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数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质教学课件ppt
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这是一份数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质教学课件ppt，共58页。PPT课件主要包含了整体感知，探究建构，新知生成，a＞b，a＝b，a＜b，应用迁移，9≤v112，a＝2等内容，欢迎下载使用。
[学习目标] 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(数学建模)2．会用比较法比较两实数的大小．(逻辑推理)
[讨论交流] 预习教材P37－P39，并思考以下问题：问题1．如何比较两个实数的大小？问题2．如何表述比较实数a，b大小的基本事实？[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 用不等式(组)表示不等关系探究问题1 如图是高速公路的指示牌，其含义是什么？
提示：左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100．
[新知生成]在现实世界和日常生活中，存在着大量相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题．
【教用·微提醒】 常见的文字语言与符号语言之间的转换
[典例讲评] 1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，靠墙的一边长为x m．(1)若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等关系；(2)若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系．
反思领悟 利用不等式(组)表示不等关系的注意点(1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间的不等关系不可以用不等式(组)来表示．(2)在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
[学以致用] 1．(多选)某工艺厂用A，B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A，B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表：
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z(x，y，z∈N*)块．上述问题中不等关系表示正确的为( )A．5x＋3y＋10z≥55B．5x＋3y＋10z≤55C．12x＋6y＋13z≤125D．12x＋6y＋13z≥125
BC [因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以5x＋3y＋10z≤55，因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以12x＋6y＋13z≤125．故选BC．]
探究2 基本事实探究问题2 数轴上的点与实数是一一对应的，你能借助数轴刻画两个实数a，b的大小关系吗？
提示：如图，设a，b在数轴上所对应的点分别是A，B．当点A在点B的左边时，ab．
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以将其转化为比较它们的差与0的大小．
【教用·微提醒】 利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．
【链接·教材例题】例1 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．
分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．
解：因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0，所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．
[典例讲评] 2．已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．由x≤1，得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1．
[母题探究] 把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．
反思领悟 作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．
[学以致用] 2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
探究3 重要不等式探究问题3 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的．设直角三角形的直角边长为a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用a，b如何表示这种关系？
[新知生成]一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2__2ab，当且仅当______时，等号成立．
探究问题4 你能证明探究问题3中得到的不等式吗？
提示：证明：利用完全平方公式，得a2＋b2－2ab＝(a－b)2．因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋b2－2ab≥0．因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
[典例讲评] 3．已知a>0，b>0，证明：a3＋b3≥ab2＋a2b．
[证明] a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)．∵a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab，∴a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0．∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，故a3＋b3≥ab2＋a2b．
[学以致用] 3．已知x，y∈R，且x2＋y2＝16，证明：xy≤8．
[证明] 由重要不等式可知x2＋y2≥2xy(当且仅当x＝y时取等号)，即16≥2xy，所以xy≤8．
1．(多选)下面列出的不等式中，正确的是( )A．a不是负数，可表示成a≥0B．x不大于3，可表示成x<3C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0
AC [a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0．]
2．若x∈R，y∈R，则( )A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
A [因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A．]
3．中国“神舟十七号”载人飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s，表示为_____________．
7.9≤v<11.2 [“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为7.9≤v<11.2．]
4．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________．
a＝2 [令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2．]
1．知识链：(1)用不等式(组)表示不等关系；(2)作差法比较大小；(3)重要不等式．2．方法链：作差法．3．警示牌：在用不等式表示实际问题中变量不等关系时，注意不要忽略实际意义．
回顾本节知识，自主完成以下问题：1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？
[提示] a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a
[提示] 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形方法，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定差是大于0、等于0、还是小于0(不确定的要分情况讨论)；第四步：下结论．
课时分层作业(十) 不等关系与不等式
一、选择题1．(源自人教B版教材)平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下列不等式中，x能表示平流层高度的是( )A．|x＋10|<50 B．|x－10|<50C．|x＋30|<20 D．|x－30|<20
D [由题意可知，10
C [由长、宽、高之和不超过130 cm得a＋b＋c≤130，由体积不超过73 500 cm3得abc≤73 500．故选C．]
4．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是( )A．P>Q B．P≥QC．PA [∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，且a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，∴P>Q．故选A．]
5．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是( )A．256136 C．136
> [因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0．]
7．设x，y∈R，则x2＋y2－1________2x－4y－6(填“>”“<”“≥”或“≤”)．
≥ [因为x2＋y2－1－(2x－4y－6)＝x2－2x＋y2＋4y＋5＝(x－1)2＋(y＋2)2≥0，所以x2＋y2－1≥2x－4y－6．]
8．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值．
2 ±1 [根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0，即a＝b＝±1时等号成立．]
10．已知0NC．M＝N D．无法确定
B [∵00，∴M>N，故选B．]
11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：各自先饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是( )
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
A [由题图可知体积缩小一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4，故选A．]
13．如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为_____________．
15．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
[学习目标] 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(数学建模)2．会用比较法比较两实数的大小．(逻辑推理)
[讨论交流] 预习教材P37－P39，并思考以下问题：问题1．如何比较两个实数的大小？问题2．如何表述比较实数a，b大小的基本事实？[自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 用不等式(组)表示不等关系探究问题1 如图是高速公路的指示牌，其含义是什么？
提示：左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100．
[新知生成]在现实世界和日常生活中，存在着大量相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题．
【教用·微提醒】 常见的文字语言与符号语言之间的转换
[典例讲评] 1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，靠墙的一边长为x m．(1)若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等关系；(2)若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系．
反思领悟 利用不等式(组)表示不等关系的注意点(1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间的不等关系不可以用不等式(组)来表示．(2)在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
[学以致用] 1．(多选)某工艺厂用A，B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A，B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表：
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z(x，y，z∈N*)块．上述问题中不等关系表示正确的为( )A．5x＋3y＋10z≥55B．5x＋3y＋10z≤55C．12x＋6y＋13z≤125D．12x＋6y＋13z≥125
BC [因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以5x＋3y＋10z≤55，因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以12x＋6y＋13z≤125．故选BC．]
探究2 基本事实探究问题2 数轴上的点与实数是一一对应的，你能借助数轴刻画两个实数a，b的大小关系吗？
提示：如图，设a，b在数轴上所对应的点分别是A，B．当点A在点B的左边时，a
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以将其转化为比较它们的差与0的大小．
【教用·微提醒】 利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．
【链接·教材例题】例1 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．
分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．
解：因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0，所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．
[典例讲评] 2．已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．由x≤1，得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1．
[母题探究] 把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．
反思领悟 作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．
[学以致用] 2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
探究3 重要不等式探究问题3 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的．设直角三角形的直角边长为a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用a，b如何表示这种关系？
[新知生成]一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2__2ab，当且仅当______时，等号成立．
探究问题4 你能证明探究问题3中得到的不等式吗？
提示：证明：利用完全平方公式，得a2＋b2－2ab＝(a－b)2．因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋b2－2ab≥0．因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
[典例讲评] 3．已知a>0，b>0，证明：a3＋b3≥ab2＋a2b．
[证明] a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)．∵a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab，∴a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0．∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，故a3＋b3≥ab2＋a2b．
[学以致用] 3．已知x，y∈R，且x2＋y2＝16，证明：xy≤8．
[证明] 由重要不等式可知x2＋y2≥2xy(当且仅当x＝y时取等号)，即16≥2xy，所以xy≤8．
1．(多选)下面列出的不等式中，正确的是( )A．a不是负数，可表示成a≥0B．x不大于3，可表示成x<3C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0
AC [a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0．]
2．若x∈R，y∈R，则( )A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
A [因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A．]
3．中国“神舟十七号”载人飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s，表示为_____________．
7.9≤v<11.2 [“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为7.9≤v<11.2．]
4．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________．
a＝2 [令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2．]
1．知识链：(1)用不等式(组)表示不等关系；(2)作差法比较大小；(3)重要不等式．2．方法链：作差法．3．警示牌：在用不等式表示实际问题中变量不等关系时，注意不要忽略实际意义．
回顾本节知识，自主完成以下问题：1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？
[提示] a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a
[提示] 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形方法，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定差是大于0、等于0、还是小于0(不确定的要分情况讨论)；第四步：下结论．
课时分层作业(十) 不等关系与不等式
一、选择题1．(源自人教B版教材)平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下列不等式中，x能表示平流层高度的是( )A．|x＋10|<50 B．|x－10|<50C．|x＋30|<20 D．|x－30|<20
D [由题意可知，10
C [由长、宽、高之和不超过130 cm得a＋b＋c≤130，由体积不超过73 500 cm3得abc≤73 500．故选C．]
4．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是( )A．P>Q B．P≥QC．PA [∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，且a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，∴P>Q．故选A．]
5．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是( )A．256
> [因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0．]
7．设x，y∈R，则x2＋y2－1________2x－4y－6(填“>”“<”“≥”或“≤”)．
≥ [因为x2＋y2－1－(2x－4y－6)＝x2－2x＋y2＋4y＋5＝(x－1)2＋(y＋2)2≥0，所以x2＋y2－1≥2x－4y－6．]
8．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值．
2 ±1 [根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0，即a＝b＝±1时等号成立．]
10．已知0
B [∵0
11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：各自先饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是( )
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
A [由题图可知体积缩小一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4，故选A．]
13．如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为_____________．
15．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
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