云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期适应性月考（二）数学试题

这是一份云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期适应性月考（二）数学试题，共15页。试卷主要包含了设集合，，则的元素个数为，已知抛物线C，在中，，则的值为，定义域为的函数满足，已知点F为椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.复数，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.设集合，，则的元素个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
3.已知，都是等差数列，且，，，则数列的前10项和为（ ）
A.60B.65C.70D.75
4.已知函数，若m，n是方程的两个不等的根，且满足的最小值为，则的值为（ ）
A.0B.4C.-4D.±4
5.已知抛物线C：，经过的动直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则为（ ）
A.锐角B.直角
C.钝角D.随着直线的变化，可能是锐角、直角或钝角
6.在中，，则的值为（ ）
A.B.1C.D.
7.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则在第2次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.定义域为的函数满足：当时，，且对任意的实数x，均有，记，则（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.如图，正方体棱上一动点F，点E为棱的中点，则平面截得正方体的几何图形可以是（ ）
A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.六边形
10.已知点F为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点A的坐标为（1，3），则下列正确的是（ ）
A.的最小值为B.的最大值为7
C.的最小值为D.的最大值为1
11.若，且，则（ ）
A.的最小值为9B.的最小值为
C.的最小值为-3D.的最小值为36
12.已知，为定义在上的丽数，且对任意的，y满足：，且，则下面说法正确的是（ ）
A.B.
C.为奇函数D.若，则3是的一个周期
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，，，则_________.
14.正多面体又称柏拉图多面体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成，正多面体共有五种，它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，连接边长为2的正方体的六个面的中心，即可得到一个正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为_________.
15.某班级为了了解本班学生的身高情况，根据男、女学生所在的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生5名和女生3名，测量它们的身高所得的数据（单位：cm）如下表所示，根据表中数据，可计算出该校高中学生身高的总样本平均数_________；总样本方差为_________.（第一空2分，第二空3分）
16.已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为_________.
四、解答题（共70.分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）D是边上的一点，且，平分，且，求的面积.
18.（本小题满分12分）
已知数列满足：，.
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式：
（2）令，求的前n项和.
19.（本小题满分12分）
某校高三举办“三环杯”排球比赛活动，现甲、乙两班进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲班在第一局获胜的概率为，从第二局开始，甲班每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲班获胜的概率增加，若上局未获胜，则该局甲班获胜的概率减小，且甲班前两局连胜两场获胜的概率为（每局比赛没有平局）.
（1）求甲班2：1获胜的概率；
（2）若冠军奖品为16个排球，且在甲班第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲、乙如何分配奖品比较合理.
20.（本小题满分12分）
如图，已知在三棱柱中，平面平面，且平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若，，，E，F分别为，的中点，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知，.
（1）当时，求的最小值；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知，是双曲线C：的左、右焦点，若点P为C上的一点，且，的面积为3，双曲线的离心率为.
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C左焦点的两条相互垂直的直线分别交双曲线C于A，B和D，E，M，N分别是，的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
【解析】
1.由，所以，故而，所以在复平面内所对应的点位于第四象限，故选D.
2.如图，集合A为函数图象的点集，集合B为函数图象的点集，两函数的图象有三个交点，所以的元素个数为3个，故选C.
3.由，均为等差数列，所以为等差数列，故而，故选B.
4.由三角函数的性质知，的两个根之间的距离的最小值占函数周期的，所以，即，则，故选D.
5.如图，设经过点T的直线的方程为，
与抛物线C：联立方程得：，
令，，
则，，
则，，
所以为直角，故选B.
6.令，由，，
又，所以，则，故选B.
7.设表示第i次投篮的人为甲，；
表示第i次投篮的人为乙，；
则第2次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概率：
，故选A.
8.由，，，
所以，，.
又对任意的实数，均有，所以，
则由，
所以，
，
，
，
故选C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
【解析】
9.如图，当点为棱的中点时，截面为等腰梯形；
当点在点处时，截面为菱形；
当时，截面为五边形；
当时，截面为四边形；
综上所述，故选AC.
10.如图，的最小值，即是的长，当点P在位置时取到，所以的最小值为，故A正确；
设椭圆的右焦点为，所以，当点P在位置时取到，所以的最大值为7，故B正确；
的最小值当P在位置时取到，的最小值为，故C错误；
由图，当点P在位置时取到最大值，所以的最大值为1，故D正确，故选ABD.
11.由，且，所以，当且仅当，时取等号，故A正确；
由，即，要使得不等式取等号需满足，，不合题意，故B不正确；
，当且仅当时取等号，故C正确；
，当且仅当，时取等号，故D正确，故选ACD.
12.对于A，令，则，故A正确；
令，，则.又，则，故B错误；
令，则，所以为奇函数，故而C正确；
令，，则，由，所以，令，则，令，则，两式相加得：，即：，所以，故而，所以3是的一个周期，所以D正确，故选ACD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13.由，所以，即，即，所以，所以.
14.由正八面体的顶点是正方体的六个面的中心，结合几何体的对称性，边长为2的正方体可以看成是八个边长为1的正方体组成，正方体的内切球的半径可以看成边长为1体对角线的二分之一，即，所以正八面体的内切球的表面积为.
15.由题意知：；
设男生的身高为，，，，，身高的平均数为，方差为；
设女生的身高为，，，身高的平均数为，方差为；
由，
所以：，同理，
则：
.
16.由题意知：如图，在处的切线方程为，
在处的切线方程为，且，
即与两切线垂直，故而的距离的最小值即为的长，
所以.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）由及正弦定理知：
，
所以.
由，即，由，
所以，则，
由，所以.
（2）如图，由题意及角平分线定理知：，
令，则，
又，平方得：，
所以，
即，，
故而的面积.
18.（本小题满分12分）
（1）证明：由，
所以，
所以是以为首项，公比为2的等比数列，
所以，即.
（2）解：由（1）知：，所以.
又，
所以
.
19.（本小题满分12分）
解：（1）令事件：甲在第局获胜，.
甲连胜两局的概率为：，
所以，则甲2：1获胜的概率为：
.
（2）由题意知，在甲且在甲第一局获胜的情况下，
甲输掉比赛事件为：甲接下来的比赛中连输两场，即，
故而甲、乙应按照13：3的比例来分配比赛奖金，
即甲班级应获得13个排球，乙获得3个排球比较合理.
20.（本小题满分12分）
（1）证明：如图7，在平面中，过点M分别作，的垂线，垂足分别为P，Q，
由平面平面，且，
由面面垂直的性质定理知：平面，
所以.
同理：，
又，所以平面.
（2）解：由（1）知：⊥平面，
又，，所以，
所以，所以，，两两垂直；
建立如图8所示的平面直角坐标系，
则，，，，，
，，，.
设为平面的一个法向量，则
即令，则，，则.
设为平面的一个法向量，则
即令，则，，则.
设是平面与平面所成锐二面角，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
21.（本小题满分12分）
解：（1）当时，，，
所以，
故而在上单调递减，在上单调递增；
所以的最小值为.
（2）在上恒成立等价于：恒成立，
即，在恒成立，
令，由（1）知：
上面不等式等价于：，在上恒成立，
所以，在上恒成立，
令，
所以.
又令，，且，
而，即在上单调递增，
所以当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增；
所以在上的最小值为，
所以.
22.（本小题满分12分）
（1）解：由点P为双曲线C的一点，则，
所以.
又，所以，
所以，所以，故而.
又，且，所以曲线C的方程为.
（2）证明：设直线的方程为：，，，中点，
直线的方程为：，，，中点，
由与垂直，所以，
联立方程消去得：，
由题意需满足：，
且，
所以，.
同理：，，
当时，，
故而直线为：，
即：，所以直线过定点，
当时，经检验，直线过定点，
综上所述，直线过定点.性别
人数
平均数
方差
男生
5
172
18
女生
3
164
30
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
D
B
B
A
C
题号
9
10
11
12
答案
AC
ABD
ACD
ACD
题号
13
14
15
16
答案
169；37.5