浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训06期中解答题(浙江精选归纳39道，第1-4章)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训06期中解答题(浙江精选归纳39道，第1-4章)(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023春·浙江·八年级阶段练习）计算：
(1)计算；
(2)计算．
2．（2023春·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
3．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）先化简，再求值：，其中
5．（2023春·浙江·八年级阶段练习）选择适当的方法解下列方程：
(1)．
(2)．
(3)．
6．（2023春·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）选择适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
7．（2023春·浙江·八年级期中）若a，b，c都是实数，且，c为的小数部分，求的值．
8．（2021春·浙江金华·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)_____________的解答过程是错误的；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________；
(3)先化简，再求值： ，其中．
9．（2021春·浙江绍兴·八年级校考期中）已知：，求的值．
10．（2021春·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样．
（1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？
（2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由．
11．（2023春·浙江·八年级期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)当a取满足条件的最小整数值时，求方程的根．
12．（2023春·浙江·八年级期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当时，求m的值．
13．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
14．（2022春·浙江金华·八年级统考期中）某商场在去年底以每件元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件元的售价销售了件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了件．
(1)求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
(2)从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价元，月销售量增加件，当每件降价多少元时，四月份可获利元？
15．（2021春·浙江杭州·八年级期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)证明方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值．
16．（2022春·浙江丽水·八年级校联考期中）已知关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0．
(1)请说明该方程实数根的个数情况；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求m的值．
17．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
18．（2023春·浙江·八年级期中）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出，的值．
②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．
19．（2023春·浙江·八年级期中）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
20．（2022秋·浙江·八年级期中）如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．
21．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
22．（2023春·浙江·八年级期中）2022年3月23日下午，“天宫课堂”再次开讲．神舟十三号飞行乘组三名航天员又一次给全国的青少年带来了精彩的太空实验，传播了载人航天知识和文化．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取了40名学生进行了测试，并对成绩（满分10分，成绩取整数，7分以上（包括7分）为合格，9分以上（包括9分）为优秀）进行了整理，绘制了条形统计图如下：
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
(2)男生说他们的合格率、优秀率均高于女生，所以他们的成绩好于女生，但女生不同意男生的说法，认为女生的成绩好于男生，请给出两条支持女生的理由；
(3)后面又追加了男女共5名同学（其中女生多于男生）的成绩，这5名同学成绩均为优秀，下面是关于追加后女生成绩信息的统计：
请求出追加后女生的人数，并说明理由．
23．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）八（1）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲、乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，将成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图的统计图．
根据统计图，回答下列问题：
(1)求第三次模拟竞赛成绩的优秀率和乙组在第四次模拟竞赛中成绩优秀的人数．
(2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数，方差，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？
24．（2021春·浙江绍兴·八年级校联考期中）我市某中学举办“网络安全知识竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示：
(1)根据图示求出a，b的值；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
25．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在四边形中，E，F分别为，上的点，且，连接，，若四边形是平行四边形．求证：四边形是平行四边形．
26．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．
27．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接．
(1)求证：．
(2)若，且，，求的长．
28．（2020春·浙江·八年级期中）在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，与交于点O．
(1)试说明与互相平分；
(2)若，，求的长．
29．（2021春·浙江·八年级期中）如图，在平行四边形中，，，，
(1)平行四边形的面积为________．
(2)若是边的中点，是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
30．（2022春·浙江温州·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
(1)试说明AF与DE互相平分；
(2)若AB＝8，BC＝12，求DE的长．
31．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，中，，于点，，．
(1)求，的长；
(2)若点是射线上的一个动点，作于点，连接．当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长．
32．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）如图，中，，于点O，，．
(1)求，的长；
(2)若点是射线上的一个动点，作于点，连接．
①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长；
②设直线交直线于点，连接，，若，则的长为______（直接写出结果）．
33．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H，∠DCE的平分线交AE于G．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)如图1，若AB＝2AD＝10，H为CD的中点，HE＝6，求AC的长；
(3)如图2，若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE，求∠CAE的度数．
34．（2021春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10cm，过点A作AD//BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2cm，连结PE，设点P的运动时间为t秒．
(1)①AP=_______，CE=________；(用含t的式子表示)
②若PE⊥BC，求BQ的长；
(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
35．（2023春·浙江·八年级期中）已知□ABCD，∠BAD＝30°，AD⊥BD于点D，且AB＝6．点P是射线BA上一动点，过点P作PE⊥BD，交BD所在直线于点E．点Q是射线CD上一动点，且CQ＝2AP．设BP的长度为m．
(1)当点P在边AB上时，
①请用含m的代数式表示DE；
②当m＝3.6时，求证：QE=QD；
(2)在点P的整个运动过程中，
①当m为何值时，△DEQ为直角三角形？
②若以QD，QE为邻边构造□DFEQ．当点F恰好落在□ABCD的边界上时，直接写出m的值．
36．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．

(1)求证：．
(2)若为等腰三角形时，求的值．
(3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______．
37．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
(1)若为中点，求证：．
(2)若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
(3)在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
38．（2021春·浙江金华·八年级校考期中）实验与探究：
(1)在图1，图2，图3中，已知的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1，图2，图3中的顶点C的坐标，它们分别是_____________，_____________，_____________；
(2)在图4中，给出的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（点C的坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
(3)通过对图1，图2，图3，图4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论处于平面直角坐标系中哪个位置，当其顶点C的坐标为（如图4）时，四个顶点的横坐标a，c，m，e之间都满足等量关系：_____________，纵坐标b，d，n，f之间都满足等量关系：_____________（不必证明）．
39．（2021春·浙江·八年级期末）如图，四边形中，，点E为延长线上一点，连接，交于H．的平分线交于G．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图1，若，H为的中点，，求的长；
（3）如图2，若
①，求的度数；
②_____（用含有n的式子表示）
平均分
方差
中位数
合格率
优秀率
男生
6.52
2.9
56%
16%
女生
2.8
53%
13%
众数
中位数
追加前
8
追加后
9
7.5
平均分（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
初中部
a
85
b
高中部
85
80
100
160
特训06 期中解答题（浙江精选归纳39道，第1-4章）
一、解答题
1．（2023春·浙江·八年级阶段练习）计算：
(1)计算；
(2)计算．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的加减和乘法乘方的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．（2023春·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简各二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘法法则计算，然后化简成最简二次根式，再合并即可；
（3）先化简各二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式、平方差公式计算即可．
【解析】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的计算，掌握二次根式的性质，乘法法则以及合并同类二次根式法则是解题的关键．
3．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）先化为最简二次根式同时变除法为乘法，再按乘法分配律运算即可；
（2）先化为最简二次根式同时去括号，再合并同类二次根式即可；
（3）先利用乘法分配律运算，再进行二次根式混合运算即可；
（4）先利用平方差公式运算，再进行二次根式混合运算即可；
（5）利用完全平方公式计算；
（6）分子和分母同乘以分母的有理化因式，再进行运算．
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式和分母有理化，熟练掌握二次根式的各个运算法则是解本题的关键．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）先化简，再求值：，其中
【答案】；
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【解析】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．
5．（2023春·浙江·八年级阶段练习）选择适当的方法解下列方程：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
【解析】（1）解：，
去括号得，
移项得，，
，
解得：，；
（2）解：，
，
，
解得：，；
（3）解：，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
6．（2023春·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）选择适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)
(5)，
【分析】（1）先移项，再利用因式分解法求解即可；
（2）先移项，再利用因式分解法求解即可；
（3）先把系数化为1，再直接开平方求解即可；
（4）先移项，再利用完全平方公式求解即可；
（5）先移项，去括号，合并同类项，再利用因式分解法求解即可．
【解析】（1）解：，
移项得：，
提取公因式得：，
，，
，；
（2）解：，
移项得：，
因式分解得：，
，，
，；
（3）解：，
系数化为1得：，
开平方得：，
，，
，；
（4）解：
移项得：，
因式分解得：，
，
；
（5）解：，
移项得：，
去括号得：，
化简得：，
因式分解得：，
，，
，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．
7．（2023春·浙江·八年级期中）若a，b，c都是实数，且，c为的小数部分，求的值．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件求出a值，从而得到b值，再估算出的范围，从而得到小数部分，即为c值，代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的小数部分为，即，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，无理数的估算，利用被开方数是非负数得出a的值是解题关键．
8．（2021春·浙江金华·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)_____________的解答过程是错误的；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________；
(3)先化简，再求值： ，其中．
【答案】(1)小亮
(2)（或）
(3)
【分析】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的；
（2）错误原因是：二次根式的性质的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可．
【解析】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的，
故答案为：小亮；
（2）二次根式的性质为：（或），
故答案为：（或）；
（3）解：原式，
，
，
原式
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，要熟练掌握二次根式的性质：．
9．（2021春·浙江绍兴·八年级校考期中）已知：，求的值．
【答案】
【分析】直接把代入要求的代数式中进行求解即可．
【解析】解：当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和二次根式的混合计算法则．
10．（2021春·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样．
（1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？
（2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）长为8cm，宽为5cm；（2）能，cm2
【分析】（1）设长方形的长为，宽为，列出方程组，解之即可；
（2）设底面正方形边长为，分别计算前后单个纸盒的面积，作差比较即可．
【解析】解：（1）设长方形的长为，宽为，且；
由题意可得：，
解得：或，舍去）；
长方形的长为，宽为．
（2）设底面正方形边长为，则有，
，（舍去），
此时单个纸盒的面积为，
原来纸盒的面积为，
，
，
能节约包装盘的纸张面积，且每个牛奶盘可节约．
【点睛】本题考查二次根式的应用和剪纸的相关内容，解题的关键在于熟记长方体的体积公式并准确运算．
11．（2023春·浙江·八年级期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)当a取满足条件的最小整数值时，求方程的根．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）先结合（1）求出得到原方程为，解方程即可得到答案．
【解析】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵a取满足条件的最小整数值，
∴，
∴原方程为，
∴，
解得，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
12．（2023春·浙江·八年级期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用“”即可求解；
（2）先对左边进行变形，得到两根之和与两根之差，再根据根与系数的关系和根的判别式进行求解即可．
【解析】（1）根据题意得，
解得；
（2）根据题意得，
∵，
∴，
∴或，
即或，
解得或，
而，
∴m的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，涉及到了因式分解等知识，解题关键是理解题意，正确求解．
13．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）先计算△，化简得到，易得，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
【解析】（1）解：证明：
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
（2），
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
14．（2022春·浙江金华·八年级统考期中）某商场在去年底以每件元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件元的售价销售了件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了件．
(1)求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
(2)从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价元，月销售量增加件，当每件降价多少元时，四月份可获利元？
【答案】(1)
(2)每件降价10元，四月份可获利10400元
【分析】（1）由题意可得：一月份的销售量为：320件；设二月份到三月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：；三月份的销售量为：，又知三月份的销售量为：500件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润求出即可．
【解析】（1）设二、三月份销售量的平均月增长率为x，根据题意得：
解得：（不合题意，舍去）．
答：二、三月份销售量的平均月增长率为．
（2）解：设每件降价y元，根据题意得：
整理得：
解得：（不合，舍去）．
答：每件降价10元，四月份可获利10400元
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
15．（2021春·浙江杭州·八年级期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)证明方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴
=
=4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）及根与系数的关系可得：，
∵，
∴，
代入得：，整理得：，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
16．（2022春·浙江丽水·八年级校联考期中）已知关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0．
(1)请说明该方程实数根的个数情况；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求m的值．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)m=3或-3
【分析】（1）根据根的判别式先求出Δ的值，再判断即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2m-2，x1•x2=m2-2m，代入计算即可求出答案．
【解析】（1）解：∵a=1，b=−(2m−2)，c= m2−2m，
∴ =2-4(m2-2m)=4m2-8m+4-4m2+8m=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵(x1+1)⋅(x2+1)=8，
整理得x1x2+(x1+x2)+1=8，
∵x1+x2=2m-2，x1x2=m2-2m，
∴m2-2m+2m-2+1=8，
∴m2=9，
∴m=3或m=-3．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法．
17．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）见解析；（3）1
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a=0，两边同除r2得+1＝0，即可证得x=是方程②的根；
（3）根据题意b=0，根据根与系数的关系得到m+n=0，s+t=0，从而得到m=-n，s=-t，即可得到ms=nt，进而求得=1．
【解析】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，．
18．（2023春·浙江·八年级期中）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出，的值．
②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）1；（2）①，；②，证明见解析
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出，．由，可得，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；
（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，进而可求出，；②由一元二次方程的解的定义可得出，两边都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后结合题意即可得出，即．
【解析】解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根，
∴，，
∴，
整理，得：，
解得：，．
当时，，
∴此时原方程没有实数根，
∴不符合题意；
当时，，
∴此时原方程有两个不相等的实数根，
∴符合题意，
∴的值为1；
（2）①∵，
∴．
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，；
②猜想：．
证明：根据一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①，
同理可得：②，
由①+②，得：，
∵，，，
∴，即．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
19．（2023春·浙江·八年级期中）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆
(2)促销时每袋应降价3元
【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；
（2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
【解析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，
依题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
答：总共生产了袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价元，
当刚好10天全部卖完时，
依题意得，
整理得：
，
∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
∴依题意得，
解得
∵要促销
∴
即促销时每袋应降价3元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．
20．（2022秋·浙江·八年级期中）如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．
【答案】(1)
(2)秒
(3)6.6秒或6秒或5.5秒
【分析】（1）根据题意可求得AP和BQ，则可求得BP，由勾股定理即可得出结论；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出AQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解析】（1）当时，则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即PQ的长为；
（2）由题意可知，
∵，
∴，
当为等腰三角形时，则有，
∴，
解得，
∴出发秒后能形成等腰三角形；
（3）在中，由勾股定理可求得，
当点Q在AC上时，，
∴，
∵为等腰三角形，
∴有和三种情况，
①当时，
如图1，过B作，
则，
在中，求得，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得或（舍去）；
②当时，则，
解得；
③当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识，解决本题的关键是用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
21．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121
(2)mn＝1
(3)121，242，363，484
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【解析】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．
22．（2023春·浙江·八年级期中）2022年3月23日下午，“天宫课堂”再次开讲．神舟十三号飞行乘组三名航天员又一次给全国的青少年带来了精彩的太空实验，传播了载人航天知识和文化．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取了40名学生进行了测试，并对成绩（满分10分，成绩取整数，7分以上（包括7分）为合格，9分以上（包括9分）为优秀）进行了整理，绘制了条形统计图如下：
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
(2)男生说他们的合格率、优秀率均高于女生，所以他们的成绩好于女生，但女生不同意男生的说法，认为女生的成绩好于男生，请给出两条支持女生的理由；
(3)后面又追加了男女共5名同学（其中女生多于男生）的成绩，这5名同学成绩均为优秀，下面是关于追加后女生成绩信息的统计：
请求出追加后女生的人数，并说明理由．
【答案】(1)表格见详解
(2)理由见详解
(3)追加后女生的人数为18人，理由见详解
【分析】（1）根据条形统计图可进行求解；
（2）根据（1）中的数据可进行求解；
（3）根据题意及（1）中的数据可进行求解．
【解析】（1）解：由条形统计图可得：女生的平均分为；
男生的人数为25人，则中位数为第13位，即为7，女生人数为15人，则中位数为第8位，即为7；
所以补充成绩统计分析表如下：
（2）解：由（1）可知：女生的平均分比男生高，并且女生的方差比男生的方差小，说明女生的整体波动较小，所以女生的成绩比男生好；
（3）解：设追加女生的人数为x人，由题意可知追加的女生成绩均为9分，且中位数为7.5，说明x必为奇数，且中位数为第9、10两人的平均数，由此可知，
∴追加后女生的人数为18人．
【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数及方差，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差是解题的关键．
23．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）八（1）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲、乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，将成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图的统计图．
根据统计图，回答下列问题：
(1)求第三次模拟竞赛成绩的优秀率和乙组在第四次模拟竞赛中成绩优秀的人数．
(2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数，方差，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？
【答案】(1)，9
(2)甲组绩优秀的人数较稳定
【分析】（1）根据计算总人数人，根据计算优秀总人数，依次计算即可．
（2）计算乙组优秀人数的平均数，方差，比较判断即可．
【解析】（1）根据题意，得参赛总人数为：人，
∴第三次模拟竞赛成绩的优秀率为；
∵在第四次模拟竞赛中成绩优秀的人数为人，甲组有8人，
∴乙组在第四次模拟竞赛中成绩优秀的人数为：17-8=9（人）．
（2）∵乙组在模拟竞赛中成绩优秀的人数的平均数为，方差，
∴，
∴甲组绩优秀的人数较稳定．
【点睛】本题考查了样本容量的计算，平均数，方差，熟练掌握平均数，方差的计算，并灵活运用决策是解题的关键．
24．（2021春·浙江绍兴·八年级校联考期中）我市某中学举办“网络安全知识竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示：
(1)根据图示求出a，b的值；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】(1)85，85
(2)由表格知初中部和高中部的平均分相同，但是初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好
(3)70，初中代表队比较稳定
【分析】(1)根据平均数的计算公式和众数的定义分别进行求解即可；
(2)在平均数相同的情况下，中位数高的那个对的决赛成绩较好；
(3)首先求出各个队的方差，根据方差的意义得出答案．
【解析】（1）解：平均分，众数；
（2）由表格知初中部和高中部的平均分相同，但是初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好．
（3），
∵，
∴初中代表队比较稳定．
【点睛】此题考查方差的意义，方差反映一组数据的波动大小，方差越大说明数据波动越大．
25．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在四边形中，E，F分别为，上的点，且，连接，，若四边形是平行四边形．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【分析】由平行四边形的性质得，，则，再证，即可得出结论．
【解析】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出是解题的关键．
26．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得，，根据是的中点，，即可判定四边形是平行四边形；
（2）过点作于点，根据四边形是平行四边形，得，，又根据四边形是平行四边形，，；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，求出，的长度，即可求解．
【解析】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵F是AD的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
（2）∵四边形是平行四边形
∴，
又∵四边形是平行四边形
∴，
∴
过点作于点
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．
27．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接．
(1)求证：．
(2)若，且，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】（1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明．
（2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）证明：∵平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别为的中点，
∴，，
∴，
在三角形和中，
，
．
（2）根据题意得
∴，
∵平行四边形，
，
∴为等腰三角形，
∵点F是的中点，
∴，
在中，，，
，
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键．
28．（2020春·浙江·八年级期中）在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，与交于点O．
(1)试说明与互相平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合已知条件推知四边形是平行四边形，则该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求的长度．
【解析】（1）∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴且．
又，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）∵在中，，，，
∴由勾股定理得，
又由（1）知，，且，
∴．
∴在中，，，，
∴由勾股定理得 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理．理解三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解决问题的关键．
29．（2021春·浙江·八年级期中）如图，在平行四边形中，，，，
(1)平行四边形的面积为________．
(2)若是边的中点，是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作，交延长线于，根据平行四边形的性质得出，，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而求得四边形的面积；
（2）连接，过点作于，交的延长线于点，根据轴对称的性质，以及两点直线线段最短可得到，当折线与线段重合时，线段的长度最短，根据勾股定理即可求解．
【解析】（1）解：过点作，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形的面积；
故答案为：；
（2）连接，过点作于，交的延长线于点；
四边形为平行四边形，
，，
点为的中点，，
，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
由翻折变换的性质得：，
，
，当折线与线段重合时，线段的长度最短，
此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称求线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
30．（2022春·浙江温州·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
(1)试说明AF与DE互相平分；
(2)若AB＝8，BC＝12，求DE的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度，即可求得DE的长．
（1）
证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EFAB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴ADEF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴，
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
31．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，中，，于点，，．
(1)求，的长；
(2)若点是射线上的一个动点，作于点，连接．当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长．
【答案】(1)5，
(2)2或
【分析】（1）根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长；
（2）分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题．
【解析】（1）解：，，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
；
（2）分两种情况：
当时，过作于，如图1所示：
，
，
，
是的中位线，
；
当时，如图2所示：
在和中，
，
，
，
；
综上所述，的长为2或．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、分类讨论等知识；正确作出辅助线是等腰三角形是解题的关键．
32．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）如图，中，，于点O，，．
(1)求，的长；
(2)若点是射线上的一个动点，作于点，连接．
①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长；
②设直线交直线于点，连接，，若，则的长为______（直接写出结果）．
【答案】(1)，；
(2)①6或；②或
【分析】（1）由题意可得，再由勾股定理求得、即可；
（2）①分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；
②分两种情况：
当在线段上时，如图3，过作于，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得，可得，证明是等腰三角形，得，最后利用勾股定理可得结论；
当在线段的延长线上时，过作于，同计算可得结论．
【解析】（1）解：由题意可得：，
由勾股定理可得，，
即，
（2）①分两种情况：
当时，过作于，如图1所示：
，
，
，
是的中位线，
；
当时，如图2所示：
在和中，
，
，
，
；
综上所述，的长为6或；
②分两种情况：
当在线段上时，过作于，如图3所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
；
当在线段的延长线上时，过作于，如图4所示：
同理得：，
，
，
同理得：是等腰三角形，
，
，
中，；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明是等腰三角形是解题的关键．
33．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H，∠DCE的平分线交AE于G．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)如图1，若AB＝2AD＝10，H为CD的中点，HE＝6，求AC的长；
(3)如图2，若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE，求∠CAE的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)AC＝
(3)∠CAE＝36°
【分析】（1）根据平行线的性质得∠B＝∠DCE，推出∠D＝∠DCE，得出ADBC，由平行四边形的判定可得结论；
（2）由点H是CD的中点可得△ADH≌△ECH（AAS），则CH＝CE＝AD＝5，由等腰三角形三角形合一的性质可得出HG＝GE＝3，进而求出AG的长，由勾股定理可得出CG的长，进而求出AC的长；
（3）设∠CAG＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y，△AHD中，x+2y+2z＝180°，△ACG中，x+2x+y+z＝180°，相减可得结论；
【解析】（1）证明：∵ABCD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠DCE，
∴ADBC；
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝2AD＝10，点H是CD的中点，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝10，DH＝CH＝5，
∵ADBC，
∴∠D＝∠DCE，∠DAE＝∠E，
∴△ADH≌△ECH（AAS），
∴AH＝HE＝6，AD＝CE＝5，
∴CH＝CE＝5，
∵CG平分∠DCE，
∴CG⊥HE，HG＝GE＝3，
∴AG＝9，
在Rt△CGE中，GE＝3，CE＝5，
由勾股定理可得CG＝4，
∴AC＝＝；
（3）解：设∠CAG＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y，
则∠EAD＝y，∠D＝∠DCE＝2z，∠AGC＝2∠CAE＝2x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD＝∠BAH＝x+y，∠ACD＝∠BAC＝y，
△AHD中，x+2y+2z＝180°①，
△ACG中，x+2x+y+z＝180°，
即3x+y+z＝180°，
∴6x+2y+2z＝360°②，
②﹣①得：5x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠CAE＝36°．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
34．（2021春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10cm，过点A作AD//BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2cm，连结PE，设点P的运动时间为t秒．
(1)①AP=_______，CE=________；(用含t的式子表示)
②若PE⊥BC，求BQ的长；
(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①t，2t-2；②
(2)存在，t=4秒或12秒
【分析】（1）①由运动知AP=t，CQ=2t，即可得出结论；②作AM⊥BC于M，由已知条件得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BM=CM，由直角三角形斜边上的中线性质得出AM=BC=5，证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN=AP=t，CE=NE=5-t，由CE=CQ-QE=2t-2得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况，由平行四边形的判定得出AP=BE，得出方程，解方程即可．
【解析】（1）解：①由运动知，AP=t，CQ=2t，
∵在线段QC上取点E，使得QE=2cm，
∴CE=CQ-EQ=2t-2，
故答案为t，2t-2；
②作AM⊥BC于M，如图所示，
∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠C=45°=∠B，
∴AB=AC，
∴BM=CM，
∴AM＝BC＝5cm，
∵ADBC，
∴∠PAC=∠C=45°，
∵PE⊥BC，
∴PE=AM=5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，
∵CE=CQ-QE=2t-2，
∴5-t=2t-2，
∴t=，
∴BQ=BC-CQ=10-2×=；
（2）存在，t=4或12s；理由如下：当点Q、E在线段BC上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP=BE，
∴t=10-2t+2，
解得：t=4，
当点Q、E在线段CB的延长线上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP=BE，
t=2t-2-10，
解得：t=12，
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4秒或12秒．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
35．（2023春·浙江·八年级期中）已知□ABCD，∠BAD＝30°，AD⊥BD于点D，且AB＝6．点P是射线BA上一动点，过点P作PE⊥BD，交BD所在直线于点E．点Q是射线CD上一动点，且CQ＝2AP．设BP的长度为m．
(1)当点P在边AB上时，
①请用含m的代数式表示DE；
②当m＝3.6时，求证：QE=QD；
(2)在点P的整个运动过程中，
①当m为何值时，△DEQ为直角三角形？
②若以QD，QE为邻边构造□DFEQ．当点F恰好落在□ABCD的边界上时，直接写出m的值．
【答案】(1)①；②见解析
(2)①；②
【分析】（1）①利用△BPE是含30°的直角三角形求出BE，再用即可求；②求出QD，可得DE=QD，从而得出△DEQ是等边三角形，从而得证．
（2）①P在边AB上和当P在边AB的延长线上两种情况讨论，分别求出m的值；②分点F在AD和BC两种情况讨论，利用含30°的直角三角形的性质可得结果．
【解析】（1）解：①∵PE⊥BD，AD⊥BD
∴PEAD
又∵∠BAD＝30°
∴∠BPE=30°
∴．
∵AB=6，AD⊥BD，∠BAD＝30°
∴，
∴．
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，ABCD
∵AB=6，BP=m，
∴AP=6-m，
∵CQ＝2AP
∴CQ＝12-2m，
∴
∴当m＝3.6，，
∴，
∵AD⊥BD，∠BAD＝30°，
∴∠ABD=60°，
又∵ABCD
∴∠EDQ=∠ABD=60°，
∴△DEQ是等边三角形，
∴QE=QD．
（2）①（i）当P在边AB上时，点Q在CD上即3