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    [数学]山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试题(解析版)

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    [数学]山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试题(解析版)

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    这是一份[数学]山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试题(解析版),共13页。试卷主要包含了单项选择题,解答题.等内容,欢迎下载使用。
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 命题“都有”的否定是( )
    A. 不存在
    B. 存在
    C. 存在
    D. 对任意的
    【答案】B
    【解析】由全称命题的否定为特称命题,∴原命题的否定为:存在.
    故选:B.
    2. “”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】因为,而推不出,例如满足,
    但不成立,所以“”是“”的充分不必要条件.
    故选:A.
    3. 集合,,则图中阴影部分所表示的集合为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】图中阴影部分所表示的集合为.
    故选:B.
    4. 集合,,,,则下面正确的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】对于集合,当时,则,与B集合中元素相同;
    当时,则,与集合C中元素相同;
    当时,则,与集合D中元素相同;
    所以.
    故选:D.
    5. 已知,,,均为实数,有下列命题:
    (1)若,,则;
    (2)若,,则;
    (3)若,,则,
    其中正确命题的个数是
    A. 0B. 1C. 2D. 3
    【答案】D
    【解析】对于(1),,将不等式两边同时除以,
    ,所以(1)正确;
    对于(2),,将不等式两边同时乘以,
    ,所以(2)正确;
    对于(3),,
    又,,所以(3)正确.
    故选:D.
    6. 若“,”是假命题,则的取值范围为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】由“,”是假命题,
    得“,”是真命题,
    当时,,符合题意;
    当时,则,解得.
    综上,的取值范围是.
    故选:B.
    7. 已知关于的不等式组仅有一个整数解,则的取值范围为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】由,可得或,
    由,即,得,,
    当,即时,不等式的解为,
    此时不等式组的解集为,
    又因为不等式组仅有一个整数解,
    则,解得;
    当,即时,不等式解为,
    又因为不等式组仅有一个整数解,
    则,解得;
    综上所述,的取值范围为.
    故选:B.
    8. 已知,,,则( )
    A. S的最大值是B. S的最大值是
    C. S的最大值是D. S的最大值是
    【答案】B
    【解析】∵

    令,
    ∵,,则,当且仅当,
    即时等号成立,
    故,可得,
    又∵在上单调递增,则,
    ∴,即S的最大值是.
    故选:B.
    二、多项选择题.本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.已知命题:,,则命题成立的一个充分条件可以是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ABD
    【解析】由命题:,成立,得,解得.
    故命题成立的一个充分条件是的子集,因此选项A、B、D符合.
    故选:ABD.
    10. 若,,,则下列不等式恒成立的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BD
    【解析】因为,则,当且仅当时取等号,故A错误;
    因为,当且仅当时取等号,故B正确;
    令,则不成立,故C错误;
    因为,
    当且仅当时取等号,故D正确.
    故选:BD.
    11. 通常我们把一个以集合作为元素集合称为族.若以集合的子集为元素的族,满足下列三个条件:(1)和在中;(2)中的有限个元素取交后得到的集合在中;(3)中的任意多个元素取并后得到的集合在中,则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集,且,则( )
    A. 族为集合上的一个拓扑
    B. 族为集合上的一个拓扑
    C. 族为集合上的一个拓扑
    D. 若族为集合上的一个拓扑,将的每个元素的补集放在一起构成族,则也是集合上的一个拓扑
    【答案】ABD
    【解析】对于A,首先满足条件(1),
    其次,中的有限个元素取交后得到的集合为或,都在中,
    满足条件(2),
    再次,中的任意多个元素取并后得到的集合为或,都在中,
    满足条件(3),故A正确;
    对于B,首先满足条件(1),
    其次,中的有限个元素取交后得到的集合为或或,
    都在中,满足条件(2),
    再次,中的任意多个元素取并后得到的集合为或或,
    都在中,满足条件(3),故B正确;
    对于C,不妨设,则,
    不在中,故C错误;
    对于D,由题意不妨设族为集合上的一个拓扑,
    由条件(2)可知中的有限个元素取交后得到的集合都在,
    且由条件(3)可知中的任意多个元素取并后得到的集合都在,
    则,下证:也是集合上一个拓扑.
    首先满足条件(1),
    其次,设,则,
    而,故,
    故,同理可证,
    故中有限个元素取交后得到的集合都在中,
    任意多个元素取并后得到的集合都在中,
    满足条件(3),故D正确.
    故选:ABD.
    三、填空题.本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 已知,,若集合,,且,则的值为______.
    【答案】
    【解析】因为且,故,
    而集合,,
    则,,则,则,
    故.
    13. 一批货物随列火车从市均以千米/时的速度匀速直达市,已知两地铁路线长千米,为了安全,每两列火车的间距不得小于千米(火车的长度忽略不计),那么这批货物全部运到市,最快需要_______小时.
    【答案】
    【解析】设这批货物从市全部运到市需要的时间为小时,
    则(小时),
    当且仅当,即时,等号成立,
    所以批货物从市全部运到市需要小时.
    14. 已知实数,满足,若,则的最小值是_______.
    【答案】16
    【解析】因为,所以,
    ,当且仅当,即时取等号,
    所以,当且仅当,
    即时等号成立,此时.
    四、解答题.
    15. 已知全集为.
    (1)求;
    (2)若,且,求的取值范围.
    解:(1)因为,,所以或,
    所以.
    (2)因为,所以,所以,解得,
    故的取值范围为.
    16. 不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题:
    (1)已知b克糖水中含有a克糖(),再添加m克糖(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式
    (2)甲每周都要去超市购买某种商品,已知第一周采购时价格是p1,第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案,第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品,第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济,请说明理由.
    解:(1)该不等式为
    证明:因为,所以,于是.
    (2)若按第一种方案采购,每次购买量为,则两次购买的平均价格为,
    若按第二种方案采购,每次用的钱数是,则两次购买的平均价格为,
    又,
    所以当时,两种方案一样;
    当时,第二种方案比较经济.
    17. 党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”,某农户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3000元,问怎样设计沼气池能使总造价最低,最低总造价是多少?
    解:设沼气池底面长为x米,则宽为,可知池底总造价为:;
    池壁总造价为:;沼气池盖子的造价为3000元,
    设沼气池总造价为y元,且,由题可得:

    当且仅当,即时,等号成立.
    所以当沼气池的底面是边长为4的正方形时,沼气池的总造价最低,最低总造价是9240元.
    18. 设,.
    (1)若恒成立,求实数k的取值范围;
    (2)当时,解不等式.
    解:(1)当时,即时,不等式可化为,所以与条件矛盾,
    当时,即时,由已知恒成立,
    所以,所以,
    所以实数k的取值范围为.
    (2)由(1)当时不等式在上恒成立,
    所以不等式的解集为,
    当时,不等式可化为

    方程的判别式,
    方程的解为,
    所以不等式的解集为,
    当时,方程的判别式

    方程的解为,
    ,,所以不等式的解集为
    或,
    当时,不等式可化为,所以,
    即不等式的解集为,
    当时,方程的判别式

    方程的解为,
    ,,所以不等式的解集为

    综上可得,当时,不等式的解集为,
    当时,不等式为,
    当时,不等式的解集为或,
    当时,不等式的解集为,
    当时,不等式的解集为.
    19. 已知有限集,如果中的元素满足,就称为“完美集”.
    (1)判断:集合是否是“完美集”并说明理由;
    (2)是两个不同的正数,且是“完美集”,求证:至少有一个大于2;
    (3)若为正整数,求:“完美集”.
    解:(1)由,,
    则集合是“完美集”,
    (2)若是两个不同的正数,且是“完美集”,
    设,
    根据根和系数的关系知,和相当于的两根,
    由,解得或(舍去),
    所以,又均为正数,
    所以至少有一个大于2.
    (3)不妨设中,
    由,得,
    当时,即有,又为正整数,所以,
    于是,则无解,即不存在满足条件的“完美集”;
    当时,,故只能,,求得,
    于是“完美集”只有一个,为.
    当时,由,即有,
    而,
    又,因此,故矛盾,
    所以当时不存在完美集,
    综上知,“完美集”为.

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