[数学]上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期开学摸底检测试题(解析版)1

这是一份[数学]上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期开学摸底检测试题(解析版)1，共11页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分.）
1. 已知集合，，若，，则实数a的取值集合是_____.（选填“R”或“Q”或“N”或“Z”）
【答案】N
【解析】集合，，
时符合，有，
时，由，则有，
所以，有，
又，则实数a的取值集合是N.
2. 满足的集合共有________个.
【答案】4
【解析】因为，故中必有元素，可能有元素，
故满足条件的集合的个数为.
3. 若集合，且，则k的所有可能值的乘积为______．
【答案】0
【解析】因为，，
当时，方程无解，即，满足题意，
所以k的所有可能值的乘积为0.
4. 某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购_________张车票.
【答案】27
【解析】由题意可得韦恩图，如图所示，
参加数理化竞赛的学生有人，
所以需预购27张车票.
5. 已知集合均属于自然数集，x没有倒数，y既不是素数也不是合数，z是3的因数，若A中至多有一个奇数，则这样的集合的个数共有______个.
【答案】6
【解析】根据题意知，
而能符合题意的集合.
6. 已知集合，集合，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为_____.
【答案】
【解析】A是B的必要不充分条件，则.
当，时，即时，，满足题意；
当，即时，要使，则且等号不同时取到，
解得，又，故无解.
综上所述，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为.
7. 设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为_______.
【答案】
【解析】阴影部分表示，
若，真子集有个.
若，真子集有个.
所以真子集个数的最大值与最小值的差为.
8. 已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
【答案】或
【解析】由方程，
可得化为，
解得，
当时，此时，可得，不符合题意，舍去；
当时，即时，可得，此时，符合题意；
当且时，可得，解得，符合题意，
所以实数的值为或.
9. 设集合，若集合S的所有非空子集的元素之和是64，则_________.
【答案】8
【解析】易知S的非空子集为
，
，
则所有非空子集的元素之和为.
10. 若，则，就称A自倒集合，集合所有非空子集中，自倒集合的个数为_____________.
【答案】15
【解析】根据新定义，集合中的元素1和倒数等于本身，2和，3和互为倒数，
故满足条件的自倒集合与集合的非空子集的个数相同，
则其个数为.
11. 以集合的子集中选出两个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）、都至少属于其中一个集合；（2）对选出的两个子集，其中一个集合为另一个的子集，那么共有_________种不同的选法.
【答案】32
【解析】由题意，不妨设元素少为A，多的为B，则B必含有a，b，A为B的真子集，
若，A为B的真子集，则有种，
若，A为B的真子集，则有种，
若，A为B的真子集，则有种，
若，A为B的真子集，则有种，
共有3+7+7+15=32种.
12. 设集合是正整数集的子集，且中至少有两个元素，若集合满足以下三个条件：①是正整数的子集，且中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设，则集合的“耦合集”________.
【答案】
【解析】设中元素为，
若，则由题设有且，
而中只有4个运算，故不成立，故.
又因，且，
故，
且，
故，故且，，
故且，
故，
所以故，
所以，，
因为，故，而，
故，故即，
故.
二、选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分.）
13. 对于集合，若不成立，则下列理解正确的是（ ）
A. 集合B的任何一个元素都属于AB. 集合B的任何一个元素都不属于A
C. 集合B中至少有一个元素属于AD. 集合B中至少有一个元素不属于A
【答案】D
【解析】AC项，若，不成立，但，故AC错误；
B项，若，不成立，但，故B错误；
D项，，故不成立，即不成立，
由全称命题的否定可知，不成立，即：，
即集合B中至少有一个元素不属于A，故D正确.
故选：D.
14. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为（ ）
A. 任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
B. 任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
C. 至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和
D. 至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和
【答案】D
【解析】哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”．
故选：D.
15. 设分别为的三边的长，则（ ）
（1）关于的方程与没有公共实根；
（2）关于的方程与有公共实根.
A. 是（1）的充分非必要条件
B. 是（2）的充分非必要条件
C. 是（1）的必要非充分条件
D. 是（2）的充要条件
【答案】AD
【解析】对于BD，若关于的方程与有公共实根，
则设公共根为，则，故，
故（舍）或，
故，故，即，
反之，若，则，故，
且，
故方程与有公共实根，
综上，是（2）的充要条件，
对于AC，由BD的分析可得：
关于的方程与没有公共实根的充要条件为，
但推不出，可推出，
故是方程与没有公共实根的充分不必要条件.
故选：AD.
16. 已知非空集合满足以下两个条件：
（ⅰ），；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，
则有序集合对的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，
1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素，且，此时仅有一种结果，；
2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素，且，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，故有如下可能结果：
（1），；（2），；（3），；（4），．共计4种可能．
3、可以推测集合A中不可能有3个元素；
4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可．共计4种可能．
5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可．共1种可能．
综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10．
故选：A．
三、解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分.）
17. 若集合，，且，求：a的取值范围.
解：当时，若，即，解得，满足，则，
若，由，得，解得，因此；
当时，，由，得，因此，即，
所以当时，a的取值范围是；
当时，a的取值范围是.
18. 设集合．
（1）求证：所有奇数均属于集合A
（2）用反证法证明：10不是集合的元素．
解：（1）时，表示奇数，由，
所以所有奇数均属于集合A.
（2）假设10是集合的元素，则存在，
使得，
不妨设，则有或或 或，
四个方程组均无整数解，
所以假设不成立，10不是集合的元素．
19. 驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（单位：m）与汽车的车速v（单位: km/h）满足下列关系: （n为常数，且n∈N），做了两次刹车实验，有关数据如图所示，其中.
（1）求n的值；
（2）要使刹车距离不超过12.6m，则行驶的最大速度是多少?
（3）若该型号的汽车在某一限速为80km/h的路段发生了交通事故，交警进行现场勘查，测得该车的刹车距离超过了25.65m，请问该车是否超速行驶? 说明理由.
解：（1）由题意得化简得，解得
因为，所以.
（2）由于刹车距离不超过12.6m，即，所以，
因此，解得.
因为，所以，即行驶的最大速度为60km/h.
（3）由题意知，即，即，
解得或.
由于，，因此该车已经超速行驶.
20. 利用反证法，是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略，请利用它证明我们初中所学的真命题
（1）求证：是无理数
（2）①求证：三角形的内角和为180°
②求证：三角形至少有一个内角大于等于60°
解：（1）假设是有理数，那么它可以表示成（是互质的两个正整数），
所以，所以，即是3的倍数，所以是3的倍数，
所以可设，所以，所以，
所以是3的倍数，所以是3的倍数，
这与“是互质的两个正整数”相矛盾，所以假设不成立，故是无理数.
（2）①：假设三角形的内角和不等于，即，
过点作，则，
因为，所以，
即，这与是平角相矛盾，
故假设不成立，所以三角形的内角和等于.
②：假设三角形至少有一个内角大于等于不成立，即三角形三个内角都小于，
则可得，这与三角形的内角和等于相矛盾，
所以假设不成立，所以三角形至少有一个内角大于等于.
21. 已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质
（1）已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由;
（2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？
（3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明.
解：（1）①集合，不符合定义故不具有性质；
②集合具有性质，对应集合，；
③集合不是整数集所以不具有性质.
（2）由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个，
∵，∴
又∵时，，∴时候，，
∴集合的元素个数最多为个.
（3）（i）当集合具有性质时，
①对于，根据定义可知：，
又因为集合具有性质，则，
如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，
故和也是中不同的元素，
可见的元素个数不多于的元素个数，即，
②对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，
则，
如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，
故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，
即，
由①②可知；
（ii）当时，
假设集合不具有性质，当时，，
由定义可知，则，
，
此时明显，与已知矛盾，故假设不成立，
集合具有性质是的充分必要条件.