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山东省烟台市经开区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷(五四制)
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这是一份山东省烟台市经开区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷(五四制),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.下列根式中,属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程用直接开平方法可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是,则另一个一元一次方程是( )
A. B. C. D.
3.对于反比例函数,下列说法正确的是( )
A. 图象经过点
B. 若点和点在该图象上,则
C. 其图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D. y随x的增大而增大
4.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m满足( )
A. B. 且C. 且D.
5.若与可以合并成一项,则n可以为( )
A. 6B. 12C. 15D. 45
6.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
7.已知,那么下列四个选项一定正确的是( )
A. B. C. D.
8.用公式法解方程:,其中判别式的值是( )
A. 56B. 16C. 4D. 8
9.大约在两千四五百年前,如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端”.如图2所示的小孔成像实验中,若蜡烛火焰的高度为6cm,像距为15cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm,则物距是( )
A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 6cm
10.如图,中,,点A在x轴上,反比例函数的图象过斜边OB的中点D,与AB交于点若的面积为3,则k的值是( )
A. 1
B.
C. 2
D. 3
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
11.函数的自变量x的取值范围是______.
12.写出一个介于和之间的整数______.
13.已知是方程的一个根,则m的值是______.
14.用配方法解一元二次方程时,将它化为的形式,则的值为______.
15.设a、是方程的两个实数根,则的值为______.
16.已知点,都在反比例函数的图象上,则k的值是______.
三、解答题:本题共8小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
如图,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,求的值.
18.本小题7分
已知关于x的一元二次方程的两个实数根是和,且,求m的值.
19.本小题8分
如图,小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与树顶B在同一直线上.已知纸板的两条边,,延长DF交AB于点C,测得边DF离地面的高度,,求树高
20.本小题8分
已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
求n的取值范围;
若n为符合条件的最小整数,且该方程的较大根是较小根的3倍,求m的值.
21.本小题10分
2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相,作为中华民族重要的精神象征和文化符号,千百年来,龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域,也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意.现某商店推出销售吉祥物活动,已知吉祥物每件的进货价为30元,经市场调研发现,当该吉祥物的销售单价为40元时,每天可销售300件;当销售单价每增加2元,每天的销售数量将减少10件销售利润=销售总额-进货成本
若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为46元,则当天销售量为______件;
该吉祥物的当天利润有可能达到6200元吗?若能,请求出此时的销售单价;若不能,请说明理由.
22.本小题10分
如图,在x轴的正半轴上依次截取,过点,,,…,分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点,,…,连接,,,…,分别与,,,…,交于点,,,…,得,四边形,四边形,四边形,…,并设其面积分别为,,,…,以此类推.
求;
直接写出及的值.
23.本小题11分
问题背景:一次数学综合实践活动课上,小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图①,已知AD是的角平分线,可证小慧的证明思路是:如图②,过点C作,CE交AD的延长线于点E,构造相似三角形来证明尝试证明:
请参照小慧提供的思路,利用图②证明:
应用拓展:
如图③,在中,,D是边BC上一点.连接AD,将沿AD所在直线折叠,点C恰好落在边AB上的E点处.若,,求DE的长.
24.本小题12分
如图,中,,,点,点,反比例函数的图象经过点
求反比例函数的解析式;
将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数图象上的点,求m,n的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:A、,故不符合题意,
B、,故不符合题意,
C、,故不符合题意,
D、属于最简二次根式,故符合题意;
故选:
根据最简二次根式的定义,逐一判断即可解答.
本题考查了最简二次根式、二次根式的性质与化简,熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.
2.【答案】C
【解析】解:,
,
或,
故选:
根据直接开平方法可以解答本题.
本题考查解一元二次方程,解答本题的关键是明确解方程的方法.
3.【答案】C
【解析】解:,
图象经过点不合题意;
B.,,故不合题意;
C.图象既是轴对称图形又是中心对称图形,符合题意;
D.在每一象限内,y随x的增大而增大,故不合题意.
故选:
依据反比例函数的图象与性质逐一判定即可.
本题考查了反比例函数的图象与性质,熟记性质是解题的关键.
4.【答案】B
【解析】解:方程有两个不相等的实数根,
,
解得:且
故选:
根据根的判别式结合二次项系数非0,即可得出关于m的一元一次不等式组,解不等式组即可得出m的取值范围.
本题考查了根的判别式,根据根的判别式结合二次项系数非0列出关于m的一元一次不等式组是解题的关键.
5.【答案】D
【解析】解:与可以合并成一项,
与是同类二次根式,
当时,与不是同类二次根式,A选项不符合题意;
当时,与不是同类二次根式,B选项不符合题意;
当时,与不是同类二次根式,C选项不符合题意;
当时,与是同类二次根式,D选项符合题意;
故选:
把每个选项的n的值代入二次根式,化简后,再确定与是不是同类二次根式,从而可得答案.
本题考查的是合并同类项,同类二次根式的识别,掌握同类二次根式的含义是解题的关键.
6.【答案】B
【解析】解:A、不是同类二次根式,不能合并,故选项错误;
B、,故选项正确;
C、应等于,故选项错误;
D、应该等于,故选项错误;
故选:
A、B、C、D利用根式的运算顺序及运算法则、公式等计算即可求解.
本题考查的是二次根式的运算能力.注意:要正确掌握运算顺序及运算法则、公式等.
7.【答案】C
【解析】解:,
,,
,,
,
无法得到
故选:
利用比例的性质对各选项进行判断.
本题考查了比的性质,熟练掌握比例的性质是解决此题的关键.
8.【答案】A
【解析】解:原方程可化为,
,,,
故选:
先得出a,b,c的值,再求出的值即可.
本题主要考查的是根的判别式,熟知是解题的关键.
9.【答案】B
【解析】解:设物距是x cm,
由相似三角形的性质得到:
解得
即物距是
故选:
直接利用相似三角形的对应边成比例解答.
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力.利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.
10.【答案】C
【解析】解:过点D作于点E,则,
是OB的中点,
,
,,
,
,
∽,
,
,
,
又,
,
故选:
根据反比例函数系数k的几何意义可得,由中点的定义和相似三角形的性质可得,再根据,可求出答案.
本题考查反比例函数系数k的几何意义,相似三角形的判定和性质,理解反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质是解决问题的关键.
11.【答案】且
【解析】解:根据二次根式的意义可知:,即,
根据分式的意义可知:,即,
且
根据二次根式和分式有意义的条件,被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.
主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义.函数自变量的范围一般从三个方面考虑:
当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
12.【答案】
【解析】解:,
介于和之间的整数为:,
故答案为:答案不唯一
根据无理数比较大小可得结果.
本题考查估算无理数的大小,解题的关键是熟练掌握估算无理数大小的方法,此题答案不唯一,符合题意即可.
13.【答案】
【解析】解:把代入得,
解得
故答案为
根据一元二次方程的解,把代入方程得到关于m的一次方程,然后解此一次方程即可.
本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
14.【答案】5
【解析】解:,
,
,
,
,,
,
故答案为:
根据配方法的步骤:①把常数项移到等号的右边;②等式两边同时加上一次项系数一半的平方,把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数项,由此可得出a,b的值,即可得出答案.
本题考查解一元二次方程-配方法,能够将一元二次方程正确配方是解答本题的关键.
15.【答案】
【解析】解:,是方程的两个实数根,
,,
故答案为:
根据根与系数的关系可以求出,,将可化为,代入求值即可解答.
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,利用两根之和与两根之积进行计算与转化是解决问题的关键.
16.【答案】0
【解析】解:点,都在反比例函数的图象上,
,
整理得:,
解得:,舍去,
,
;
故答案为:
由于两点在同一函数图象上,则两点横纵坐标之积等于比例系数,据此列出方程组即可解答.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数.
17.【答案】解:,B两点表示的数分别为1,,
点所表示的数是,
根据绝对值的意义进行化简:
原式
【解析】首先根据已知条件可以确定线段AB的长度,然后根据对称的性质即可确定x的值,代入所求代数式计算即可解决问题.
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系,解题时要求能够熟练计算数轴上两点间的距离;根据绝对值的性质进行化简去掉绝对值及掌握分母有理化的方法.
18.【答案】解:由题意知,,,
,
,
,
整理得,
解得,
经检验,是方程的解,
的值为或
【解析】根据根与系数的关系知,,由进行变形直接代入得到,求解可得.
本题考查了一元二次方程根与系数的关系:若,是一元二次方程的两根时,,
19.【答案】解:,,
,,
∽,
,
即,
解得,
树高
【解析】根据相似三角形的性质得到,据此可得BC的长,再根据线段的和差即可得到结论.
本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用,解题的关键是证得∽
20.【答案】解:关于x的方程有两个不相等的实数根,
,
;
为符合条件的最小整数,,
,
原方程为:,
设该方程的根是a,3a,
,,
解得,或,不合题意,舍去,
的值为
【解析】根据一元二次方程的根的判别式,建立关于n的不等式,求出n的取值范围;
由题意可得,设该方程的根是a,3a,根据根与系数的关系列方程求解即可.
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键.
21.【答案】270
【解析】解:根据题意得:
件,
若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为46元,则当天销售量为270件.
故答案为:270;
该吉祥物的当天利润不能达到6200元,理由如下:
假设该吉祥物的当天利润能达到6200元,设销售单价增加x元,则每件的销售利润为元,每天可销售件,
根据题意得:,
整理得:,
,
原方程没有实数根,
假设不成立,即该吉祥物的当天利润不能达到6200元.
利用当天的销售量,即可求出结论;
假设该吉祥物的当天利润能达到6200元,设销售单价增加x元,则每件的销售利润为元,每天可销售件,利用总利润=每件的销售利润每天的销售量,可列出关于x的一元二次方程,由根的判别式,可得出原方程没有实数根,进而可得出假设不成立,即该吉祥物的当天利润不能达到6200元.
本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算,解题的关键是:根据各数量之间的关系,列式计算;找准等量关系,正确列出一元二次方程.
22.【答案】解:、在反比例函数图象上,
,
,
∽,
,
::2,
,
,
,
,
,
,
同理,
同理
同理,
【解析】可证∽,利用相似三角形性质得到,再利用求出即可;
根据的计算方法求出、即可.
本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、图形的变化规律,熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键.
23.【答案】证明:,
,,
∽,
,
,,
,
,
解:将沿AD所在直线折叠,点C恰好落在边AB上的E点处,
,,
由可知,,
又,,
,
,
,
,
,
,
;
【解析】证明∽,由相似三角形的性质得出,证出,则可得出结论;
由折叠的性质可得出,,由可知,,由勾股定理求出,则可求出答案.
本题是相似形综合题,考查了折叠的性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定与性质,平行线的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
24.【答案】解:过A作轴于D,如图:
,
,
在和中,
,
≌,
,,
,,
,,
,
反比例函数的图象经过点A,
,解得,
反比例函数的解析式为;
由得,
设直线OA解析式为,
则,解得,
直线OA解析式为,
将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为,
点在反比例函数图象上,
,
直线OA向上平移m个单位后经过的点是,
,
综上所述,,
【解析】过A作轴于D,证明≌,可得,,根据,,得,而反比例函数的图象经过点A,故,解得,即可得反比例函数的解析式为;
求出直线OA解析式为,可得将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为,再由点在反比例函数图象上,得,即直线OA向上平移m个单位后经过的点是,即可求出
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用,涉及三角形全等的判定及性质,解题的关键是由≌得到,及待定系数法的运用.
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