[数学]山东省济南市2024-2025学年高一上学期入学学情开学考检测试题(解析版)

这是一份[数学]山东省济南市2024-2025学年高一上学期入学学情开学考检测试题(解析版)，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D.
3. 小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 160，162B. 158，162
C. 160，160D. 158，160
【答案】D
【解析】因在156，158，158，160，162，165，169这组数据中，158出现了2次，次数最多，故众数是158；
根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数.
故选：D.
4. 某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排有1个正方体在左侧，故A正确.
故选：A.
5. 已知点，，，都在反比例函数（）的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将点代入反比例函数，得，
即反比例函数的解析式是，
将点的坐标代入函数解析式，得，，，
即.
故选：B.
6. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】B
【解析】如图，连接，
四边形为矩形，，，
，，
，，
，解得.
故选：B.
7. 如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点H，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点K，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，设直线分别交直线于，作，垂足为R，
根据题意易知分别为的角平分线，线段的垂直平分线，
所以，所以为正三角形，
则，所以，
而，则，
易证，故，
易知，故，解得.
故选：C.
8. 如图，抛物线，顶点为A，抛物线与x轴正半轴的交点为B，连接AB，C为线段OB上一点（不与O，B重合），过点C作交y轴于点D，连接AD交抛物线于点E，连接OE交CD于点F，若，则点C的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的顶点，由，得，即点，
设直线方程为，由，解得，则直线，
设点，由，设直线方程为，
由，得，由，得，即点，直线，
设直线的方程为，则，解得，
即直线，由，解得，
即点，
显然，由，得，则，因此点，
由，得，因此，解得，
所以点C的横坐标为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y（km）与时间x（h）的关系，则（ ）
A. 小明家与图书馆的距离为2km
B. 小明的匀速步行速度是3km/h
C. 小明在图书馆查阅资料的时间为1.5h
D. 小明与小亮交谈的时间为0.4h
【答案】AD
【解析】对于A：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km，故A正确；
对于B：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，
所以小明的匀速步行速度是，故B错误；
对于C：小明返回的路上走后遇到小亮，
则走所需的时间为，
所以小明在图书馆查阅资料的时间为，故C错误；
对于D：走所需的时间为，
所以小明与小亮交谈的时间为，故D正确.
故选：AD.
10. 如图，点B在线段AD上，分别以线段AB和线段BD为边在线段AD的同侧作等边三角形和等边三角形，连接AE，AE与BC相交于点G，连接CD，CD与AE，BE分别相交于点F，H，连接BF，GH，则（ ）
A. B. FB平分
C. D.
【答案】ABD
【解析】因和都是正三角形，
故，
则，即，
由可得，故D正确；
由可得，，因，
由可得，，则有，
故为正三角形，则，故，即A正确；
如图，分别作，垂足分别是，
由上知，，故，由角平分线的性质定理，可得FB平分，
故B正确；
对于C项，假设，则，故，
而在中，，故，
产生矛盾，故假设不成立，即C错误.
故选：ABD.
11. 如图1，在中，，，动点D从点A开始沿AB边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE，F为DE中点，连接AF，CF，设时间为t（s），为y，y关于t的函数图象如图2所示，则（ ）
A. 当时，B.
C. DE有最小值，最小值为2D. 有最小值，最小值为
【答案】BD
【解析】设，则，
则（*），
由图2知，函数经过点，整理得，，
解得或（舍去），故B正确；
由B项知，，当时，，即，故A错误；
对于C，由题意易得，，由可得，
当时，，即有最小值，最小值为，故C错误；
对于D，如图，以点为原点，所在直线分别为轴建立直角坐标系.
则，因F为DE中点，故，
于是
，
结合此式特点，设，则，作出图形如下.
作出点关于直线的对称点，连接，交直线于点，
则点即为使取得最小值的点.
(理由：可在直线上任取点，利用对称性特点，
即可证明，即得)，
此时，即的最小值为.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______.
【答案】
【解析】五个点中在第一象限的点有A和D两个，
从中任选一个点共有5种等可能结果，这个点恰好在第一象限有2种结果，
所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是.
13. 在中，，，的周长为14，则AB边上的高为________.
【答案】
【解析】根据题意可设，所以，
可得，
又，利用勾股定理可得；可得；
所以，即；
设AB边上的高为，由三角形面积可得，
解得.
14. 如图，在矩形纸片中，，，为中点，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好也为，则________.
【答案】
【解析】由题设，
过作，交于，交于，过作，
则，则，故，
所以，故，故，
设，则，故，
故.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 先化简再求值：
（1）求的值，其中；
（2）求值，其中.
解：（1）
.
即代入可得.
（2）
.
即代入可得.
16. 某超市销售两种品牌的牛奶，购买3箱种品牌的牛奶和2箱种品牌的牛奶共需285元；购买2箱种品牌的牛奶和5箱种品牌的牛奶共需410元.
（1）求种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买两种品牌的牛奶共20箱，且种品牌牛奶的数量至少比种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过种品牌牛奶的3倍，购买两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
解：（1）设种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元，
则，故.
故种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元、元.
（2）设购买品牌的牛奶箱，则购买品牌的牛奶箱，
此时总费用，
而，故，而为整数，
故可为中的某个数，
故的最小费用为（元），
此时购买两种品牌的牛奶分别为箱、箱.
17. 如图，在中，是直径，点是上一点，，，点在上，，连接并延长交于点，连接，，垂足为.
（1）求证：；
（2）求的长.
解：（1）是的直径，，，
又，.
（2）在中，，，
又，则，，
又，，
在中，设，则，故，
又，，，即，解得，
，
在中，，即，解得，
即.
18.
已知抛物线（），根据以上材料解答下列问题：
（1）若该抛物线经过点，求m的值；
（2）在（1）的条件下，B，C为该抛物线上两点，线段BC的中点为D，若点，求直线BC的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC的表达式为：，，则有①，②.①-②得：，两边同除以，得；
（3）该抛物线上两点E，F，直线EF的表达式为：（）.
(ⅰ).请说明线段EF的中点在一条定直线上；
(ⅱ).将ⅰ中的定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线，当时，该抛物线与只有一个交点，求m的取值范围.
解：（1）因经过点，则，解得，.
（2）时，，设直线BC的表达式为：，
，
则①，②.
由①-②：，
两边同除以，则，
因线段BC的中点为，则，即，
则，将点代入解得，，故直线BC的表达式为：.
（3）（i）由消去，整理得，，
依题意，设，的中点为，
则，，即线段EF的中点在定直线上.
(ⅱ)如图，将定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线，
则点转到了点，则，
设点，，则
，即，，
设，则得，
解得，即得；
因抛物线的对称轴为，
故该函数在时，随着的增大而增大，且时，，
时，，
要使抛物线与只有一个交点，可分以下种情况讨论：
①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，，解得；
②抛物线顶点在直线上，如上图，即时，由，解得或，
因，故符合题意；
③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足，如上图，
由，消去，可得，
由解得，，
代入方程可得，解得，符合题意；
④如上图，抛物线顶点在直线上方，但在内只有一个交点，须使，
又，解得.
综上可得m的取值范围为：或或.
19. 在中，，.
（1）如图1，在中，，，F是AE中点，连接BF.若，求线段BF的长；
（2）如图2，在中，，，F是AB中点，连接DF，求的值；
（3）如图3，在中，，，E是AB中点，F是AE中点，连接BD，DF，求的值.
解：（1）在中，，.
若，则，，
如图1，在中，，由，得，
，F是AE中点，则，中，.
（2）在中，，，F是AB中点，
连接，则为等边三角形，如图所示，
将绕点顺时针旋转，得，
，，则为等边三角形，，
又，则三点共线，，，
则，，则，
中，，，为中点，连接，
则有，为等边三角形，，
，，所以为直角三角形，，
不妨设，则，，
，所以.
（3）在中，，，
中，，，E是AB中点，F是AE中点，
将绕点逆时针旋转，得，如图所示，
由（2）同理可得为等边三角形，三点共线，，
由，有，又，则有，得，
不妨设，则，
，，所以.阅读材料：直线（）上任意两点Mx1，y1，Nx2，y2，，线段MN的中点，P点坐标及k可用公式：，；计算.例如：直线上两点，，则，，即线段MN的中点，.