北师大版（2024）九年级上册5 相似三角形判定定理的证明教学设计

这是一份北师大版（2024）九年级上册5 相似三角形判定定理的证明教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力．
二、教学重点及难点
重点：相似三角形判定定理的证明．
难点：合理添加辅助线．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板．
四、相关资
《复习相似三角形判定定理》动画，《相似三角形的判定》微课.
五、教学过程
【复习引入】
我们学过的相似三角形的判定定理有哪些？平行线分线段成比例的基本事实及其推论的内容是什么？
师生活动：教师出示问题，学生根据学过的内容回答．
答：我们学过的相似三角形的判定定理有：（1）两角分别相等的两个三角形相似；（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边成比例的两个三角形相似．
平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
设计意图：通过对相关定理的回顾，为后面的探索奠定良好的基础．
【探究新知】
前面我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明．
1．定理 两角分别相等的两个三角形相似．
师生活动：教师让学生写出已知、求证并引导学生完成证明过程．教师应注意指出此时只能利用定义证明相似，不能使用前面学过的判定三角形相似的判定定理证明．
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'．
求证：△ABC∽△A'B'C'．
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．
过点D作AC的平行线，交BC于点F，则（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．
∴．∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形．
∴DE=CF．∴．∴．
而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC．
∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'，∴△ADE≌△A'B'C'．
∴△ABC∽△A'B'C'．
2．定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
师生活动：教师让学生写出已知、求证并引导学生完成证明过程．
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，．
求证：△ABC∽△A'B'C'．
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠B=∠ADE，∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）．
∴．∵，AD=A'B'，
∴．∴．
∴AE=A'C'．而∠A=∠A'，∴△ADE≌△A'B'C'．
∴△ABC∽△A'B'C'．
3．定理 三边成比例的两个三角形相似．
师生活动：教师让学生写出已知、求证并引导学生完成证明过程．
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，．
求证：△ABC∽△A'B'C'．
证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上分别截取AD=A'B'，AE=A'C'，连接DE．
∵，AD=A'B'，AE=A'C'，∴．
而∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
∴．
又，AD=A'B'，
∴．∴．∴DE=B'C'．
∴△ADE≌△A'B'C'．
∴△ABC∽△A'B'C'．
设计意图：通过学生亲身经历证明过程，让他们发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识，同时让学生学会合理地添加辅助线．
【典例精析】
例 如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端点在CB，CD上滑动，当CM为何值时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似？
师生活动；教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．
分析：由于本题未指明两三角形的对应关系，所以要分CM与AE和AD是对应边两种情况进行求解．
解：．
当△AED∽△CMN时，AE∶CM=DE∶NM，即1∶∶1，解得；
当△AED∽△CNM时，AD∶CM=DE∶MN，即2∶∶1，解得．
∴当或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
设计意图：让学生明白利用相似三角形的对应边成比例构建方程，是解决线段计算问题的重要途径．
【课堂练习】
1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）．
2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1，AD的中点E的对应点记为E1．若△E1FA1∽△E1BF，则AD=_________．
3．如图所示，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．
4．如图，在△ABC中，AB=8 cm，BC=16 cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4 cm/s．如果P，Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．
参考答案
1．B．2．3.2．
3．解：（1）相似；
理由：设题图中正方形的边长为a，
∴．
∴，．∴．
∵∠ACF=∠GCA，∴△ACF∽△GCA．
（2）∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF．
∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．
4．解：设P，Q两点运动t s时，△QBP与△ABC相似．由题意可知0＜t＜4，此时PB=(8-2t)cm，BQ=4t cm．
（1）当△QBP∽△ABC时，，即，解得t=0.8；
（2）当△PBQ∽△ABC时，，即，解得t=2．
综上所述，当P，Q两点运动0.8 s或2 s时，△QBP与△ABC相似．
设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．
六、课堂小结
这节课我们主要学习了相似三角形的三个判定定理的证明及它们的应用．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．
七、板书设计
4.5 相似三角形判定定理的证明
1．相似三角形的三个判定定理的证明