充分不必要条件是( )
A.x>32 B.32C.29.(2024浙江绍兴第一中学期中)设a=lg63,b=lg 5,c=20.1,则( )
A.aC.c10.已知函数f(x)=lga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是 .
11.(2022湖南部分学校联考)已知函数f(x)=lga(x2-2ax)(a>0且a≠1).
(1)若a=12,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[3,4]上单调递增,求a的取值范围.
题组三 对数型函数性质的综合应用
12.(多选题)(2024山东泰安第二中学月考)关于函数f(x)=lg21-x-1的说法正确的是( )
A.定义域为(-1,1) B.图象关于y轴对称
C.图象关于原点对称 D.在(0,1)上单调递增
13.(2024四川内江第二中学月考)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-0.3]=-1,[1.7]=1.已知函数f(x)=lg2x+2x,若x=[t],t∈(1,3),则函数y=f(x)的值域为( )
A.(2,5) B.{2,5}
C.{3,5} D.{5,8+lg23}
14.(2022广东深圳第二高级中学月考)函数f(x)=lg2kx2-x+38的值域为R,则实数k的取值范围是 .
15.(2023江苏常州第一中学检测)已知f(x)=1+lg2x,x∈[1,8],设函数g(x)=[f(x)]2+f(x2),则g(x)max-g(x)min= .
16.设函数f(x)=lg2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=lg212.
(1)求a,b的值;
(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的最大值.
17.(2023陕西西安八十三中月考)已知函数f(x)=lg2(x2+a-x)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围.
能力提升练
题组一 对数型函数的图象及其应用
1.(2023广东深圳中学期中)已知lg2a+lg2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=1ax与g(x)=lgbx的图象可能是( )
A B
C D
2.已知函数f(x)=|lg(x+1)|,若f(a)=f(b)(aA.(a-1)(b-1)>1
B.(a-1)(b-1)=1
C.(a-1)(b-1)<1
D.以上均有可能
3.(2022河南南阳一中月考)已知13m=lg3m,3n=lg13n,13k=lg13k,则( )
A.m>n>k B.mC.n4.(多选题)(2022广东中山纪念中学月考)若两个函数的图象经过平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数:f1(x)=lg2(x+1),f2(x)=lg2(x+2),f3(x)=lg2x2,f4(x)=lg2(2x),其中是“同形”函数的是( )
A.f2(x)与f4(x) B.f1(x)与f3(x)
C.f1(x)与f4(x) D.f3(x)与f4(x)
题组二 对数型函数的性质及其应用
5.(多选题)(2023辽宁省实验中学月考)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为R
C.f(x)是偶函数
D.f(x)在区间[0,+∞)上是增函数
6.(2024黑龙江省实验中学月考)已知a∈x|13x-x=0,则f(x)=lga(x2-4x+3)的减区间为( )
A.(-∞,1) B.(-∞,2)
C.(3,+∞) D.(2,+∞)
7.(2024山东薛城舜耕实验学校月考)若f(x)=-x2+ax+2+lg(2-|x|)(a∈R)是偶函数,且f(1-m)A.-1,12 B.12,2
C.12,+∞ D.-∞,12
8.(2023河南郑州外国语学校期中)已知f(x)=12x-m,g(x)=ln(x2+1),若∀x1∈[-2,-1],∃x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的最大值是 .
9.(2024浙江绍兴第一中学期中)已知实数x,y满足ex+x-2 023=e2 023y+2 023-ln(y+2 023),则ex+y+2 024的最小值是 .
10.(2024河南郑州月考)已知函数f(x)=ax+b,g(x)=lgax(a>0,且a≠1),其中a,b均为实数.
(1)若函数f(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),求a,b的值;
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b的值;
(3)若a满足不等式22a+1>25a-2,且函数g(2x-1)在区间[1,3]上有最小值-2,求实数a的值.
11.(2023安徽桐城中学月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0且f(x)=lg2(2x+1)+kx,g(x)=f(x)+x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的不等式g(4x-a·2x+1)>g(-3)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设h(x)=x2-2mx+1,若对任意的x1∈[0,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)≥h(x2),求实数m的取值范围.
12.(2024黑龙江牡丹江第二高级中学期中)已知函数f(x)=lgax+1x-1(a>0且a≠1).
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域;
(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间b,32a上的值域为(1,2)?若存在,求a,b的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第四章 对数运算与对数函数
§3 对数函数
3.3 对数函数y=lgax的图象和性质
基础过关练
1.A 因为函数f(x)的图象恒过定点(n+1,m),所以n+1=3,m=-1,所以n=2,m=-1,所以mn=-2.故选A.
2.ABC 由题图得a>1,0令y=1,由lgbb=lgcc=1及题图得b又y=2x是增函数,∴2b<2c<2a.故选ABC.
3.C f(x)=x2ln|x|的定义域为{x|x≠0,且x≠±1},关于原点对称,因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A,D;
当x∈(0,1)时,f(x)<0,排除B.故选C.
解题模板 函数图象的识辨可从以下方面入手:根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置;根据函数的单调性判断图象的变化趋势;根据函数的奇偶性判断图象的对称性;根据函数图象的特征点排除不符合要求的图象.
4.B 当01,则y=a-x=1ax在R上单调递增,y=lgax在(0,+∞)上单调递减,故选B.
5.答案 12,1
解析 ∵函数y=lgax+a+12的图象经过第二、三、四象限,∴01,解得126.C 根据题意得a>1,lga1≥a-2,解得17.B 由复合函数“同增异减”的原则知函数y=x2-ax+12在[-1,3]上单调递减,由对数的真数大于0知x2-ax+12>0在[-1,3]上恒成立,
所以a2≥3,32-3a+12>0,解得6≤a<7,
故实数a的取值范围是[6,7).故选B.
8.CD ∵lg12(2x-3)>-2,∴lg12(2x-3)>lg1212-2,
∴lg12(2x-3)>lg124,∴0<2x-3<4,
∴不等式的解集为x|32易得使不等式成立的一个充分不必要条件所对应的集合必须是集合x|32结合选项知选CD.
9.A 令f(x)=lgxx2=lgxx-lgx2=1-1lg2x,则a=lg63=f(6),b=lg 5=f(10),
因为y=lg2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以0因为y=2x在R上单调递增,所以c=20.1>20=1,所以a10.答案 1,83
解析 当a>1时, f(x)=lga(8-ax)在[1,2]上单调递减,由f(x)>1恒成立,得f(x)min=lga(8-2a)>1,即8-2a>a,解得a<83,又a>1,所以1当01恒成立,得f(x)min=lga(8-a)>1,即8-a4,又0综上,实数a的取值范围是1,83.
易错警示 利用对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)的单调性解决问题时,当底数a的值不确定时,要分01两种情况讨论.
11.解析 (1)当a=12时,f(x)=lg12(x2-x),
由x2-x>0,解得x<0或x>1,
故f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).
令t=x2-x=x-122-14,则该函数在(-∞,0)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
因为函数y=lg12t在(0,+∞)上是减函数,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(1,+∞).
(2)令g(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,则该函数在(-∞,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
①当a>1时,要使f(x)在[3,4]上单调递增,
则g(x)在[3,4]上单调递增,且g(x)>0恒成立,
故a≤3,g(3)=9-6a>0,解得a<32,
又a>1,所以1②当0则g(x)在[3,4]上单调递减,且g(x)>0恒成立,
故a≥4,g(4)=16-8a>0,无解.
综上,a的取值范围为1,32.
12.ACD f(x)=lg21-x-1=lg 1+x1-x,令1+x1-x>0,即x+1x-1<0,解得-1f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=lg 1-x1+x=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故B错误,C正确;
因为y=1-x在(0,1)上单调递减,所以y=21-x-1在(0,1)上单调递增,又y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以y=lg21-x-1在(0,1)上单调递增,故D正确.故选ACD.
13.B 当1当2≤t<3时,x=[t]=2,f(x)=lg22+22=1+4=5.
∴函数y=f(x)的值域为{2,5}.故选B.
14.答案 0,13
解析 令u=2kx2-x+38,由题意得u=2kx2-x+38能取到大于0的一切实数.
①当k=0时,u=-x+38,f(x)=lg-x+38,
f(x)的值域为R,符合题意;
②当k≠0时,k>0,Δ=(-1)2-4×2k×38≥0,解得0综上所述,k的取值范围是0,13.
15.答案 334
解析 g(x)=(1+lg2x)2+1+lg2x2=(lg2x)2+4lg2x+2,
由题意得1≤x≤8,1≤x2≤8,∴1≤x≤22,即g(x)的定义域为[1,22],
令t=lg2x,x∈[1,22],则t∈0,32,
则h(t)=t2+4t+2在0,32上单调递增,
∴g(x)max=h32=414,g(x)min=h(0)=2,
∴g(x)max-g(x)min=334.
16.解析 (1)由f(1)=1,f(2)=lg212,得lg2(a-b)=1,lg2(a2-b2)=lg212,
∴a-b=2,a2-b2=12,即a-b=2,a+b=6,∴a=4,b=2.
(2)由(1)知f(x)=lg2(4x-2x),
设t=2x,∵x∈[1,3],∴t∈[2,8].
令u=4x-2x=t2-t=t-122-14,t∈[2,8],
∴当t=8,即x=3时,umax=56,
又y=lg2u在(0,+∞)上单调递增,
∴当u最大时,y也最大,
∴f(x)的最大值为3+lg27.
17.解析 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=lg2a=0,解得a=1,
检验:当a=1时, f(x)=lg2(x2+1-x),定义域为R,f(-x)=lg2(x2+1+x),且∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=lg2[(x2+1+x)·(x2+1-x)]=lg21=0,
所以f(x)是定义在R上的奇函数,故a=1.
(2)由(1)知f(x)=lg2(x2+1-x).
f(x)≥1即lg2(x2+1-x)≥1=lg22,
得x2+1-x≥2,即x2+1≥x+2,
①当x+2<0,即x<-2时,x2+1≥x+2成立;
②当x+2≥0,即x≥-2时,
原不等式等价于x2+1≥x2+4x+4,解得-2≤x≤-34.
综上,使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围是x|x≤-34.
能力提升练
1.B 由lg2a+lg2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),
可得lg2(ab)=0,则ab=1,则b=1a,
则g(x)=lgbx=lg1ax,
又f(x)=1ax,所以g(x)与f(x)互为反函数,
则g(x)与f(x)的单调性一致,且两函数的图象关于直线y=x对称.故选B.
2.C 作出函数f(x)=|lg(x+1)|的图象,如图:
由图结合题意可知,-lg(a+1)=lg(b+1),-1所以lg(a+1)+lg(b+1)=lg[(a+1)(b+1)]=0,
所以(a+1)(b+1)=1,即ab+a+b=0,所以a+b=-ab,
所以(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=1+2ab<1,故选C.
3.D 在同一平面直角坐标系中画出y=13x,y=lg3x,y=3x,y=lg13x的图象,如图所示:
根据图象知n4.AC 由题知f3(x)=lg2x2=2lg2|x|,
f4(x)=lg2(2x)=lg2x+1.
对于A,将f2(x)的图象先向右平移2个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可以得到f4(x)的图象,故A符合;
对于C,将f1(x)的图象先向右平移1个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可以得到f4(x)的图象,故C符合;
对于B,D,因为f3(x)为分段函数,其图象不能通过f1(x)或f4(x)的图象平移得到,故B,D均不符合.
故选AC.
5.ACD 因为e2x+1>1,
所以函数f(x)的定义域为R,故A正确;
f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln ex=lne2x+1ex=ln(ex+e-x),
因为ex+e-x≥2,当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号,所以f(x)≥ln 2,故B错误;
因为f(-x)=ln(e-x+ex)=f(x),所以f(x)是R上的偶函数,故C正确;
函数t=ex在[0,+∞)上单调递增,且t=ex≥1,根据对勾函数的性质可知u=t+1t在[1,+∞)上单调递增,
又函数y=ln u为增函数,故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,故D正确.故选ACD.
6.C 由13x-x=0得13x=x,
在同一平面直角坐标系中画出函数y=13x与y=x的图象,如图所示,
由图可知,0由x2-4x+3>0,解得x<1或x>3,故f(x)的定义域为{x|x<1或x>3}.
当x∈(-∞,1)时,y=x2-4x+3单调递减,所以f(x)单调递增;
当x∈(3,+∞)时,y=x2-4x+3单调递增,所以f(x)单调递减.
所以函数f(x)的减区间为(3,+∞).故选C.
7.A 由2-|x|>0得-2若f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),
即-(-x)2-ax+2+lg(2-|-x|)=-x2+ax+2+lg(2-|x|),解得a=0,故f(x)=-x2+2+lg(2-|x|),
当0≤x<2时,f(x)=-x2+2+lg(2-x),
由y=-x2+2,y=lg(2-x)在[0,2)上均单调递减,知f(x)在[0,2)上单调递减,
则不等式f(1-m)|m|,-2<1-m<2,-2解得-1所以实数m的取值范围是-1,12.故选A.
8.答案 2
解析 ∵∀x1∈[-2,-1],∃x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2),∴f(x)min≥g(x)min.
∵f(x)在[-2,-1]上单调递减,∴f(x)min=f(-1)=2-m.
∵u=x2+1在[0,1]上单调递增且u≥1,y=ln u在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)=ln(x2+1)在[0,1]上单调递增,
∴g(x)min=g(0)=ln 1=0.
∴2-m≥0,解得m≤2,则实数m的最大值为2.
9.答案 2e2 023+1
解析 由ex+x-2 023=e2 023y+2 023-ln(y+2 023),
得ex+x=e2 023y+2 023+2 023-ln(y+2 023),
得ex+ln ex=e2 023y+2 023+ln e2 023-ln(y+2 023)=e2 023y+2 023+ln e2 023y+2 023,
令f(x)=x+ln x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(ex)=fe2 023y+2 023,所以ex=e2 023y+2 023,
则ex+y+2 024=e2 023y+2 023+(y+2 023)+1≥2e2 023y+2 023·(y+2 023)+1=2e2 023+1,
当且仅当e2 023y+2 023=y+2 023,即y=e2 023-2 023时等号成立,
所以ex+y+2 024的最小值是2e2 023+1.
解后反思 本题把ex+x-2 023=e2 023y+2 023-ln(y+2 023)变形为ex+ln ex=e2 023y+2 023+lne2 023y+2 023,通过构造函数f(x)=x+ln x,利用函数的单调性得到ex=e2 023y+2 023是解题的关键,这种构造函数的思想在解题中会经常用到,同学们平时要多积累总结.
10.解析 (1)因为函数f(x)=ax+b的图象经过点A(0,2),B(1,3),
所以a0+b=2,a1+b=3,解得a=2,b=1.
(2)当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上单调递增,
由题意可得f(-1)=a-1+b=-1,f(0)=a0+b=0,无解;
当0由题意可得f(-1)=a-1+b=0,f(0)=a0+b=-1,解得a=12,b=-2,
所以a+b=-32.
(3)因为22a+1>25a-2,所以2a+1>5a-2,解得a<1,
又a>0,所以0所以当x=3时,g(2x-1)取得最小值-2,
即g(2×3-1)=lga(2×3-1)=lga5=-2,解得a=55.
11.解析 (1)由题知lg2(2-x+1)-kx-lg2(2x+1)-kx=0,
即2kx=lg2(2-x+1)-lg2(2x+1)=lg22-x+12x+1=-x,
所以k=-12,故f(x)=lg2(2x+1)-12x.
(2)g(x)=f(x)+x=lg2(2x+1)+12x,
所以g(x)在R上单调递增,
所以不等式g(4x-a·2x+1)>g(-3)恒成立等价于4x-a·2x+1>-3,即a<4x+42x恒成立.
设t=2x,则t>0,4x+42x=t2+4t=t+4t≥4,当且仅当t=4t,即t=2,即x=1时取等号,
所以a<4,故实数a的取值范围是(-∞,4).
(3)因为对任意的x1∈[0,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)≥h(x2),
所以g(x)在[0,3]上的最小值不小于h(x)在[1,3]上的最小值.
因为g(x)=lg2(2x+1)+12x在[0,3]上单调递增,
所以当x∈[0,3]时,g(x)min=g(0)=1.
又h(x)=x2-2mx+1的图象的对称轴为直线x=m,
所以当m≤1时,h(x)在[1,3]上单调递增,h(x)min=h(1)=2-2m,所以2-2m≤1,解得m≥12,所以12≤m≤1;
当1当m≥3时,h(x)在[1,3]上单调递减,h(x)min=h(3)=10-6m,所以10-6m≤1,解得m≥32,所以m≥3.
综上可知,实数m的取值范围是12,+∞.
12.解析 (1)函数f(x)是奇函数.
证明:由x+1x-1>0,解得x<-1或x>1,故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)=lga-x+1-x-1=lgax-1x+1=lgax+1x-1-1=-lgax+1x-1=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)当a=2时,f(x)=lg2x+1x-1,
y=f(2x)=lg22x+12x-1=lg21+22x-1,
因为1+22x-1>0,所以2x-1<-2(舍去)或2x-1>0,
所以22x-1∈(0,+∞),1+22x-1∈(1,+∞),
所以lg21+22x-1∈(0,+∞),
所以y=f(2x)的值域是(0,+∞).
(3)f(x)=lgax+1x-1=lga1+2x-1.因为函数f(x)在b,32a上的值域为(1,2),a>0,且a≠1,
结合f(x)的定义域可知b,32a⊆(1,+∞),
所以32a>b>1.
①当0所以f(b)=1,f32a=2,即1+2b-1=a,1+232a-1=a2,
因为b>1,所以1+2b-1>1,所以1+2b-1=a无解或因为32a>1,所以1+232a-1>1,所以1+232a-1=a2无解,
故此时不存在实数a,b满足题意;
②当a>1时,函数f(x)在b,32a上单调递减,
所以f32a=1,f(b)=2,即1+232a-1=a,1+2b-1=a2,
解得a=2或a=-13(舍去),b=53.
综上,存在a=2,b=53满足题意.
3.3 对数函数y=lgax的图象和性质
基础过关练
题组一 对数型函数的图象及其应用
1.(2023广东广州第九十七中学阶段训练)若函数f(x)=lga(x-n)+m(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,-1),则mn=( )
A.-2 B.-3
C.1 D.2
2.(多选题)(2023陕西西安长安一中月考)下图是三个对数函数的图象,则( )
A.a>1 B.0
A B
C D
4.(2022陕西礼泉期中)已知0
C D
5.已知函数y=lgax+a+12的图象经过第二、三、四象限,则实数a的取值范围为 .
题组二 对数型函数的单调性及其应用
6.(2022山西名校月考)已知函数f(x)=ax-2,x<1,lgax,x≥1在R上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,2] D.(1,e]
7.(2024陕西汉中多校联考)已知函数f(x)=lg(x2-ax+12)在[-1,3]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.[6,+∞) B.[6,7)
C.(-∞,-2] D.(-13,-2]
8.(多选题)(2022广西河池八校联考)使lg12(2x-3)>-2成立的一个充分不必要条件是( )
A.x>32 B.32
A.a
11.(2022湖南部分学校联考)已知函数f(x)=lga(x2-2ax)(a>0且a≠1).
(1)若a=12,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[3,4]上单调递增,求a的取值范围.
题组三 对数型函数性质的综合应用
12.(多选题)(2024山东泰安第二中学月考)关于函数f(x)=lg21-x-1的说法正确的是( )
A.定义域为(-1,1) B.图象关于y轴对称
C.图象关于原点对称 D.在(0,1)上单调递增
13.(2024四川内江第二中学月考)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-0.3]=-1,[1.7]=1.已知函数f(x)=lg2x+2x,若x=[t],t∈(1,3),则函数y=f(x)的值域为( )
A.(2,5) B.{2,5}
C.{3,5} D.{5,8+lg23}
14.(2022广东深圳第二高级中学月考)函数f(x)=lg2kx2-x+38的值域为R,则实数k的取值范围是 .
15.(2023江苏常州第一中学检测)已知f(x)=1+lg2x,x∈[1,8],设函数g(x)=[f(x)]2+f(x2),则g(x)max-g(x)min= .
16.设函数f(x)=lg2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=lg212.
(1)求a,b的值;
(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的最大值.
17.(2023陕西西安八十三中月考)已知函数f(x)=lg2(x2+a-x)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围.
能力提升练
题组一 对数型函数的图象及其应用
1.(2023广东深圳中学期中)已知lg2a+lg2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=1ax与g(x)=lgbx的图象可能是( )
A B
C D
2.已知函数f(x)=|lg(x+1)|,若f(a)=f(b)(a
B.(a-1)(b-1)=1
C.(a-1)(b-1)<1
D.以上均有可能
3.(2022河南南阳一中月考)已知13m=lg3m,3n=lg13n,13k=lg13k,则( )
A.m>n>k B.m
A.f2(x)与f4(x) B.f1(x)与f3(x)
C.f1(x)与f4(x) D.f3(x)与f4(x)
题组二 对数型函数的性质及其应用
5.(多选题)(2023辽宁省实验中学月考)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为R
C.f(x)是偶函数
D.f(x)在区间[0,+∞)上是增函数
6.(2024黑龙江省实验中学月考)已知a∈x|13x-x=0,则f(x)=lga(x2-4x+3)的减区间为( )
A.(-∞,1) B.(-∞,2)
C.(3,+∞) D.(2,+∞)
7.(2024山东薛城舜耕实验学校月考)若f(x)=-x2+ax+2+lg(2-|x|)(a∈R)是偶函数,且f(1-m)
C.12,+∞ D.-∞,12
8.(2023河南郑州外国语学校期中)已知f(x)=12x-m,g(x)=ln(x2+1),若∀x1∈[-2,-1],∃x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的最大值是 .
9.(2024浙江绍兴第一中学期中)已知实数x,y满足ex+x-2 023=e2 023y+2 023-ln(y+2 023),则ex+y+2 024的最小值是 .
10.(2024河南郑州月考)已知函数f(x)=ax+b,g(x)=lgax(a>0,且a≠1),其中a,b均为实数.
(1)若函数f(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),求a,b的值;
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b的值;
(3)若a满足不等式22a+1>25a-2,且函数g(2x-1)在区间[1,3]上有最小值-2,求实数a的值.
11.(2023安徽桐城中学月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0且f(x)=lg2(2x+1)+kx,g(x)=f(x)+x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的不等式g(4x-a·2x+1)>g(-3)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设h(x)=x2-2mx+1,若对任意的x1∈[0,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)≥h(x2),求实数m的取值范围.
12.(2024黑龙江牡丹江第二高级中学期中)已知函数f(x)=lgax+1x-1(a>0且a≠1).
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域;
(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间b,32a上的值域为(1,2)?若存在,求a,b的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第四章 对数运算与对数函数
§3 对数函数
3.3 对数函数y=lgax的图象和性质
基础过关练
1.A 因为函数f(x)的图象恒过定点(n+1,m),所以n+1=3,m=-1,所以n=2,m=-1,所以mn=-2.故选A.
2.ABC 由题图得a>1,0
3.C f(x)=x2ln|x|的定义域为{x|x≠0,且x≠±1},关于原点对称,因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A,D;
当x∈(0,1)时,f(x)<0,排除B.故选C.
解题模板 函数图象的识辨可从以下方面入手:根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置;根据函数的单调性判断图象的变化趋势;根据函数的奇偶性判断图象的对称性;根据函数图象的特征点排除不符合要求的图象.
4.B 当0
5.答案 12,1
解析 ∵函数y=lgax+a+12的图象经过第二、三、四象限,∴0
所以a2≥3,32-3a+12>0,解得6≤a<7,
故实数a的取值范围是[6,7).故选B.
8.CD ∵lg12(2x-3)>-2,∴lg12(2x-3)>lg1212-2,
∴lg12(2x-3)>lg124,∴0<2x-3<4,
∴不等式的解集为x|32
9.A 令f(x)=lgxx2=lgxx-lgx2=1-1lg2x,则a=lg63=f(6),b=lg 5=f(10),
因为y=lg2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以0
解析 当a>1时, f(x)=lga(8-ax)在[1,2]上单调递减,由f(x)>1恒成立,得f(x)min=lga(8-2a)>1,即8-2a>a,解得a<83,又a>1,所以1
易错警示 利用对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)的单调性解决问题时,当底数a的值不确定时,要分0
11.解析 (1)当a=12时,f(x)=lg12(x2-x),
由x2-x>0,解得x<0或x>1,
故f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).
令t=x2-x=x-122-14,则该函数在(-∞,0)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
因为函数y=lg12t在(0,+∞)上是减函数,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(1,+∞).
(2)令g(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,则该函数在(-∞,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
①当a>1时,要使f(x)在[3,4]上单调递增,
则g(x)在[3,4]上单调递增,且g(x)>0恒成立,
故a≤3,g(3)=9-6a>0,解得a<32,
又a>1,所以1
故a≥4,g(4)=16-8a>0,无解.
综上,a的取值范围为1,32.
12.ACD f(x)=lg21-x-1=lg 1+x1-x,令1+x1-x>0,即x+1x-1<0,解得-1
因为y=1-x在(0,1)上单调递减,所以y=21-x-1在(0,1)上单调递增,又y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以y=lg21-x-1在(0,1)上单调递增,故D正确.故选ACD.
13.B 当1
∴函数y=f(x)的值域为{2,5}.故选B.
14.答案 0,13
解析 令u=2kx2-x+38,由题意得u=2kx2-x+38能取到大于0的一切实数.
①当k=0时,u=-x+38,f(x)=lg-x+38,
f(x)的值域为R,符合题意;
②当k≠0时,k>0,Δ=(-1)2-4×2k×38≥0,解得0
15.答案 334
解析 g(x)=(1+lg2x)2+1+lg2x2=(lg2x)2+4lg2x+2,
由题意得1≤x≤8,1≤x2≤8,∴1≤x≤22,即g(x)的定义域为[1,22],
令t=lg2x,x∈[1,22],则t∈0,32,
则h(t)=t2+4t+2在0,32上单调递增,
∴g(x)max=h32=414,g(x)min=h(0)=2,
∴g(x)max-g(x)min=334.
16.解析 (1)由f(1)=1,f(2)=lg212,得lg2(a-b)=1,lg2(a2-b2)=lg212,
∴a-b=2,a2-b2=12,即a-b=2,a+b=6,∴a=4,b=2.
(2)由(1)知f(x)=lg2(4x-2x),
设t=2x,∵x∈[1,3],∴t∈[2,8].
令u=4x-2x=t2-t=t-122-14,t∈[2,8],
∴当t=8,即x=3时,umax=56,
又y=lg2u在(0,+∞)上单调递增,
∴当u最大时,y也最大,
∴f(x)的最大值为3+lg27.
17.解析 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=lg2a=0,解得a=1,
检验:当a=1时, f(x)=lg2(x2+1-x),定义域为R,f(-x)=lg2(x2+1+x),且∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=lg2[(x2+1+x)·(x2+1-x)]=lg21=0,
所以f(x)是定义在R上的奇函数,故a=1.
(2)由(1)知f(x)=lg2(x2+1-x).
f(x)≥1即lg2(x2+1-x)≥1=lg22,
得x2+1-x≥2,即x2+1≥x+2,
①当x+2<0,即x<-2时,x2+1≥x+2成立;
②当x+2≥0,即x≥-2时,
原不等式等价于x2+1≥x2+4x+4,解得-2≤x≤-34.
综上,使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围是x|x≤-34.
能力提升练
1.B 由lg2a+lg2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),
可得lg2(ab)=0,则ab=1,则b=1a,
则g(x)=lgbx=lg1ax,
又f(x)=1ax,所以g(x)与f(x)互为反函数,
则g(x)与f(x)的单调性一致,且两函数的图象关于直线y=x对称.故选B.
2.C 作出函数f(x)=|lg(x+1)|的图象,如图:
由图结合题意可知,-lg(a+1)=lg(b+1),-1
所以(a+1)(b+1)=1,即ab+a+b=0,所以a+b=-ab,
所以(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=1+2ab<1,故选C.
3.D 在同一平面直角坐标系中画出y=13x,y=lg3x,y=3x,y=lg13x的图象,如图所示:
根据图象知n
f4(x)=lg2(2x)=lg2x+1.
对于A,将f2(x)的图象先向右平移2个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可以得到f4(x)的图象,故A符合;
对于C,将f1(x)的图象先向右平移1个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可以得到f4(x)的图象,故C符合;
对于B,D,因为f3(x)为分段函数,其图象不能通过f1(x)或f4(x)的图象平移得到,故B,D均不符合.
故选AC.
5.ACD 因为e2x+1>1,
所以函数f(x)的定义域为R,故A正确;
f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln ex=lne2x+1ex=ln(ex+e-x),
因为ex+e-x≥2,当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号,所以f(x)≥ln 2,故B错误;
因为f(-x)=ln(e-x+ex)=f(x),所以f(x)是R上的偶函数,故C正确;
函数t=ex在[0,+∞)上单调递增,且t=ex≥1,根据对勾函数的性质可知u=t+1t在[1,+∞)上单调递增,
又函数y=ln u为增函数,故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,故D正确.故选ACD.
6.C 由13x-x=0得13x=x,
在同一平面直角坐标系中画出函数y=13x与y=x的图象,如图所示,
由图可知,0
当x∈(-∞,1)时,y=x2-4x+3单调递减,所以f(x)单调递增;
当x∈(3,+∞)时,y=x2-4x+3单调递增,所以f(x)单调递减.
所以函数f(x)的减区间为(3,+∞).故选C.
7.A 由2-|x|>0得-2
即-(-x)2-ax+2+lg(2-|-x|)=-x2+ax+2+lg(2-|x|),解得a=0,故f(x)=-x2+2+lg(2-|x|),
当0≤x<2时,f(x)=-x2+2+lg(2-x),
由y=-x2+2,y=lg(2-x)在[0,2)上均单调递减,知f(x)在[0,2)上单调递减,
则不等式f(1-m)
8.答案 2
解析 ∵∀x1∈[-2,-1],∃x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2),∴f(x)min≥g(x)min.
∵f(x)在[-2,-1]上单调递减,∴f(x)min=f(-1)=2-m.
∵u=x2+1在[0,1]上单调递增且u≥1,y=ln u在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)=ln(x2+1)在[0,1]上单调递增,
∴g(x)min=g(0)=ln 1=0.
∴2-m≥0,解得m≤2,则实数m的最大值为2.
9.答案 2e2 023+1
解析 由ex+x-2 023=e2 023y+2 023-ln(y+2 023),
得ex+x=e2 023y+2 023+2 023-ln(y+2 023),
得ex+ln ex=e2 023y+2 023+ln e2 023-ln(y+2 023)=e2 023y+2 023+ln e2 023y+2 023,
令f(x)=x+ln x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(ex)=fe2 023y+2 023,所以ex=e2 023y+2 023,
则ex+y+2 024=e2 023y+2 023+(y+2 023)+1≥2e2 023y+2 023·(y+2 023)+1=2e2 023+1,
当且仅当e2 023y+2 023=y+2 023,即y=e2 023-2 023时等号成立,
所以ex+y+2 024的最小值是2e2 023+1.
解后反思 本题把ex+x-2 023=e2 023y+2 023-ln(y+2 023)变形为ex+ln ex=e2 023y+2 023+lne2 023y+2 023,通过构造函数f(x)=x+ln x,利用函数的单调性得到ex=e2 023y+2 023是解题的关键,这种构造函数的思想在解题中会经常用到,同学们平时要多积累总结.
10.解析 (1)因为函数f(x)=ax+b的图象经过点A(0,2),B(1,3),
所以a0+b=2,a1+b=3,解得a=2,b=1.
(2)当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上单调递增,
由题意可得f(-1)=a-1+b=-1,f(0)=a0+b=0,无解;
当0
所以a+b=-32.
(3)因为22a+1>25a-2,所以2a+1>5a-2,解得a<1,
又a>0,所以0
即g(2×3-1)=lga(2×3-1)=lga5=-2,解得a=55.
11.解析 (1)由题知lg2(2-x+1)-kx-lg2(2x+1)-kx=0,
即2kx=lg2(2-x+1)-lg2(2x+1)=lg22-x+12x+1=-x,
所以k=-12,故f(x)=lg2(2x+1)-12x.
(2)g(x)=f(x)+x=lg2(2x+1)+12x,
所以g(x)在R上单调递增,
所以不等式g(4x-a·2x+1)>g(-3)恒成立等价于4x-a·2x+1>-3,即a<4x+42x恒成立.
设t=2x,则t>0,4x+42x=t2+4t=t+4t≥4,当且仅当t=4t,即t=2,即x=1时取等号,
所以a<4,故实数a的取值范围是(-∞,4).
(3)因为对任意的x1∈[0,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)≥h(x2),
所以g(x)在[0,3]上的最小值不小于h(x)在[1,3]上的最小值.
因为g(x)=lg2(2x+1)+12x在[0,3]上单调递增,
所以当x∈[0,3]时,g(x)min=g(0)=1.
又h(x)=x2-2mx+1的图象的对称轴为直线x=m,
所以当m≤1时,h(x)在[1,3]上单调递增,h(x)min=h(1)=2-2m,所以2-2m≤1,解得m≥12,所以12≤m≤1;
当1
综上可知,实数m的取值范围是12,+∞.
12.解析 (1)函数f(x)是奇函数.
证明:由x+1x-1>0,解得x<-1或x>1,故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)=lga-x+1-x-1=lgax-1x+1=lgax+1x-1-1=-lgax+1x-1=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)当a=2时,f(x)=lg2x+1x-1,
y=f(2x)=lg22x+12x-1=lg21+22x-1,
因为1+22x-1>0,所以2x-1<-2(舍去)或2x-1>0,
所以22x-1∈(0,+∞),1+22x-1∈(1,+∞),
所以lg21+22x-1∈(0,+∞),
所以y=f(2x)的值域是(0,+∞).
(3)f(x)=lgax+1x-1=lga1+2x-1.因为函数f(x)在b,32a上的值域为(1,2),a>0,且a≠1,
结合f(x)的定义域可知b,32a⊆(1,+∞),
所以32a>b>1.
①当0
因为b>1,所以1+2b-1>1,所以1+2b-1=a无解或因为32a>1,所以1+232a-1>1,所以1+232a-1=a2无解,
故此时不存在实数a,b满足题意;
②当a>1时,函数f(x)在b,32a上单调递减,
所以f32a=1,f(b)=2,即1+232a-1=a,1+2b-1=a2,
解得a=2或a=-13(舍去),b=53.
综上,存在a=2,b=53满足题意.
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