2024年河南省重点中学九年级数学第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份2024年河南省重点中学九年级数学第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知点A(a＋b，4)与点B(－2，a－b)关于原点对称，则a2－b2等于( )
A．8B．－8C．5D．－5
2、（4分）如图，在□ABCD中，ABAC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A．11B．10C．9D．8
3、（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．四边都相等的四边形为菱形B．对角线互相平分的四边形为平行四边形
C．对角线相等的平行四边形为矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形为正方形
4、（4分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A．B．
C．D．
5、（4分）下列调查中，适合普查的事件是（ ）
A．调查华为手机的使用寿命v
B．调查市九年级学生的心理健康情况
C．调查你班学生打网络游戏的情况
D．调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率
6、（4分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，则BC的长为( )
A．9B．10C．11D．12
7、（4分）如图，直线l：y=﹣x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，则a可能在（ ）
A．1＜a＜2B．﹣2＜a＜0C．﹣3≤a≤﹣2D．﹣10＜a＜﹣4
8、（4分）下列计算正确的是（ ）
A．B．2C．（）2＝2D．＝3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为_____．
10、（4分）已知一组数据11、17、11、17、11、24共六个数，那么数11在这组数据中的频率是______．
11、（4分）某种数据方差的计算公式是，则该组数据的总和为_________________．
12、（4分）将直线y=3x﹣1向上平移1个单位长度，得到的一次函数解析式为_____．
13、（4分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．已知，则____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．
（1）求证：DE=EF；
（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=3，AE=，求BD的长．
15、（8分）如图，在中，是边上的中线，的垂直平分线分别交于点，连接．
（1）求证：点在的垂直平分线上；
（2）若，请直接写出的度数．
16、（8分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝CE，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图．
(1)在图1中，画出∠DAE的平分线；
(2)在图2中，画出∠AEC的平分线．
17、（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、 F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线.过点有作AG∥DB交CB的延长线于点G.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若∠G=90° ,求证:四边形DEBF是菱形.
18、（10分）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，点A是函数的图像上的一点，过点A作轴，垂足为点B，点C为x轴上的一点，连接AC,BC,若△ABC的面积为4，则K的值为_______
20、（4分）正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若△PBE是等腰三角形，则腰长为________．
21、（4分）如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点. 若，则点到边的距离为______.
22、（4分）设是满足不等式的正整数，且关于的二次方程的两根都是正整数，则正整数的个数为_______．
23、（4分）一个数的平方等于这个数本身，这个数为_________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=48，点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）当四边形BFDE是矩形时，求t的值；
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．×
25、（10分）先化简，再求值：，其中x是不等式≤x﹣3的最小整数解．
26、（12分）（1）计算
（2）下面是小刚解分式方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题.
解方程
解：方程两边乘，得第一步
解得 第二步
检验：当时，.
所以，原分式方程的解是 第三步
小刚的解法从第 步开始出现错误，原分式方程正确的解应是 .
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
直接利用关于原点对称点的性质得出a+b，a-b的值，进而得出答案．
【详解】
∵点A（a+b，4）与点B（-2，a-b）关于原点对称，
，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-4）=-1．
故选B．
考查了关于原点对称点的性质，正确应用平方差公式是解题关键．
2、B
【解析】
利用平行四边形的性质可知AO=2，在Rt△ABO中利用勾股定理可得BO=5，则BD=2BO=1．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2BO，AO=OC=2．
在Rt△ABO中，利用勾股定理可得：BO=
∴BD=2BO=1．
故选：B．
本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．解题的技巧是平行四边形转化为三角形问题解决．
3、D
【解析】
根据矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理判断即可.
【详解】
A、根据菱形的判定定理可知是真命题；
B、根据平行四边形的判定定理可知是真命题；
C、根据矩形的的判定定理可知是真命题；
D、根据正方形的判定定理可知是假命题.
故选D
本题考查假命题的定义，涉及了矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理.
4、C
【解析】
判断轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，判断中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
故选C．
5、C
【解析】试题解析：A、调查华为手机的使用寿命适合抽样调查；
B、调查市九年级学生的心理健康情况适合抽样调查；
C、调查你班学生打网络游戏的情况适合普查；
D、调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率适合抽样调查，
故选C．
6、C
【解析】
分析：先证明AB=AF=7，DC=DE，再根据EF=AF+DE﹣AD求出AD，即可得出答案．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=7，BC=AD，AD∥BC．
∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，∠BCE=∠DCE=∠CED，∴AB=AF=7，DC=DE=7，∴EF=AF+DE﹣AD=7+7﹣AD=3，∴AD=1，∴BC=1．
故选C．
点睛：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
7、D
【解析】
试题分析：直线l与y轴的交点（0，-3），而y=a为平行于x轴的直线，
观察图象可得，当a＜-3时，直线l与y=a的交点在第四象限．
故选D
考点：数形结合思想，一次函数与一次方程关系
8、C
【解析】
利用二次根式的加减运算及立方根的定义，逐一分析四个选项的正误即可得出结论．
【详解】
解：A、＞3＞，
∴选项A不正确；
B、，
∴选项B不正确；
C、（）2＝2，
∴选项C正确；
D、＝3，
∴选项D不正确．
故选C．
本题考查了立方根、算式平方根以及二次根式的加减，利用排除法逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、．
【解析】
根据翻折的性质，及已知的角度，可得△AEB’为等边三角形，再由四边形ABCD为平行四边形，且∠B=60°，从而知道B’，A，B三点在同一条直线上，再由AC是对称轴，所以AC垂直且平分BB’，AB=AB’=AE=3，求AE边上的高，从而得到面积.
【详解】
解：∵△CDE恰为等边三角形，
∴∠AEB’=∠DEC=60°，∠D=∠B=∠B’=60°，
∴△AEB’为等边三角形，
由四边形ABCD为平行四边形，且∠B=60°，
∴∠BAD=120°，所以所以∠B’AE+∠DAB=180°，
∴B’，A，B三点在同一条直线上，
∴AC是对折线，
∴AC垂直且平分BB’，
∴AB=AB’=AE=3，AE边上的高，h=CD×sin60°=，
∴面积为.
本题有一个难点，题目并没有说明B’，A，B三点在同一条直线上,虽然图形是一条直线，易当作已知条件，这一点需注意.
10、0.1
【解析】
根据公式：频率=即可求解．
【详解】
解：11的频数是3，则频率是：=0.1．
故答案是：0.1．
本题考查了频率公式：频率=，理解公式是关键．
11、32
【解析】
根据方差公式可知这组数据的样本容量和平均数，即可求出这组数据的总和．
【详解】
∵数据方差的计算公式是，
∴样本容量为8，平均数为4，
∴该组数据的总和为8×4=32，
故答案为：32
本题考查方差及平均数的意义，一般地，设n个数据，x1、x2、…xn的平均数为x，则方差s2=[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
12、y=3x．
【解析】
根据“上加、下减”的原则进行解答即可．
【详解】
由“上加、下减”的原则可知，
将函数y=3x﹣1的图象向上平移1个单位所得函数的解析式为y=3x﹣1+1=3x．
故答案为y=3x．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加、下减”的原则是解答此题的关键．
13、
【解析】
直接构造直角三角形，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出AC的长，利用平行四边形的性质求得AO的长即可．
【详解】
解：延长CB，过点A作AE⊥CB交于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝5，BC＝AD＝3，DC∥AB，
∵AD⊥CB，AB＝5，BC＝3，
∴BD＝4，
∵DC∥AB，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°，
可得：∠ADB＝∠DAE＝∠ABE＝90°，
则四边形ADBE是矩形，
故DB＝EA＝4，
∴CE＝6，
∴AC＝，
∴AO＝．
故答案为：．
此题主要考查了勾股定理以及平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）证明见解析；（2证明见解析；（3）BD=1.
【解析】
（1）先根据等角对等边得出EA=ED，再在Rt△ADF中根据直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等得出∠EAC=∠F，得出EA=EF，等量代换即可解决问题；
（2）结论：BD=CF．如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．想办法证明DM=CF，DM=BD即可；
（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．设BD=x，则DN=，DE=AE=，由∠B=45°，EN⊥BN．推出EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，根据DN2+NE2=DE2，构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，
，
，，
，
，
，，
．
（2）解：结论：．
理由：如图2中，在上取一点，使得，连接．
．，．
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）如图3中，过点作交于点．
，，
，
设，则，，
，．
，
在中，，
解得或（舍弃）
．
本题是一道三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15、（1）详见解析；（2）
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，根据垂直平分线的性质可得BO=AO，依此即可证明点O在AB的垂直平分线上；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD=25°，∠CAB=50°，再根据垂直的定义，等腰三角形的性质和角的和差故选即可得到∠BOF的度数．
【详解】
（1）证明：，点是的中点，
，
∴是的垂直平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
点在的垂直平分线上．
（2）．
∵，点是的中点，
∴平分，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
．
考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质．
16、作图见解析
【解析】
试题分析：（1）连接AC，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是∠DAE的平分线；
（2）连接AC，BD交于点F，连接EF，由平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是∠AEC的平分线．
试题解析：
（1）如图1所示．
；
（2）如图2所示．
．
考点：作图﹣基本作图
17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据已知条件证明AE=CF，从而根据SAS可证明两三角形全等；
（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=DE，
∵DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，难度适中．
18、（1）变量h是关于t的函数；（2）2.8s
【解析】
【分析】根据函数的定义进行判断即可.
①当时，根据函数的图象即可回答问题.
②根据图象即可回答.
【解答】（1）∵对于每一个摆动时间，都有一个唯一的的值与其对应，
∴变量是关于的函数.
（2）①，它的实际意义是秋千摆动时，离地面的高度为.
②.
【点评】本题型旨在考查学生从图象中获取信息、用函数的思想认识、分析和解决问题的能力.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、-1
【解析】
连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△ABC=4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到=4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】
解：连结OA，如图，
∵轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△ABC=4，
而S△OAB=，
∴=4，
∵k<0，
∴k=-1．
故答案为：-1．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
20、2或或
【解析】
分情况讨论：
(1)当PB为腰时，若P为顶点，则E点与C点重合，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，
∵P是AD的中点，
∴AP=DP=2，
根据勾股定理得：BP===；
若B为顶点，则根据PB=BE′得，E′为CD中点，此时腰长PB=；
(2)当PB为底边时，E在BP的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E；
①当E在AB上时，如图2所示：
则BM=BP=，
∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP，
∴△BME∽△BAP，
∴，即，
∴BE=；
②当E在CD上时，如图3所示：
设CE=x，则DE=4−x，
根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，PE2=DP2+DE2，
∴42+x2=22+(4−x)2，
解得：x=，
∴CE=，
∴BE= ==；
综上所述：腰长为：，或，或；
故答案为，或，或.
点睛：本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键.
21、4
【解析】
首先根据菱形的性质，可得出∠ABD=∠CBD，然后根据角平分线的性质，即可得解.
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，BD为其对角线
∴∠ABD=∠CBD，即BD为角平分线
∴点E到边AB的距离等于EF，即为4.
此题主要考查菱形和角平分线的性质，熟练运用，即可解题.
22、1个．
【解析】
首先把方程进行整理，根据方程有两个正整数根，说明根的判别式△＝b2−4ac≥0，由此可以求出m的取值范围，表达出两根，然后根据方程有两个正整数根以及m的取值范围得出m为完全平方数即可．
【详解】
解：将方程整理得：x2−（2m＋4）x＋m2＋4＝0，
∴，
，
∵两根都是正整数，且是满足不等式的正整数，
∴m为完全平方数即可，
∴m=1，4，9，16，25，36，49，共1个，
故答案为：1．
此题主要考查了含字母系数的一元二次方程，确定m为完全平方数是解决本题的关键．
23、0或1
【解析】
根据特殊数的平方的性质解答．
【详解】
解：平方等于这个数本身的数只有0，1．
故答案为：0或1．
此题考查了特殊数值的平方的性质，要注意平时在学习中进行积累．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）证明见解析；（2）1s；（2）8s.
【解析】
分析：（1）由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=2t=AE；
（2）当四边形BEDF是矩形时，△DEF为直角三角形且∠EDF=90°，求出t的值即可；
（3）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=3，AD=AC-DC=48-4t，若△DEF为等边三角形，则四边形AEFD为菱形，得出AE=AD，2t=48-4t，求出t的值即可；
详解：（1）在Rt△CDF中，∠C=30°，
∴DF=CD，
∴DF=•4t=2t，
又∵AE=2t，
∴AE=DF．
（2）当四边形BFDE是矩形时，有BE=DF，
∵Rt△ABC中，∠C=30°
∴AB=AC=×48=24，
∴BE=AB-AE=24-2t，
∴24-2t=2t，
∴t=1．
（3）∵∠B=90°，DF⊥BC
∴AE∥DF，∵AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
由（1）知：四边形AEFD是平行四边形
则当AE=AD时，四边形AEFD是菱形
∴2t=48-4t，
解得t=8，又∵t≤==12，
∴t=8适合题意，
故当t=8s时，四边形AEFD是菱形．
点睛：本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的性质与判定以及锐角三角函数的知识，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力.
25、
【解析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式的取值范围，找出符合条件的x的最小整数解代入进行计算即可．
【详解】
原式＝
＝
＝
＝，
解不等式≤x﹣3，得：x≥4，
则不等式得最小整数解为x＝4，
当x＝4时，分式无意义，
所以符合条件的x的最小整数解为x＝5，
则原式＝．
26、（1）；（2）一 ,
【解析】
（1）利用完全平方公式和单项式除以单项式的法则进行计算，然后合并同类项化简；（2）按照解分式方程的步骤进行判断发现小刚在第一步去分母时，常数项2漏乘，然后进行正确的解方程计算，从而求解即可.
【详解】
解：（1）
=
=
=
=
（2）小刚的解法从第一步开始出现错误
解方程
解：方程两边乘，得
解得
检验：当时，.
所以，原分式方程的解是
故答案为：一 ,
本题考查整式的混合运算及解分式方程，掌握完全平方公式的结构及解分式方程的步骤，正确计算是本题的解题关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分