2024-2025学年河南省郑州四中九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省郑州四中九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x+2=0B. x+y2=−2C. ax2+2x−1=0D. x2=7x
2.如图，已知DE/​/BC，EF/​/AB，则下列比例式中错误的是( )
A. ADAB=AEACB. CECF=EAFBC. DEBC=ADBDD. EFAB=CFCB
3.学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°.同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏.若小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是( )
A. 13B. 16C. 25D. 19
4.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD=25°，则∠DHO的度数是( )
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
5.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为( )
A. 1：2
B. 2：2
C. 1：4
D. 2：4
6.如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是( )
A. ∠A=∠CBD
B. ∠CBA=∠CDB
C. AB⋅CD=BD⋅BC
D. BC2=AC⋅CD
7.如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB=10，BC=6，则A′N的长度为( )
A. 10−3 3B. 4C. 10−2 3D. 3
8.操场上有一根竖直的旗杆AB，它的一部分影子(BC)落在水平地面上，另一部分影子(CD)落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m，地面的影长为2.8m，同时测得一根高为2m的竹竿OM的影长是ON=1.4m，请根据以上信息，则旗杆的高度是( )
A. 4.5m
B. 104.7m
C. 5.2m
D. 5.7m
9.如图，正方形ABCD的边长为2 2，P为对角线BD上动点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 2
B. 4
C. 2
D. 1
10.如图，▱OABC的顶点O(0,0)，A(1,2)，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为( )
A. (2 3,0)B. (2 5,0)C. (2 3+1,0)D. (2 5+1,0)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若mn=25，则m−2n2m的值为______．
12.初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为______．
13.若线段MN的长为1，P是MN的黄金分割点，则MP的长为______．
14.如图，点A(0,−2)，B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是______．
15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，点P，Q分别为AB，BC上一个动点，将△PQB沿PQ折叠得到△PQD，点B的对应点是点D，若点D始终在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解下列一元二次方程：
(1)x2−x−2=0；
(2)2x(x+3)=x−3．
17.(本小题8分)
某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程(依次用A，B，C，D表示)，为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动(必选且只选一种)”的问卷调查.根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．

(1)请根据统计图将下面的信息补充完整：
①参加问卷调查的学生共有______人；
②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为______；
(2)若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？
(3)现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程mx2+2(m+1)x+m−1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=8，求m的值．
19.(本小题8分)
如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上．已知纸板的两条边EF=30cm，DE=40cm，延长DF交AB于点C，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=12m，求树高AB．
20.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE/​/AC，且DE=12AC，连接AE，CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的边长为4，∠BCD=60°，求AE的长．
21.(本小题8分)
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
22.(本小题8分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)？
答：______；(直接填空，不用说理)
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
23.(本小题8分)
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边上的动点、DE/​/BC交AC于点E．
问题发现：(1)如图2，当∠BAC=45°时，ECDB=______；EC与BD所在直线相交所成的锐角等于______．
类比探究：(2)当∠BAC=30°时，把△ADE绕点A逆时针旋转到如图3的位置时，请求出ECDB的值以及EC与BD所在直线相交所成的锐角．
拓展应用：(3)若AC=4，BC=2，点D为AB边的中点，△ADE绕点A逆时针旋转的过程中，当点B、D、E三点在同一直线上时，请直接写出线段EC的长度．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：3x+2=0是一元一次方程，故不符合题意；
x+y2=−2是二元二次方程，故不符合题意；
ax2+2x−1=0是二元三次方程，故不符合题意；
x2=7x是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
根据一元二次方程的定义进行判断即可．
本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线分线段成比例性质和相似三角形的判定与性质；由已知DE/​/BC，EF/​/AB，得到相似三角形，根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定与性质一一判定即可．
【解答】
解：∵DE/​/BC，∴ADAB=AEAC，故A正确；∵EF//AB，∴CEAE=CFFB，即CECF=EAFB，故B正确；
∵DE/​/BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB，故C错误；
∵EF//AB，∴△EFC∽△ABC，∴EFAB=CFCB，故D正确；
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是39=13，
故选：A．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，然后由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD，
∴∠ABD=90°−∠BAO=65°，
∵DH⊥AB，BO=DO，
∴∠BDH=90°−∠ABD=25°，HO=12BD=DO，
∴∠DHO=∠BDH=25°，故选：A．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。
5.【答案】C
【解析】解：设小方格的边长为1，
由图可知，AB/​/CD，
∴△ABO∽△CDO，且AB= 2，CD=2 2，
∴S△ABO：S△CDO=(AB：CD)2，
∴S△ABO：S△CDO=( 2：2 2)2=1：4，
故选：C．
△AOB∽△COD，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．
本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠C是公共角，
∴再加上∠A=∠CBD或∠CBA=∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B不符合题意，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意．
∵∠C=∠C，
若再添加CDBC=BCAC，即BC2=AC⋅CD，可证明△CAB∽△CBD，故D不符合题意．
故选：C．
根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由折叠的性质得，AM=DM=12AD，∠DMA′=∠AMA′=90°，AD=A′D，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠A=∠B=90°，
∵BC=6，
∴AD=6，
∴DM=3，
在Rt△DMA′中，由勾股定理得A′M= A′D2−DM2= 62−32=3 3，
∵∠A=∠B=∠AMA′=90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=10，
∴A′N=MN−A′M=10−3 3，
故选：A．
由折叠的性质得，AM=DM=12AD，∠DMA′=∠AMA′=90°，AD=A′D，由勾股定理求出A′M的长，再证四边形ABNM是矩形，即可求出A′N的长．
本题考查了矩形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
由题意可知，CD=1.2m，BC=DE=2.8m，OM=2m，ON=1.4m，
则OMON=AEDE，
∴21.4=AB−1.22.8，
解得AB=5.2，
∴旗杆的高度是5.2m，
故选：C．
过点D作DE⊥AB于点E，根据同一时刻，物高与影长成正比得出方程求出AB的长即可．
本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：连接PC，如下图所示：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为2 2，
∴BC=2 2，∠BCD=∠ABC=90°，∠BCD=45°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC，
要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可，
∵点P在BD上，
根据“垂线段最短”可知：当PC⊥BD时，PC为最短，
当PC⊥BD时，由于∠BCD=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，即：PB=PC，
在Rt△PBC中，PB=PC，BC=2 2，
由勾股定理得：PB2+PC2=BC2，
∴2PC2=(2 2)2，
∴PC=2(舍去负值)，
即PC的最小值为2，
∴EF的最小值为2．
故选：A．
连接PC，先证四边形PECF是矩形得EF=PC，据此得要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可，根据“垂线段最短”可知：当PC⊥BD时，PC为最短，然后Rt△PBC中由勾股定理求出PC即可得到EF的最小值．
本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，垂直线段的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，难点是根据“垂线段最短”确定当PC⊥BD时，线段PC为最短．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质，坐标与图形的性质，锐角三角函数，证明∠DOA=∠D′CO是解题的关键．
延长D′A′，由题意D′A′的延长线经过点C，利用点A的坐标可求得线段AD，OD，求出tan∠DOA=ADOD=12，再证明∠DOA=∠D′CO，推出tan∠D′CO=OD′D′C=12，得出D′C=4，再利用勾股定理求出OC即可．
【解答】
解：延长D′A′，由题意D′A′的延长线经过点C，如图，
∵A(1,2)，
∴AD=1，OD=2，
∴在Rt△ADO中，tan∠DOA=ADOD=12，
根据旋转的性质可知：∠OD′C=90°，OD′=OD=2，
∴∠D′OC+∠D′CO=90°，
又∵∠DOA+∠D′OC=90°，
∴∠DOA=∠D′CO，
∴tan∠D′CO=OD′D′C=12，
∴D′C=4，
∴OC= OD′2+D′C2=2 5，
∴C(2 5,0)．
故选：B．
11.【答案】−2
【解析】解：设m=2k，n=5k，
则原式=2k−10k4k
=−8k4k
=−2．
故答案为：−2．
设m=2k，n=5k，代入化简即可求出答案．
本题主要考查比例的性质，设m=2k，n=5k是解题的关键．
12.【答案】x(x−1)=1892
【解析】解：根据题意得，
x(x−1)=1892，
故答案为：x(x−1)=1892．
设全班有x人．根据互赠卡片一张，则x人共赠卡片x(x−1)张，列方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这是一道典型的双循环问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
13.【答案】3− 52或 5−12
【解析】解：当MP>NP时，MP= 5−12，
当MPNP和MP0，
∴x=−b± b2−4ac2a=−5± 12×2，
∴x1=−32，x2=−1．
【解析】(1)先利用十字相乘法进行因式分解，再将原方程转化为两个一元一次方程并求解即可；
(2)将原方程整理成一般式，再利用十字相乘法或公式法进行求解即可．
本题考查了利用因式分解法或公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及一元二次方程的公式法是解题的关键．
17.【答案】240 36°
【解析】解：(1)①参加问卷调查的学生人数为84÷35%=240(人)．
故答案为：240．
②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为360°×24240=36°．
故答案为：36°．
(2)扇形统计图中“D”对应的百分比为24240×100%=10%，
∴扇形统计图中“C”对应的百分比为1−25%−35%−10%=30%，
2000×30%=600(人)，
∴该校全体学生中最喜欢C课程的学生约有600人．
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有2种，
∴“恰好甲和丁同学被选到”的概率为212=16．
(1)①用选择B的学生人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的学生人数．
②用360°乘以本次调查中选择D的学生所占的百分比，即可得出答案．
(2)根据用样本估计总体，用2000乘以本次调查中选择C的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)由题知，
[2(m+1)]2−4×m×(m−1)>0，
解得m>−13．
又m≠0，
所以m的取值范围是m>−13且m≠0．
(2)因为该方程有两个实数根分别为x1、x2，
所以x1+x2=−2m+2m，x1x2=m−1m．
又x12+x22=8，
即(x1+x2)2−2x1x2=8，
所以(−2m+2m)2−2×m−1m=8，
解得m1=2,m2=−13，
经检验m1=2,m2=−13是原方程的解．
又m>−13且m≠0，
所以m=2．
【解析】(1)利用根的判别式即可解决问题．
(2)利用根与系数的关系即可解决问题．
本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及整体思想的巧妙运用是解题的关键．
19.【答案】解：EF=30cm=0.3m，DE=40cm=0.4m，
∵∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴EFBC=DEDC，
即0.3BC=0.412，
解得BC=9(m)，
∴树高AB=BC+AC=9+1.5=10.5(m)．
【解析】根据相似三角形的性质得到EFBC=DEDC，据此可得BC的长，再根据线段的和差即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得△DEF∽△DCB．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，
∴∠DOC=90°，
∵DE/​/AC，DE=12AC，
∴DE=OC，DE//OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD=4，OB=OD，AO=OC=12AC，
∵∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=4，
∴OD=OB=2，
∴OC= CD2−OD2= 42−22=2 3，
∴AC=2OC=4 3，
由(1)得：四边形OCED为矩形，
∴CE=OD=2，∠OCE=90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= AC2+CE2= (4 3)2+22=2 13，
即AE的长为2 13．
【解析】(1)先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC=90°，即可得出结论；
(2)证△BCD是等边三角形，得BD=BC=4，再由勾股定理得OC，求得AC=2OC，然后由矩形的性质得CE=OD=2，∠OCE=90°，最后由勾股定理即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150(1+x)2=216，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
(2)设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：(y−30)[600−10(y−40)]=10000，
整理，得：y2−130y+4000=0，
解得：y1=80(不合题意，舍去)，y2=50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【解析】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接GH，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD//BC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
由(1)可知：G，H分别是AD，BC中点，
∴AG=12AD，BH=12BC，
∴AG=BH，
又∵AG//BH，∠B=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=6，
根据题意可知：AE=CF=t，
当四边形EGFH为矩形时，EF=GH，
当E、F两点相遇前，EF=10−2t，根据EF=GH可得10−2t=6，解得t=2；
当E、F两点相遇后EF=2t−10，根据EF=GH可得2t−10=6，解得t=8；
综上所述，t的值为2或8；
(3)解：连接AH、CG，GH，GH与AC相交于点O，如图所示：
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
又∵AE=CF，
∴OE+AE=OF+CF，
∴OA=OC，
又∵GH⊥EF，
∴GH垂直平分线段AC，
∴AH=CH，
设AH=CH=x，则BH=8−x，
由勾股定理得：AB2+BH2=AH2，
即62+(8−x)2=x2，
解得，x=254，
∴CH=254，
∵点H是从BC的中点出发，
∴t=254−4÷1=94
∴t为94时，四边形EGFH为菱形．
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
(1)首先证明△AEG≌△CFH，根据全等三角形的性质得到GE=HF，证明△EFG≌△FEH得到GF=HE，根据平行四边形的判定定理，即可得出结论；
(2)根据“对角线相等的平行四边形是矩形”得出EF=GH时，四边形EGFH是矩形，用含t的代数式表示EF的长，分为E、F两点相遇前和相遇后两种情况，列出关于t的方程，解方程，即可求解；
(3)连接AH、CG，GH，GH与AC相交于点O，首先根据菱形的性质得出GH垂直平分线段AC，得出AH=CH，设AH=CH=x，则BH=8−x，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x的值，根据点H是从BC的中点出发，求出t的值即可．
【解答】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠GAE=∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG=DG=12AD，BH=CH=12BC，
∴AG=CH，
根据题意可知AE=CF，
在△AEG和△CFH中，
AG=CH∠GAE=∠HCFAE=CF,
∴△AEG≌△CFH(SAS)，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴180°−∠AEG=180°−∠CFH，即∠GEF=∠HFE，
在△EFG和△FEH中，
EG=FH∠GEF=∠HFEEF=FE,
∴△EFG≌△FEH(SAS)，
∴GF=HE，
又∵GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为EGFH是平行四边形；
(2)见答案；
(3)见答案．
23.【答案】 22 45°
【解析】解：(1)如图2中，
∵∠A=45°，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴CA=CB，
∴BA= 2AC，
∵DE/​/BC，
∴∠AED=∠C=90°，∠ADE=∠B=45°，
∴∠A=∠EDA=45°，
∴AD= 2AE，
∴ECBC=AC−AEAB−AD=AC−AE 2AC− 2AE= 22，
故答案为： 22，45°．
(2)由图1可知：△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，∠DAE=∠BAC，
∴ADAE=ABAC，∠DAB=∠CAE，
∴△ACE∽△ABD，
∴ECDB=ACAB=cs30°= 32，∠ACE=∠ABD，
如图3中，延长BD交AC于F，交CE的延长线于G．
∵∠CFG=∠AFB，
∴∠CGB=∠CAB=30°，
即CE与BD所在的直线相交所成的锐角为30°．
(3)如图4−1中，当B，D，E共线在AB的上方时，
在Rt△ACB中，∵AC=4，BC=2，∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 42+22=2 5，
∵△ADE∽△ABC，AD=12AB
∴AEAC=DEBC=ADAB=12，
∴AE=2，DE=2，AD= 5，
∵∠AEB=90°，
∴BE= AB2−AE2= (2 5)2−22=4，
∴BD=BE−DE=3，
∵ABAC=ADAE，∠EAC=∠DAB，
∴△EAC∽△DAB，
∴ECDB=AEAD=2 55，
∴EC=2 55×3=6 55
如图4−2中，当B，D，E共线在AB的下方时，
同法可得BD=5，EC=2 55BD=2 5
综上所述，CE的值为6 55或2 5．
(1)利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
(2)证明△ACE∽△ABD，可得ECDB=ACAB=cs30°= 32，∠ACE=∠ABD，如图3中，延长BD交AC于F，交CE的延长线于G.利用“8字型”证明∠CGB=∠CAB=30°即可．
(3)分两种情形：如图4−1中，当B，D，E共线在AB的上方时，证明△EAC∽△DAB，推出ECDB=AEAD=2 55，解直角三角形求出BD即可解决问题．如图4−2中，当B，D，E共线在AB的下方时，同法可求．
本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论思想思考问题，属于中考压轴题．