浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训04期中选填压轴题(第1-4章)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训04期中选填压轴题(第1-4章)(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
2．若，，则a与b的大小关系是（ ）
A．a>bB．abB．a0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②正确；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③错误；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．
9．下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程两根为-1和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．
【解析】①若方程两根为-1和2，
则，则，即；故此选项符合题意；
②∵a2﹣5a+5＝0，
∴a＝＞1或a＝＞1，
∴1﹣a＜0，
∴；此选项符合题意；
③∵，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；
④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，
那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键．
10．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；
③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．
【解析】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即
∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴
∴ ，故③错误；
④整理得：
∴
∵整数解
∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；
综上所述，结论正确的有②；
故选：A．
【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．
11．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
【解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
12．有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．
①，，是三个连续偶数，②，是两个连续奇数（），③．
该小组成员分别得到一个结论：
甲：取，5个正整数不满足上述3个条件；
乙：取，5个正整数满足上述3个条件；
丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；
丁：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是10p（p为正整数）；
以上结论正确的个数有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据每个结论，分别利用题中的3个条件，表示出，，，，，5个数，通过各自的特点与要求进行求解．
【解析】解：甲：若，
由条件①可得，，，
由条件②可得，，
由条件③可得，，
解得，
而为奇数，不符合条件，
故甲结论正确；
乙：若，
由条件①可得，，，
由条件②可得，，
由条件③可得，，
解得，
为奇数，符合题意，
故乙结论正确；
丙：若是4的倍数，设是正整数），
条件①可得，，，
条件②可得，，
由条件③可得，，
解得，
可知为奇数，符合题意，
故丙结论正确；
丁：设是正整数），
条件①可得，，，
条件②可得，，，是奇数，
条件③可得，，
得，且m为奇数
，
，，的平均数为，
，的平均数为，
，，的平均数与，的平均数之和可表示为，
是正整数且为奇数，
是10的倍数，
故丁结论正确．
故选：D．
【点睛】本题考查列代数式、奇偶数的定义、解一元一次方程，解题的关键是分别表示出5个符合结论和题干的数，然后利用5个数的特点进行求解．
13．已知a、b均为正整数，则数据a、b、10、11、11、12的众数和中位数可能分别是（ ）
A．10、10B．11、11C．10、11.5D．12、10.5
【答案】B
【分析】根据众数和中位数的定义即可解答.
【解析】分情况讨论：
①当a=b=10时，这组数据的众数是10，则其中位数是10.5
②当a=b=12时，这组数据的众数是12，其中位数是11.5
③当a=b=11时，这组数据的众数是11，其中位数是11
④当a≠b≠11时，这组数据的众数是11，其中位数要分类讨论，无法确定
故选B
【点睛】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数就是出现次数最多的数，中位数就是这组数据按照从小到大或从大到小排列后，偶数个数就是中间两个数的平均数，奇数个数就是中间那一个数据．
14．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，点E是的中点，连接、，若，下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由四边形是平行四边形，得到，，点E是的中点，推出是等边三角形，证得，求出，故①正确；
由，可求出的长，进而可求出，故②正确；
易证为的中位线，可得，又因为，所以可得，故③正确；
根据等底同高的三角形面积相等可得，再由③可知，进而可得，故④错误．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，点E是的中点，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵O为中点，E为中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及中位线性质定理的运用．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，M是AC中点，CN＝2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若，则下面结论正确的是（ ）
①∠CAH＝∠ABC；②；③AO＝3NO；④．
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】A
【分析】①证明∠ABC与∠CAH都是∠BAH的余角，便可判断①的正误；②设AN的中点为E，连接EM，根据中位线的性质可得，，证明ME=BN，再证明△OBN≌△OME，得OE=ON，进而得AN=4ON，再由等高的三角形的面积比等于底边之比求得△ABO的面积，便可判断②的正误；③由②得OE=ON，AE=EN得AO与ON的关系，便可判断③的正误；④过点C作CF⊥BC，与BM的延长线交于点F，证明△AMI≌△CMF，得AI=CF，当H不是BC的中点时，，此时，便可判断④的正误．
【解析】解：①∵∠BAC=90°，AH⊥BC，
∴∠ABC+∠BAH=∠BAH+∠CAH=90°，
∴∠CAH=∠ABC，故①正确；
②设AN的中点为E，连接EM，
∵M是AC中点，E是AN的中点，
∴ME是△ACN的中位线，
∴，
∵CN=2BN，
∴ME=BN，
∵，
∴∠OBN=∠OME，
∵∠BON=∠MOE，
∴△OBN≌△OME（AAS），
∴ON=OE，
∵AE=EN，
∴AN=4ON，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③∵AE=EN，OE=ON，
∴AO=3NO，故③正确；
④过点C作CF⊥BC，与BM的延长线交于点F，
又∵AH⊥BC，
∴
∴∠AIM=∠F，
∵M是AC的中点，
∴AM=CM，
∵∠AMI=∠CMF，
∴△AMI≌△CMF（AAS），
∴AI=CF，
∵，
当H不是BC的中点时，，
∴，故④错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，三角形的面积，关键在于构造全等三角形．
16．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①AD平分∠MAC；②；③若，则，④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可判断①；根据，利用三角形的面积公式即可判断②；先根据定理证出，，，再根据全等三角形的性质可得，，，设，则，然后根据角的和差可得，最后根据直角三角形的性质即可判断③；先根据三角形全等的判定证出，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段和差、等量代换即可判断④．
【解析】解：如图，过点作于点，
分别平分，且，
，
，
又点在的内部，
平分，结论①正确；
，
，结论②正确；
在和中，，
，
，
同理可证：，，
，，
设，则，
，
，
，结论③正确；
，
，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
由上已证：，
，
，结论④正确；
综上，结论中正确的个数为4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、四边形的内角和等知识点，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题关键．
17．如图，的对角线交于点O，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质结合，得出，，，，进而得出，，然后根据角平分线的定义，得出，再利用等量代换，得出，进而得出为等边三角形，再由等边三角形的性质结合题意，得出，再根据等边对等角，得出，然后再利用邻补角互补，得出的度数，进而得出，再利用两直线平行，内错角相等，得出，即可判断①；然后根据角的关系，得出，再根据直角三角形的边的关系，得出，再根据等量代换，得出，即可判断②；再根据平行四边形面积公式，得出，再根据等量代换，得出，即可判断③；再根据，，得出是的中位线，然后根据三角形中位线平行于第三边且等于它的一半，得出，EO∥CD，可得出，然后再结合题意，推出，然后再根据题意，得出，再根据代入法，得出，即可判断④；再根据三角形中位线定理，得出，再根据，得出，即可判断⑤．
【解析】解：∵四边形为平行四边形，，
∴，，，，BC=AD，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∴，故③正确；
∵，，
∴是的中位线，
∴，EO∥CD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上可得：①、③、④、⑤正确．
故选：D .
【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线与三角形的面积问题、等知识，熟练掌握相关性质是解本题的关键．
18．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（ ）
A．②④B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据易得DF=CD，由平行四边形的性质AD∥BC即可对①作出判断；延长EF，交CD延长线于M，可证明△AEF≌△DMF，可得EF=FM，由直角三角形斜边上中线的性质即可对②作出判断；由△AEF≌△DMF可得这两个三角形的面积相等，再由MC＞BE易得S△BEC＜2S△EFC ，从而③是错误的；设∠FEC=x，由已知及三角形内角和可分别计算出∠DFE及∠AEF，从而可判断④正确与否．
【解析】①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，
∴∠ECF=∠CEF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM ，
∵MC＞BE，，
∴S△BEC＜2S△EFC ，
故S△BEC=2S△CEF ， 故③错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的面积等知识，构造辅助线证明三角形全等是本题的关键和难点．
19．在中，对角线，相交于点O，且，，过点C作于点E，交延长线于点N，交于点F，连接，点M为的中点，连接．则下列说法正确的个数为（ ）
①若，则②；③；④与全等的三角形有3个（不包含）；⑤．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】在Rt△CDE中，EM是斜边上的中线可得EM的长，再根据三角形内角和定理以及等量代换，即可得到∠OBC=∠ACN；根据△ADO≌△ACN，△AFN≌△AFO，可得∠DCN=∠AFO；根据△ADO≌△ACN，△AFN≌△AFO，即可得到NF=FO，进而得到CF+OF=DO=BO．
【解析】解：∵CE⊥DE，M是CD的中点，
∴EM=CD，
又∵AC⊥AD，
∴CD=4，
∴EM=2，故①正确；
∵∠DAC=∠CED=90°，∠AOD=∠EOC，
∴∠ADO=∠ACN，
又∵AD//BC
∴∠ADO=∠CBO，
∴∠OBC=∠ACN，故②正确；
∵∠DAO=∠CAN=90°，AD=AC，∠ADO=∠ACN，
∴△ADO≌△ACN，
∴AN=AO，
又∵∠FAN=∠ADC=45°=∠BAC，AF=AF，
∴△AFN≌△AFO，
∴∠AFN=∠AFO，
又∵AB//CD，
∴∠DCN=∠BFC=∠AFN
∴∠DCN=∠AFO，故③正确；
与△ADO全等的三角形有△ACN和△CBO，有2个，故④错误；
∵△ADO≌△ACN，
∴CN=DO，即CF+NF=DO，
又∵△AFN≌△AFO，
∴NF=FO，
∴CF+OF=DO=BO，故⑤正确
综上所述，正确的有①②③⑤．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点,掌握全等三角形的判定与性质成为解答本题的关键．
20．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝，OE∥AB，根据勾股定理计算OC和OD的长，可得BD的长；③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断．
【解析】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝1，
∵BC＝2，
∴EC＝1，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC＋∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝AB＝，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°＋30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝，
∴BD＝2OD＝，
故②错误；
③由②知：∠BAC＝90°，
∴S▱ABCD＝AB•AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC＝AD，即：，
故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键系．
21．如图，在□ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，分别作点C关于AB，AD的对称点G，H，连接CG，CH，AG，AH，GH．如果AB＝30，∠EAF＝30°，□ABCD的面积为270，那么下列说法不正确的是（ ）
A．CE＝CFB．∠GAH＝60°
C．GH＝AF+CFD．△GCH的面积是□ABCD的面积的一半
【答案】C
【分析】利用平行四边形的面积运算出的长，利用平行四边形的性质和角的等量代换证出∠B＝∠D＝30°，再利用含角的直角三角形的性质进行边的代换即可得到CE＝CF，即可判断；连接AC，利用对称的性质和通过角的等量代换可得到∠GAH＝360°﹣∠BAC﹣∠GAB﹣∠DAC﹣∠DAH＝360°﹣2∠BAD＝60°，即可判断；证出△AGH是等边三角形，再利用三角形的定义得到AF+CF＞GH，即可判断；利用勾股定理求出的长，运算出△GHC的面积即可判断．
【解析】∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠BAE＝90°﹣∠B，∠DAF＝90°﹣∠D，
∵▱ABCD的面积为270，
∴AB×AF＝30AF＝270，
∴AF＝9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B+90°﹣∠B+90°﹣∠D+30°＝180°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴AE＝AB＝15，BE＝AE＝15，AD＝2AF＝18，DF＝AF＝27，
∴EC＝BC﹣BE＝3，CF＝DC﹣DF＝30﹣27＝3，
∴CE＝CF，故选项A不符合题意；
如图，连接AC，
∵点C关于AB，AD的对称点分别是点G，H，
∴AC＝AG＝AH，∠BAC＝∠BAG，∠DAC＝∠DAH，
∴∠GAH＝360°﹣∠BAC﹣∠GAB﹣∠DAC﹣∠DAH＝360°﹣2∠BAD＝60°，故选项B不符合题意，
∵∠GAH＝60°，AG＝AH＝AC，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝AC，
在△AFC中，AF+CF＞AC，
∴AF+CF＞GH，故选项C符合题意，
∵AE＝15，CE＝3，
∴AC＝＝＝6，
∴△GHC的面积＝×（6）2+9×3+3×15＝135＝S▱ABCD，故选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题为平行四边形综合题型，其中涉及到了平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，三角形的定义，勾股定理等知识点，灵活运用所学的性质是解题的关键．
二、填空题
22．设，，当t为___________时，代数式．
【答案】2
【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可．
【解析】，
，

，解得（舍去），．
故答案为：2
【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有与的形式，是本题的解题关键．
23．温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值_____________．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为________．
【答案】 112 3
【分析】温故知新：由，可得，即，根据整数k只有一个得，即可得n的最大值为112；
阅读理解：．
【解析】解：温故知新：
∵，
∴，
∴，即，
∵整数k只有一个，
∴，
解得：，
当时，或均符合，与整数k只有一个矛盾，舍去；
当时，符合，与整数k只有一个相符；
此时n的最大值为112；
故答案为：112；
阅读理解：
，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式和二次根式的变形求值，解决本题的关键是读懂题意，灵活运用分式的基本性质．
24．已知，则的值为___________．
【答案】
【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值．
25．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为________．
【答案】
【分析】先利用得到，代入得到化为，然后解方程得，从而得到的值．
【解析】解：，
,
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程，也有的通过因式分解来解，通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
26．当，是正实数，且满足时，就称点为“完美点”，已知点与点都在直线上，点，是“完美点”，且点在线段上，若，，则点的坐标是_________．
【答案】或
【分析】由变式为，可知，即“完美点”B在直线上，根据点可得直线：，联立，可得，由直线：，设M点坐标为：，根据，，可得，解得：，即M点坐标为：，，结合点在线段上，可得M点坐标为：，根据点C是“完美点”，可得同理点C在直线上，即设C点坐标为：，结合，M点坐标为：，可得，解得，，或者，问题随之得解．
【解析】∵且m，n是正实数，
∴，即，
∴，
即，，
则有，
即“完美点”B在直线上，
∵点在直线上，
∴，
∴直线：，
∵“完美点”B在直线上，
∴由，解得，
∴，
由直线：，设M点坐标为：，
∵，，
∴，
解得：，
即M点坐标为：，或，
∵点在线段上，
∴舍去，M点坐标为：，
∵点C是“完美点”，
∴同理点C在直线上，
即设C点坐标为：，
∵，M点坐标为：，
∴，
解得，，或者，
∴C点坐标为：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理的应用，解一元二次方程等知识，熟练运用勾股定理求解两点之间的距离，是本题的关键．
27．对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是______．
【答案】或
【分析】求出一元二次方程的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【解析】∵，
∴，
∴，或，
∴，，或，，
当，时根据，
∴，
当，时根据，
∴，
故答案为：或
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．
28．已知在长方形纸片中，，，现将两个边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为；若时，则_________；若再在边长为大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图3），当时，则图3中阴影部分的面积_________．
【答案】 3 6.5##
【分析】先将，，用用a，b表示，再分别根据与，计算即可．
【解析】解：在图1中，根据题意得：，
∴，
同理在图2中，，
∴
∴，
又∵，
∴．
又∵，即，
将代入方程中得：
解得：（舍去），
∴．
在图3中，
∴
故答案为：3；．
【点睛】本题考查列代数式，整式的混合运算，解一元二次方程，掌握相关知识和技巧是解题的关键．本题难度较大，所列式子较复杂，需要较强的阅读理解能力和对数学思想的运用能力．
29．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________．
【答案】
【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解．
【解析】由根与系数的关系得，，
所以，
则，
则
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．
30．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
【答案】②③④
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解析】①解方程，得，
，
方程不是“倍根方程”．故①不正确；
②是“倍根方程”，且，
因此或．
当时，，
当时，，
，故②正确；
③，
，
，
，
因此是“倍根方程”，故③正确；
④方程的根为，
若，则，
即，
，
，
，
，
，
若，则，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
31．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①a+c=0，方程ax2+bx+c=0，有两个不相等的实数；②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立，其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①④
【分析】①根据根的判别式即可作出判断；
②方程有两个不相等的实数根，则，当c=0时，cx2+bx+a=0为一元一次方程；
③若c是ax2+bx+c=0的一个根，则代入即可作出判断；
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则方程有实根，判别式，结合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判断．
【解析】①根据公式法解一元二次方程可知，若a+c=0，且a≠0，∴a，c异号，∴，故此时有两个不相等的实数根，故选项①正确；
②若c=0，b≠0，则，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，方程cx2+bx+a=0仅有一个解，故选项②错误；
③将x=c代入方程ax2+bx+c=0，可得，即，解得c=0或ac+b+1=0，因此ac+b+c=0不一定成立，故选项③错误；
④∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，此时
，故选项④正确
故答案为①④．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系．
32．已知数据，，，的平均数为m，方差为，则数据，，，的平均数为__________，方差为__________，标准差为__________．
【答案】 ks
【分析】根据平均数、方差、标准差的定义列式计算即可．
【解析】数据，，，的平均数为m，方差为，
，，
，
数据，，，的平均数为，
数据，，，的方差为，标准差为．
故答案为；；ks．
【点睛】本题考查了平均数、方差、标准差，熟记平均数、方差、标准差的定义是解题的关键
．
33．如图，点是内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是，给出如下结论中正确的是____________．
①；②如果，则；③若，则；④如果P点在对角线上，则；⑤，则P点一定在对角线上．
【答案】①④⑤
【分析】根据平行四边形的性质得，，设点到，，，的距离分别是，，，，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出，判断④；最后根据已证关系式，得出，，判断⑤，综合即可得出答案．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
设点到，，，的距离分别是，，，，
则，，，．
∵，，
∴，
∴，故①正确；
根据只能判断，不能判断，即不能判断，故②错误；
根据，能得出，不能得出，即不能判断，故③错误；
∵点在对角线上，
∴，，
∴，故④正确；
由和，得，，
∴点一定在对角线在上，故⑤正确，
综上所述，正确的结论是①④⑤．
故答案为：①④⑤
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键．
34．如图，在平行四边形中，，是锐角，于点E，F是的中点，连接．若，则长为__________．

【答案】
【分析】设，通过作辅助线构造平行四边形，可用x表示出，最后分别在和中利用勾股定理得到用x表示的式子，建立方程后，求出x，进而即可求出的长．
【解析】解：设，则在中有．
如图，延长至点G使，连接，
∵F是的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴．
又∵，
∴三点共线，
∴．
∵，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍），
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题综合考查平行四边形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用等内容，要求学生能够通过作辅助线构造平行四边形或等腰三角形，能利用勾股定理建立方程求出线段的长，本题综合性较强，运用了数形结合思想，考查了学生的综合分析能力．
35．如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为 ____________
【答案】45
【分析】连接，作点D关于直线的对成点T，连接、、．首先证明B、A、T共线，求出，证明四边形EGCD是平行四边形，推出，进而得到，根据，即可解决问题．
【解析】解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．
∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，
∴，，，
∵，
∴，
∵D、T关于对称，
∴，，
∴，
∵，
∴B、A、T共线，
∴，
∵， ，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则的最小值为45．
故答案为：45．
【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会运用转化的思想思考问题．
36．如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是______________．
【答案】
【分析】先延长交于点，得出，再判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形的面积，最后根据，判断的最大值即可．
【解析】延长交于点，
∵在正和正中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积，
又∵，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
即四边形面积的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，作辅助线构造平行四边形的高线是解答本题的关键．
37．如图，在ABCD中，AD=8 ，E，F分别为CD，AB上的动点，DE=BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E，G，H，F恰好在同一直线上，∠GAF=45°，且GH=11，则AB的长是_____．
【答案】29
【分析】过G点作GM⊥AF于点M，设DE＝BF＝x，由勾股定理求得AM与GM，再证明AF＝EF，用x表示AF，FG，FM，由勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可求得AB．
【解析】解：过G点作GM⊥AF于点M，
∴∠AMG=90°
∵分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．
AG＝AD＝，DE=EG，FH=BF，
∵∠GAF＝45°，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解之：AM=GM=8
∵DE＝BF，
∴设DE＝BF＝x，
∴EG＝DE＝BF＝FH＝x，FG=x+11，
∵GH＝11，
∴EF＝2x＋11，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DCAB，
∴∠AED＝∠BAE，
∵∠AED＝∠AEG，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF＝2x＋11，
∴AB＝AF＋BF＝3x＋11，MF＝AF−AM＝2x＋3，
在Rt△FMG中，，
即，
解之：（舍去），
∴AB=3×6+11=29，
故答案为：29．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求解一元二次方程，折叠的性质，关键在于构造直角三角形，运用勾股定理列出方程，运用方程的思想解决几何问题．
38．如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是边AD上且AE＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、DG，则BG－DG的最大值为________．
【答案】1
【分析】如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN， GN， 可证明△AEN是等边三角形，∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，从而可证明△AEF≌△NEG得到∠ENG=∠A=60°，进而推出∠GNB=60°，则点G的运动轨迹是射线NG，过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG，先求出，证明四边形ANTD是平行四边形，得到NT=AD=3，DT=AN=2，然后证明△MKT≌△BKN得到MK=BK，MT=BN=3，MD=1，NT垂直平分BM，进而推出当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM．
【解析】解：如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN， GN，
由旋转的性质可知EF=EG，∠FEG=60°，
∵AE=2DE，AD=3
∴AE=2，DE=1，
∵AE=AN，
∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，
∴∠AEF=∠NEG，
∵EA=EN，EF=EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG，
∴∠BKN=90°，
∵∠BNK=60°，
∴∠NBK=30°，
∵AB=5，AN=AE=2，
∴BN=3，
∴，
∵∠BNK=∠A=60°，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴四边形ANTD是平行四边形，∠M=∠KBN，
∴NT=AD=3，DT=AN=2，
∴，
∴NK=TK，
又∵∠MKT=∠BKN，
∴△MKT≌△BKN（AAS），
∴MK=BK，MT=BN=3，
∴MD=1，NT垂直平分BM，
∴BG=MG，
∵MG-DG≤MD，
∴BG-DG≤MD，
∴当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM，
∴MG-DG的最大值为1，
故答案为1．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形确定点G的运动轨迹是解题的关键．