福建省福州市中考数学试卷（含解析版）

这是一份福建省福州市中考数学试卷（含解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（福建福州）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5B．5C．D．﹣
2．（福建福州）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（ ）
A．11×104B．1.1×105C．1.1×104D．0.11×105
3．（福建福州）某几何体的三视图如图，则该几何体是（ ）
A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥
4．（福建福州）下列计算正确的是（ ）
A．x4•x4=x16B．（a3）2=a5C．（ab2）3=ab6D．a+2a=3a
5．（福建福州）若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是（ ）
A．44B．45C．46D．47
6．（福建福州）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边
C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360°
7．（福建福州）若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
8．（福建福州）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．=B．=C．=D．=
9．（福建福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45°B．55°C．60°D．75°
10．（福建福州）如图，已知直线y=﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是（ ）
A．﹣1B．1C．D．

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（福建福州）分解因式：ma+mb= ．
12．（（福建福州）若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是 ．
13．（福建福州）计算：（+1）（﹣1）= ．
14．（福建福州）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则▱ABCD的周长是 ．
15．（福建福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC．若AB=10，则EF的长是 ．

三、解答题（满分90分）
16．（福建福州）（1）计算：+（）0+|﹣1|；
（2）先化简，再求值：（x+2）2+x（2﹣x），其中x=．
17．（福建福州）（1）如图1，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．
（2）如图2，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上．
①sinB的值是 ；
②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积．
18．（福建福州）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x≤85为B级，60≤x≤75为C级，x＜60为D级．现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，α= %；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为 度；
（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
19．（福建福州）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．
（1）求A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
20．（福建福州）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
21．（福建福州）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=秒时，则OP= ，S△ABP= ；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．
22．（福建福州）如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．
福建省福州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（福建福州）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5B．5C．D．﹣
【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】﹣5的相反数是5．故选：B．
【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．（福建福州）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（ ）
A．11×104B．1.1×105C．1.1×104D．0.11×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】将110000000用科学记数法表示为：1.1×105．故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（福建福州）某几何体的三视图如图，则该几何体是（ ）
A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选D．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为锥体．
4．（福建福州）下列计算正确的是（ ）
A．x4•x4=x16B．（a3）2=a5C．（ab2）3=ab6D．a+2a=3a
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，幂的乘方，底数不变指数相乘，积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得到幂相乘，合并同类项，即把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．对各小题计算后利用排除法求解．
解；A．x4•x4=x16，故本小题错误； B．（a3）2=a5，故本小题错误；
C．（ab2）3=ab6故本小题错误；D．a+2a=3a，正确．故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项，熟练掌握运算性质并理清指数的变化是解题的关键．
5．（福建福州）若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是（ ）
A．44B．45C．46D．47
【分析】先求出这组数的和，然后根据“总数÷数量=平均数”进行解答即可；
【解答】平均数为：（40+42+43+45+47+47+58）÷7=322÷7=46（千克）；故选C．
【点评】此题考查了平均数的计算方法，牢记计算方法是解答本题的关键，难度较小．
6．（福建福州）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边
C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360°
【分析】分别利用对顶角的性质、三角形的三边关系、菱形的性质及多边形的外角和对四个选项分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】A、对顶角相等，正确，是真命题；
B、三角形的两边之和大于第三边，错误，是假命题；
C、菱形的四条边都相等，正确，是真命题；
D、多边形的外角和为360°，正确，为真命题，故选B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟知对顶角的性质、三角形的三边关系、菱形的性质及多边形的外角和定理，属于基础知识，难度较小．
7．（福建福州）若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根据非负数的性质，可求出m、n的值，然后将代数式化简再代值计算．
【解答】∵（m﹣1）2+=0，∴m﹣1=0，n+2=0；∴m=1，n=﹣2，
∴m+n=1+（﹣2）=﹣1故选：A．
【点评】考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．（福建福州）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．=B．=C．=D．=
【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
【解答】设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．
依题意得：=．故选：A．
【点评】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
9．（福建福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45°B．55°C．60°D．75°
【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．
【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD又∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=60°∴AD=AE∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°
∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°又∵∠BAC=45°∴∠BFC=45°+15°=60°故选：C．
【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．
10．（福建福州）如图，已知直线y=﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是（ ）
A．﹣1B．1C．D．
【分析】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB=OA=2，所以EF=AB=，且△DEF为等腰直角三角形，则FD=DE=EF=1；设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（﹣t+2）=（t+1）•（﹣t+1），解得t=，这样可确定E点坐标为（，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=×．
【解答】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，∴EF=AB=，∴△DEF为等腰直角三角形∴FD=DE=EF=1，
设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），
∴t（﹣t+2）=（t+1）•（﹣t+1），解得t=，∴E点坐标为（，），∴k=×=．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（福建福州）分解因式：ma+mb= ．
【分析】这里的公因式是m，直接提取即可．
【解答】ma+mb=m（a+b）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，公因式即多项式各项都含有的公共的因式．

12．（（福建福州）若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是 ．
【分析】根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．
【解答】∵在5个外观相同的产品中，有1个不合格产品，
∴从中任意抽取1件检验，则抽到不合格产品的概率是：．故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13．（福建福州）计算：（+1）（﹣1）= ．
【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【解答】（+1）（﹣1）=．
【点评】本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．
14．（福建福州）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则▱ABCD的周长是 ．
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．
【解答】∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，∴AD=BC=6，∴CE=BC﹣BE=6﹣2=4，
∴CD=AB=4，∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．故答案为：20．
【点评】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
15．（福建福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC．若AB=10，则EF的长是 ．
【分析】根据三角形中位线的性质，可得DE与BC的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得DC与EF的关系，根据直角三角形的性质，可得DC与AB的关系，可得答案．
【解答】如图，连接DC．DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=，
∵CF=BC，∴DE∥CF，DE=CF，∴CDEF是平行四边形，∴EF=DC．
∵DC是Rt△ABC斜边上的中线，∴DC==5，∴EF=DC=5，故答案为：5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

三、解答题（满分90分）
16．（福建福州）（1）计算：+（）0+|﹣1|；
（2）先化简，再求值：（x+2）2+x（2﹣x），其中x=．
【分析】（1）本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）根据完全平方公式、单项式成多项式，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．
【解答】（1）原式=3+1+1=5；
（2）原式=x2+4x+4+2x﹣x2=6x+4，
当x=时，原式=6×+4=2+4=6．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、绝对值、二次根式的运算．
17．（福建福州）（1）如图1，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．
（2）如图2，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上．
①sinB的值是 ；
②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积．
【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据正弦函数的定义，可得答案；根据轴对称性质，可作轴对称图形，根据梯形的面积公式，可得答案．
（1）证明：BE=CF，∴BE+EF=CF+EF．即BF=CE．
在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS）．∴∠A=∠D；
（2）【解答】①∵AC=3，BC=4，∴AB=5．sinB=；
②如图所示：
由轴对称性质得AA1=2，BB1=8，高是4，
∴==20．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等式的性质，全等三角形的判定与性质．
18．（福建福州）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x≤85为B级，60≤x≤75为C级，x＜60为D级．现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，α= %；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为 度；
（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出a；
（2）用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；
（3）用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数；
（4）用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数．
【解答】（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：=50（人），a=×100%=24%；
故答案为：50，24；
（2）等级为C的人数是：50﹣12﹣24﹣4=10（人），
补图如下：
（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为×360°=72°；
故答案为：72；
（4）根据题意得：2000×=160（人），
答：该校D级学生有160人．
【点评】此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（福建福州）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．
（1）求A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
【分析】（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，根据关系式列出二元一次方程组．
（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件，根据关系式列出二元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．
【解答】（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，
依题意，得，解得．
答：A商品每件20元，B商品每件50元．
（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件
解得5≤a≤6
根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．
方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；
方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；
∵350＞320
∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．
答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．
【点评】此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用，根据题意得出关系式是解题关键．
20．（福建福州）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
【分析】（1）根据题意得出AE的长，进而得出BE=AE，再利用tan∠ACB=，求出EC的长即可；
（2）首先得出AC的长，再利用圆周角定理得出∠D=∠M=60°，进而求出AM的长，即可得出答案．
【解答】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ABE中，∵sinB=，∴AE=ABsinB=3sin45°=3×=3，
∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，
在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，
∴EC====，∴BC=BE+EC=3+；
（2）连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM，
由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，
∴AC=2，∵∠D=∠M=60°，∴sin60°===，
解得：AM=4，∴⊙O的半径为2．
【点评】此题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数关系应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．
21．（福建福州）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=秒时，则OP= 1 ，S△ABP= ；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．
【分析】（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；
（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；
（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．
（1）【解答】当t=秒时，OP=2t=2×=1．
如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．
在Rt△POD中，PD=OP•sin60°=1×=，∴S△ABP=AB•PD=×（2+1）×=．
（2）【解答】当△ABP是直角三角形时，
①若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此种情形不存在；
②若∠B=90°，如答图2所示：
∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；
③若∠APB=90°，如答图3所示：
过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP•cs30°=t，PD=OP•sin60°=t，
∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．
在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2
∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，
即[（2+t）2+（t）2]+[（1﹣t）2+（t）2]=32
解方程得：t=或t=（负值舍去），∴t=．
综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=．
（3）证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，
则有，∴PE=PB．
∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，
∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．
∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；
∴△OAQ∽△PBO，∴，即，化简得：AQ•PB=3．
【点评】本题是运动型综合题，考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造相似三角形，本问有多种解法，可探究尝试．
22．（福建福州）如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；
（2）如何证明∠AEO=∠ADC？如答图1所示，我们观察到在△EFH与△ADF中：∠EHF=90°，有一对对顶角相等；因此只需证明∠EAD=90°即可，即△ADE为直角三角形，由此我们联想到勾股定理的逆定理．分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；
（3）依题意画出图形，如答图2所示．由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．利用二次函数性质求出EP2最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标．
（1）【解答】顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y=0，得（x﹣3）2﹣1=0，
解得：x1=3+，x2=3﹣，
∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．
（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．
令x=0，得y=，∴C（0，）．∴CG=OC+OG=+1=，∴tan∠DCG=．
设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=．
由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．
∴tan∠EOM=tan∠DCG==，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3．
在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=；
在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．
∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．
设AE交CD于点F，
∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），
∴∠AEO=∠ADC．
（3）【解答】依题意画出图形，如答图2所示：
由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，
要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．
设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（ ）2+（y﹣2）2．
∵y=（x﹣3）2﹣1，
∴（x﹣3）2=2y+2．
∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5
当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．
将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，
解得：x1=1，x2=5．
又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，
∴x1=1舍去．
∴P（5，1）．
此时点Q坐标为（3，1）或（，）．
【点评】本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，难度较大．第（2）问中，注意观察图形，将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题，综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数（或相似形）求解；第（3）问中，解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题，注意解答中求EP2最小值的具体方法．