2022年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷

这是一份2022年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算﹣3﹣2的结果是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
2．（3分）据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×1012B．1.1×1011C．11×1010D．0.11×1012
3．（3分）不透明袋中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）图中几何体的三视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的平均数、方差是（ ）
A．6，4.4B．5，6C．6，4.2D．6，5
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．×＝±2B．（m+n）2＝m2+n2
C．﹣＝﹣D．3xy÷＝﹣
7．（3分）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+αB．90°﹣αC．180°﹣αD．α
8．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（ ）
A．3B．+1C．2+1D．2+
10．（3分）以下命题：①面包店某种面包售价a元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a元；②等边三角形ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，若AD＝AE，则∠BAD＝3∠EDC；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，…，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分•本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）因式分解：x3﹣9x＝ ．
12．（3分）点（2a﹣1，y1）、（a，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，若0＜y1＜y2，则a的取值范围是 ．
13．（3分）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为 （用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为 ．
14．（3分）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x（x＞10）的函数解析式为 ．
15．（3分）已知AB为⊙O的直径且AB＝2，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），点D在半径OB上，且AD＝AC，AE与过点C的⊙O的切线垂直，垂足为E．若∠EAC＝36°，则CD＝ ，OD＝ ．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算求解
（1）计算2sin45°﹣|2﹣|+（﹣）﹣1；
（2）解方程组：．
18．（7分）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像AB的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B的俯角为10°．已知测角仪CD与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
19．（10分）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
17 18 16 13 24 15 27 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 15 16 28
15 32 23 17 14 15 27 27 16 19
对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下
频数分布表
数据分析表
请根据以上信息解答下列问题：
（1）上表中a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由；
（3）若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员在同一组内的概率．
20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若tanC＝，BD＝4，求AE．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，且A点的横坐标为1，过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C（，﹣）是直线BE上一点，且AC＝CD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
22．（9分）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
23．（10分）下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．
2022年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算﹣3﹣2的结果是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【解答】解：﹣3﹣2＝﹣5．
故选：C．
2．（3分）据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×1012B．1.1×1011C．11×1010D．0.11×1012
【解答】解：1100亿＝110000000000＝1.1×1011．
故选：B．
3．（3分）不透明袋中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：不透明袋中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球，
则任意摸出一个球是红球的概率是．
故选：A．
4．（3分）图中几何体的三视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意可得，图中几何体的三视图如图，
．
故选：C．
5．（3分）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的平均数、方差是（ ）
A．6，4.4B．5，6C．6，4.2D．6，5
【解答】解：∵＝×（4+5+5+6+10）＝6，
∴S2＝×[（4﹣6）2+2×（5﹣6）2+（6﹣6）2+（10﹣6）2]＝4.4，
故选：A．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．×＝±2B．（m+n）2＝m2+n2
C．﹣＝﹣D．3xy÷＝﹣
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、3xy÷＝﹣，故D符合题意；
故选：D．
7．（3分）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+αB．90°﹣αC．180°﹣αD．α
【解答】解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，
∵∠BCD＝α，
∴∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝．
∴∠E＝．
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．
故选：C．
8．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，
则原式＝x1（x12﹣2022）+x22
＝x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝1+4044
＝4045．
故选：A．
9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（ ）
A．3B．+1C．2+1D．2+
【解答】解：连接DB，交AC于点O，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD＝BD，AC＝2AO，AB＝AD，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴DB＝AD，
∵∠AOD＝90°，点E是DA中点，
∴OE＝AE＝DE＝AD，
∴设OE＝AE＝DE＝a，
∴AD＝BD＝2a，
∴OD＝BD＝a，
在Rt△AOD中，AO＝＝＝a，
∴AC＝2AO＝2a，
∵EA＝EO，
∴∠EAO＝∠EOA＝30°，
∴∠DEO＝∠EAO+∠EOA＝60°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠OEF＝∠DEO﹣∠DEF＝15°，
∴∠EFO＝∠EOA﹣∠OEF＝15°，
∴∠OEF＝∠EFO＝15°，
∴OE＝OF＝a，
∴AF＝AO+OF＝a+a，
∴CF＝AC﹣AF＝a﹣a，
∴＝＝＝2+，
故选：D．
10．（3分）以下命题：①面包店某种面包售价a元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a元；②等边三角形ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，若AD＝AE，则∠BAD＝3∠EDC；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，…，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：（1）根据题意得：0.9×1.1a﹣0.85a＝0.14a，故①是正确的；
（2）如图：
设∠EDC＝x，则∠AED＝x+60°，
∵AD＝AE
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠DAC＝180°﹣2∠AED＝180°﹣2x﹣120°＝60﹣2x．
∴∠BAD＝60°﹣∠DAC＝2x＝2∠EDC．
故②是错误的．
（3）如图：D为BC的中点，两边为AB，AC；
把AD中线延长加倍，得△ACD≌△EBD，
所以AC＝BE，所以△ABE与对应三角形全等，得∠BAE和∠E与对应角相等，进而转化为∠BAC与对应角相等再根据两边及夹角相等，两个三角形全等，
故③是正确的．
（4）设该列自然数为a，则新数为，则a﹣＝＝，
∵0≤a≤55，
∴原数与对应新数的差是先变大，再变小．
故④是错误的．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分•本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）因式分解：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【解答】解：x3﹣9x，
＝x（x2﹣9），
＝x（x+3）（x﹣3）．
12．（3分）点（2a﹣1，y1）、（a，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，若0＜y1＜y2，则a的取值范围是 a＞1 ．
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，
∵0＜y1＜y2，
∴点（2a﹣1，y1）、（a，y2）都在第一象限，
∴2a﹣1＞a，
解得：a＞1，
故答案为：a＞1．
13．（3分）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为 （用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为 ．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝＝108°，
∴S扇形＝＝；
又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，
∴圆锥底面直径为，
故答案为：；．
14．（3分）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 3 千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x（x＞10）的函数解析式为 y＝ ．
【解答】解：∵x＞10时，
∴一次购买的数量超过2千克，
∴y＝，
＝．
∵14＞10，
∴y＝，
＝，
＝3．
故答案为：3；y＝．
15．（3分）已知AB为⊙O的直径且AB＝2，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），点D在半径OB上，且AD＝AC，AE与过点C的⊙O的切线垂直，垂足为E．若∠EAC＝36°，则CD＝ 1 ，OD＝ ．
【解答】解：如图：连接OC，
设OD＝x，
∵直径AB＝2，
∴OA＝OC＝1，
∴AD＝AC＝1+x，
∵EC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥EC，
∵AE⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
∴AE∥OC，
∴∠EAC＝∠ACO＝36°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝36°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝72°，
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝36°，
∵∠COD＝2∠CAD＝72°，
∴∠COD＝∠ADC＝72°，
∴OC＝DC＝1，
∴∠OCD＝∠CAD，∠ADC＝∠ODC，
∴△DOC∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝，
经检验：x＝是原方程的根，
∵x＞0，
∴OD＝，
故答案为：1，．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 m＝3或﹣1＜m≤﹣ ．
【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，
当x＝0时，y＝2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，
当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），
当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，
2﹣m＝﹣1，
解得：m＝3，
当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣，
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1，
综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，
故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算求解
（1）计算2sin45°﹣|2﹣|+（﹣）﹣1；
（2）解方程组：．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣2+﹣3
＝﹣2+﹣3
＝2﹣5；
（2）方程组整理得，
②﹣①×2得：﹣5x＝5，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：﹣4+y＝5，
解得：y＝9，
则方程组的解为．
18．（7分）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像AB的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B的俯角为10°．已知测角仪CD与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
则CD＝BE＝1米，
在Rt△CBE中，∠BCE＝10°，
∴CE＝＝（米），
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴AE＝CE•tan30°＝•＝（米），
∴AB＝AE+BE＝（1+）米，
∴雕像AB的高为（1+）米．
19．（10分）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
17 18 16 13 24 15 27 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 15 16 28
15 32 23 17 14 15 27 27 16 19
对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下
频数分布表
数据分析表
请根据以上信息解答下列问题：
（1）上表中a＝ 4 ，b＝ 2 ，c＝ 16 ，d＝ 18 ；
（2）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由；
（3）若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员在同一组内的概率．
【解答】解：（1）a＝4，b＝2；
c＝16，d＝18；
故答案为4，2，16，18；
（2）月销售额定为18万元合适．
理由如下：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售额定为中位数，因为低于中位数和高于中位数的人数相同，所以月销售额定为18万元合适；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中这两名营业员在同一组内的结果数为4，
所以这两名营业员在同一组内的概率＝＝．
20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若tanC＝，BD＝4，求AE．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：∵BD＝DC＝4，
∴BC＝DB+DC＝8，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴AD＝CD•tanC＝4×＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE﹣AC＝，
∴AE的长为．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，且A点的横坐标为1，过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C（，﹣）是直线BE上一点，且AC＝CD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
【解答】解：（1）∵AD⊥BE于点D，AC＝CD．
∴cs∠ACD＝＝，
∴∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∵A点的横坐标为1，点C（，﹣），
∴CD＝﹣1＝，
∴A（1，﹣），即A（1，2），
∵反比例函数y2＝的图象过A、B两点，
∴m＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y2＝，
∵BE∥x轴，
∴B点的纵坐标为﹣，
∴B（﹣4，﹣），
把A、B的坐标代入y1＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的表达式为y1＝x+；
（2）从图象可以看出，不等式kx+b﹣＜0的解集是x＜﹣4或0＜x＜1．
22．（9分）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为（x+200）元，第二次采购每吨土豆的平均价格为（x﹣200）元，
由题意得：×2＝，
解得：x＝2200，
经检验，x＝2200是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）由（1）得：今年采购的土豆数为：×3＝375（吨），
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375﹣m）吨加工成淀粉，
由题意得：，
解得：150≤m≤175，
设总利润为y元，
则y＝700m+400（375﹣m）＝300m+150000，
∵300＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m＝175时，y的值最大＝300×175+150000＝202500，
答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元．
23．（10分）下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： AG＝CE ；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．
【解答】（1）解：∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AG，
∴AG＝CE，
故答案为：AG＝CE；
（2）证明：取AG＝EC，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）解：k＝时，四边形PECF是平行四边形，如图，
由（2）知，△GAE≌△CEF，
∴CF＝EG，
设BC＝x，则BE＝kx，
∴GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC＝45°，
∴∠PEC+∠ECF＝180°，
∴PE∥CF，
∴PE＝（1﹣k）x，
当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴（1﹣k）x＝kx，
解得k＝．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．
【解答】解：（1）将点B（4，0）和点C（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
在y＝﹣x2+x+2中，令y＝0得﹣x2+x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0）；
（2）存在y轴上一点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形，理由如下：
如图：
∵点D是线段AC的中点，A（﹣1，0），C（0，2），
∴D（﹣，1），
设E（0，t），
又B（4，0），
∵∠BED＝90°，
∴BE2+DE2＝BD2，
即[（4﹣0）2+（0﹣t）2]+[（﹣﹣0）2+（1﹣t）2]＝（4+）2+（0﹣1）2，
化简得：t2﹣t﹣2＝0，
解得：t1＝﹣1，t2＝2，
∴E的坐标为（0，﹣1）或（0，2）；
（3）∵B（4，0）、C（0，2），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+2（k≠0），
把点B（4，0）代入解析式得，4k+2＝0，
解得：k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点P（m，﹣m2+m+2），则M（m，﹣m+2），
①当∠PCM＝2∠OBC时，
过点C作CF⊥PM于点F，如图，
∵CF⊥PM，PM∥y轴，
∴CF∥OB，
∴∠FCM＝∠OBC，F（m，2），
又∵∠PCM＝2∠OBC，
∴∠PCF＝∠FCM＝∠OBC，
∴F是线段PM的中点，
∴＝2，
整理得：m2﹣2m＝0，
解得：m＝2或m＝0，
∵点P是第一象限内抛物线上的动点，
∴m＝2；
②∠CMP＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠BMN，
∴∠BMN＝2∠OBC，即∠BMN＝2∠NBM，
∵PN⊥x轴，
∴∠BMN+∠NBM＝90°，
即3∠NBM＝90°，
∴∠NBM＝30°，
∴OC＝BC，
∵BC＝＝＝2≠4，
∴此种情况不存在；
③当∠CPM＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠NMB＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝180°﹣∠CPM﹣∠CMP＝180°﹣2∠OBC﹣（90°﹣∠OBC）＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝∠CMP，
∴PC＝PM，
∴（m﹣0）2+（﹣+m+2﹣2）2＝[（﹣+m+2）﹣（﹣m+2）]2，
整理得：m2+m4﹣m3+m2＝m4﹣2m3+4m2，
解得：m＝；
综上所述，满足条件的点P的横坐标为2或．
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一
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三
四
五
六
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销售额/万元
13≤x＜16
16≤x＜19
19≤x＜22
22≤x＜25
25≤x＜28
28≤x＜31
31≤x＜34
频数
6
10
3
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a
b
2
平均数
众数
中位数
20.3
c
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组别
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