浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训09特殊平行四边形解答证明、动态几何压轴题(原卷版+解析)

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1．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点、．
(1)求证：；
(2)判断与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
2．已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．
(1)求证：．
(2)如图2，在延长线上，且，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，点是的中点，求的长．
3．如图①，已知正方形中，，分别是边，上的点（点，不与端点重合），且，，交于点，过点作交于点．
(1)求证：．
(2)若，试求线段的长．
(3)如图②，连接并延长交于点，若点是的中点，试求的值．
4．如图，在矩形中，平分交于E，连接，．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G，
①猜想的度数，并说明理由；
②若，求的值．
5．已知点是正方形对角线上一点，与交于点，，垂足为，直线与交于点．
(1)如图1，当在线段上时，求证；
(2)如图2，当在线段上时，的延长线交于点，若，求证：①四边形为菱形；②；
(3)如图3，若，在点从到的运动过程中，的最小值为______．
6．已知正方形，为边上一点不与、重合），过作，且，连接．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接交于，求证：；
（3）如图2，当，，则 （直接写出结果）
7．如图，已知正方形的边长为，连接、交于点，平分交于点
（1）求的长
（2）过点作，交于点，求的长
（3）过点作，交于点，求的长
8．在□ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，交AB的延长线于点F，以BE，BF为邻边作．
(1)如图1，求证：是菱形；
(2)如图2，若，连接BG，交EF于点O，连接OA，OC，AC，求OA的长；
(3)如图3，若，连接AC，AG，求∠GAC的度数．
9．如图正方形，点、、分别在、、上，与相交于点．
(1)如图，当，
求证：；
平移图中线段础，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图，求证：；
(2)如图，当，边长，，则的长为______（直接写出结果）．
10．如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM、AN分别交BD于点P、Q，连接CQ、MQ．且．
（1）求证：
（2）求证：
（3）如图2，连接MN，当，，求的面积
图1 图2
11．如图1，已知菱形的边长为12，， 点、分别是边、上的动点(不与端点重合)，且．
（1）求证: 是等边三角形；
（2）点、在运动过程中，四边形的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；
（3）如图2，连接分别与边、交于、，当时，求证：．
12．已知在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，M、N 分别是边 BC，CD 上的两个动点，∠MAN＝60°，AM、AN 分别交 BD 于 E、F 两点．
（1）如图 1，求证：CM＋CN＝BC；
（2）如图 2，过点 E 作 EG∥AN 交 DC 延长线于点 G，求证：EG＝EA；
（3）如图 3，若 AB＝1，∠AED＝45°，直接写出 EF 的长．
（4）如图 3，若 AB＝1，直接写出BE＋AE的最小值
13．四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE．
（1）如图1，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）如图2，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC；
（3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED＝2∠AEB，AF＝4，AB＝4，则CE＝ ．（直接写出结果）
14．在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中．
(1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值．
(2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形为菱形，求的值；
②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________．
③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________．
15．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，连接AP，BE．
（1）若点E在BC上时，如图1，线段AP和BE之间的数量关系是 ；
（2）若将图1中的△CEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的基础上延长AP，BE交于F点，若DP＝PC＝2，求BF的长．
16．已知正方形ABCD，∠EAF＝45°，将∠EAF绕顶点A旋转，角的两边始终与直线CD交于点E，与直线BC交于点F，连接EF．
（1）如图①，当BF＝DE时，求证：△ABF≌△ADE；
（2）若∠EAF旋转到如图②的位置时，求证：∠AFB＝∠AFE；
（3）若BC＝4，当边AE经过线段BC的中点时，在AF的右侧作以AF为腰的等腰直角三角形AFP，直接写出点P到直线AB的距离．
17．在正方形中，点E是平面内一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接．在图形旋转不断特殊化的过程中，我们发现了一些有趣的结论，一起来探索一下吧．
(1)如图1，若点E在上运动，连接，当时，______，________；
(2)如图2，若恰好经过点C，连接，求证：；
(3)如图3，若点E在上运动；
①（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索三条线段的数量关系，并说明理由；
②若，点P在上，且，则的最小值为_______．
18．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，得到△BFE．
(1)点F恰好在AD上；
①如图1，若∠EBC＝15°，则∠DFE＝ ；
②如图2，过点F作FOCD交BE于点O，求证：四边形FOCE为菱形．
(2)如图3，E从C到D的运动过程中．
①∠ABF的角平分线交AD于点N，若BC=2AB，AB=2AN时，请写出DE与EC的数量关系，并说明理由；
②若AB＝4，BC＝7，∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长 ．
19．矩形中，将矩形沿、翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，、、三点在同一直线上．
(1)如图，求的度数；
(2)如图，当时，连接，交、于点、，若，，求的长度；
(3)如图，当，时，连接，，求的长．
20．如图，四边形为菱形，，，点E为边上动点（不含端点）点B关于直线的对称点为点F，点H为中点．
（1）若，求的长；
（2）作，垂足为G，当时，求的度数；
（3）在（2）的条件下，设射线交于M，求的长．
21．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使点A与点E重合．
（1）如图，对角线AC、BD相交于点O，连接OE，则线段OE的长＝ ；
（2）如图，过点E作EF∥CD交线段BD于点F，连接AF，求证：四边形ABEF是菱形；
（3）如图，在（2）条件下，线段AE、BD相交于M，连接CE，求线段CE的长．
22．在矩形纸片中，，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点.
（1）如图1，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则_____°；
（2）如图2，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是_______；
（3）如图3，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度.
23．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)．
①当点P与点A重合时，∠DEF= °，当点E与点A重合时，∠DEF= °．
②当点E在AB上时，点F在DC上时(如图2)，若AP=，求四边形EPFD的周长．
（2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图3)，当AM=DE时，请求出线段AE的长度．
（3）若点P落在矩形的内部(如图4)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．
24．如图1，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD且EB⊥GD；
（2）若AB=2，AG=，求的长；
（3）如图2，正方形AEFG绕点A逆时针旋转连结DE，BG，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由．
25．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形．
（1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）．
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（），如图2，直线AG、CE相交于点M．
①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：
②连结MB，求证：MB平分．
（3）在（2）的条件下，过点A作交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系．
特训09 特殊平行四边形 解答证明、动态几何压轴题
一、解答题
1．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点、．
(1)求证：；
(2)判断与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和定理证明即可得出结论；
（2）由（1）的结论得，，再根据通过等量代换即可证明；
（3）连接，证明出四边形是正方形，再利用正方形的性质得出条件，证出，在中利用勾股定理求得的长．
【解析】（1）四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
．
．
（2），，理由如下：
，
，，
，
在中，，
，
，
．
（3）连接，如图，
四边形和四边形是正方形，
，，，，
，，
在中，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
在中，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握相关的知识点，添加适当的辅助线是解本题的关键．
2．已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．
(1)求证：．
(2)如图2，在延长线上，且，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，点是的中点，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）连接，如图1，根据菱形的性质得，即可判定为等边三角形，得到，，然后利用可证明，即可解答；
（2）过点F作，交的延长线于点H，利用平行线的性质求得是等边三角形，得到，然后利用定理求得，从而问题得解；
（3）过点B作，交于点K，根据两组对边分别平行求得四边形是平行四边形，从而求得，，A作，然后利用含的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，即有，在中，利用勾股定理可得，问题随之得解．
【解析】（1）连接，如图1，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点F作，交的延长线于点H，如图2，
在（1）中已证为等边三角形，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（3）过点B作，交于点K，如图3，
∵，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
过点A作，
由（2）可知，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．
3．如图①，已知正方形中，，分别是边，上的点（点，不与端点重合），且，，交于点，过点作交于点．
(1)求证：．
(2)若，试求线段的长．
(3)如图②，连接并延长交于点，若点是的中点，试求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)4
【分析】（1）证明（SAS），得出，得出，可得出结论；
（2）根据的面积可求出，证明（AAS），由全等三角形的性质得出，则，可求出答案；
（3）证得，，可得出，在四边形中，设，，则，，，由勾股定理可得出，的关系式，则可求出答案．
【解析】（1）在正方形中，，，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
（3）在正方形中，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
在四边形中，设，，则，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题，学会用方程的思想方法解决问题．
4．如图，在矩形中，平分交于E，连接，．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G，
①猜想的度数，并说明理由；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）由矩形的性质得，，，由角平分线的性质得出，则是等腰直角三角形，得出，推出，由勾股定理得出；
（2）①连接，由（1）得，，由证得，得出，，证明是等腰直角三角形，即可得出结论；
②根据矩形的性质得到，求得，过D作于M，根据余角的性质得到，得到，过A作于N，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）①，
理由：连接EF，如图所示：
由（1）得：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②∵四边形是矩形，
∴，
∴，
过D作于M，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
过A作于N，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
5．已知点是正方形对角线上一点，与交于点，，垂足为，直线与交于点．
(1)如图1，当在线段上时，求证；
(2)如图2，当在线段上时，的延长线交于点，若，求证：①四边形为菱形；②；
(3)如图3，若，在点从到的运动过程中，的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
(3)
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）①证明，可得，进而证明，可得，可得四边形是平行四边形，由，可得四边形是菱形；②由，又得出，即可证明；
（3）取的中点，连接，，则，勾股定理求得，由即可求解．
【解析】（1）解：如图1，
∵四边形是正方形
∴，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：①如图2
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
②∵是的一个外角，
∴
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又
∴，
∴；
（3）解：如图3，取的中点，连接，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵（当且仅当点在线段上时，等号成立），
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，两点之间线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键．
6．已知正方形，为边上一点不与、重合），过作，且，连接．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接交于，求证：；
（3）如图2，当，，则 （直接写出结果）
【答案】（1）∠EAD=45°；（2）证明见详解；（3）
【分析】（1）如图1中，作EH⊥BA于H．只要证明△HPE≌△CBP，推出BC=PH=AB，HE=PB，推出PB=AH=EH，推出∠HAE=45°，即可解决问题；
（2）作EK∥AB交BD于K．首先证明四边形ABKE是平行四边形，再证明△GEK≌△GCD，可得GD=GK，根据BD=CD，即可解决问题；
（3）利用（1）（2）中结论即可解决问题；
【解析】(1)如图1中，作EH⊥BA于H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠HAD=90°，AB=BC，
∵EP⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠BPC+∠HPE=90°,∠BPC+∠BCP=90°，
∴∠HPE=∠BCP，
在△HPE和△CBP中，
∴△HPE≌△CBP，
∴BC=PH=AB，HE=PB，
∴PB=AH=EH，
∴∠HAE=45°，
∴∠EAD=45°.
（2）证明：作EK∥AB交BD于K.
∵∠EAD=∠ADB=45°，
∴AE∥BK,
∵AB∥EK，
∴四边形ABKE是平行四边形，
∴EK=AB=CD，AE=BK，
∵AB∥CD，∴EK∥CD，
∴∠GEK=∠GCD，
∴△GEK≌△GCD，
∴GD=GK，
∵BD=CD，BD=BK+DK=AE+2DG，
∴AE+2DG=CD.
（3）∵BC=AB=10，PA=6，
∴BP=4，
由(1)可知AE=，由(2)可知+2DG=，
∴DG=，
∵BD=，
∴BG=
【点睛】本题主要考查正方形的综合应用，熟练的在其中找到可以使用的全等三角形，平行四边形并进行证明，可得出相应结论，同时对已证结果的直接使用，也很重要
7．如图，已知正方形的边长为，连接、交于点，平分交于点
（1）求的长
（2）过点作，交于点，求的长
（3）过点作，交于点，求的长
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）求出，根据勾股定理求出BD，即可求出DE；
（2）求出，根据全等三角形的性质得出即可；
（3）延长交于，证，得出比例式，代入即可求出答案.
【解析】（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵平分，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
在中，由勾股定理得：,
∴
（2）∵，∴，
∴，
∵，
∴，∴
（3）如图，延长交于，
由（2）知：，
由（1）知：，
∵四边形是正方形，∴，
∴，∴，
∴，解得：
【点睛】本题主要考查了本题主要考查全等三角形的判定和相似三角形的判定和正方形的性质，熟练掌握全等三角形和相似三角形的的判定定理和性质是解此题的关键。
8．在□ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，交AB的延长线于点F，以BE，BF为邻边作．
(1)如图1，求证：是菱形；
(2)如图2，若，连接BG，交EF于点O，连接OA，OC，AC，求OA的长；
(3)如图3，若，连接AC，AG，求∠GAC的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)∠CAG=60°
【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线的定义可证，可得结论；
（2）由勾股定理可求的长，由“”可证，可得，，由等腰直角三角形的性质可求解；
（3）先证四边形是平行四边形，四边形是菱形，可得，，，可证，可得，即可求解．
（1）
证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
是菱形；
（2）
解：，
四边形是矩形，
，
，
，
菱形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）
解：如图3，延长，，交于点，连接，
四边形是平行四边形，，
，，，
四边形是菱形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9．如图正方形，点、、分别在、、上，与相交于点．
(1)如图，当，
求证：；
平移图中线段础，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图，求证：；
(2)如图，当，边长，，则的长为______（直接写出结果）．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）作平行四边形，则，，，通过证得≌，即可证得结论；在上截取一点，使得，则是等腰直角三角形，再证明是三角形的中位线即可解决问；
（2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出，，根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证≌，证得，，，继而证得≌，证得，从而证得，设则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得．
（1）
作平行四边形，则，，，如图，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴
∴；
在上截取一点，使得，则是等腰直角三角形，．
∵≌，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
得证．
（2）
过点作交于点，则四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
作，交延长线于，
在和中，
，
∴≌，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
即，
设，则，
在中，，解得，
∴．
即DE的值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理、勾股定理的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键，属于中考压轴题．
10．如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM、AN分别交BD于点P、Q，连接CQ、MQ．且．
（1）求证：
（2）求证：
（3）如图2，连接MN，当，，求的面积
图1 图2
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）15
【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，得到∠QBA＝∠QBC，进而可得△QBA≌ △QBC，∠QAB＝∠QCB，再根据CQ＝MQ，得到∠QCB＝∠QMC，即可求证；
（2）根据∠QAB＝∠QMC，∠QMC＋∠QMB＝180°，得到∠QAB＋∠QMB＝180°，在四边形QABM中，∠QAB＋∠QMB＋∠ABM＋∠AQM ＝360°可得∠ABM＋∠AQM ＝180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；
（3）设正方形ABCD的边长为a，延长ND至点H，使DH＝BM＝2，证得△ADH≌ △ABM，得到∠DAH＝∠BAM，且AH＝AM，由（2）知，△QAM是等腰直角三角形，易得∠NAM＝∠NAH，进而得到△NAM≌ △NAH，在Rt△MNC中，利用勾股定理得到，即可求解．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠QBA＝∠QBC
在△QBA和△QBC中

∴△QBA≌ △QBC （SAS）
∴∠QAB＝∠QCB
又∵CQ＝MQ
∴∠QCB＝∠QMC
∴∠QAB＝∠QMC
（2）∵∠QAB＝∠QMC
又∵∠QMC＋∠QMB＝180°
∴∠QAB＋∠QMB＝180°
在四边形QABM中
∠QAB＋∠QMB＋∠ABM＋∠AQM ＝360°
∴∠ABM＋∠AQM ＝180°
而∠ABM ＝90°
∴∠AQM ＝90°
（3）设正方形ABCD的边长为a，则
，
延长ND至点H，使DH＝BM＝2
易证△ADH≌ △ABM
∴∠DAH＝∠BAM，且AH＝AM
由（2）知，△QAM是等腰直角三角形
∴∠QAM＝45°
∴∠DAN＋∠BAM ＝45°
∴∠DAN＋∠DAH ＝45°
即∠NAH＝45°
∴∠NAM＝∠NAH
∴△NAM≌ △NAH（SAS）
∴NM＝NH＝
在Rt△MNC中，
∴
∴
∴
【点睛】此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理，灵活运用性质是解题关键．
11．如图1，已知菱形的边长为12，， 点、分别是边、上的动点(不与端点重合)，且．
（1）求证: 是等边三角形；
（2）点、在运动过程中，四边形的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；
（3）如图2，连接分别与边、交于、，当时，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）不变，；（3）见解析．
【分析】（1）证明△ACE≌△ADF，证出AE=AF，结合，便证出△AEF是等边三角形；
（2）根据△ACE≌△ADF，则四边形的面积等于△ABC或者△ACD的面积．
（3）将△ADN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PM．结合旋转的性质证明△MAN≌△MAP，根据四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，推出∠BPM=90°，即可证明结论.
【解析】（1）在菱形ABCD中，∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠D=∠B=60°，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，
∴AC=AD，
∵，
∴∠CAE=∠DAF，
又∵∠D=∠ACE=60°，
∴△ACE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴△AEF是等边三角形；
（2）点、在运动过程中，四边形的面积不变.
理由：
∵△ACE≌△ADF，
∴,即
；
（3）将△ADN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PM．
∵∠DAF=15°，∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠BAE=45°，∠BAP=∠DAF=15°，
∴∠MAN=∠MAP=60°，
∵AM=AM，AN=AP，
∴△MAN≌△MAP（SAS），
∴MN=PM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ADN=∠ADC=30°，
∴∠AND=180°-15°-30°=135°，∠ANM=45°，
∴∠APB=∠AND=135°，∠APM=∠ANM=45°，
∴∠BPM=90°，
∴BP2+PM2=BM2，
∵BP=DN，PM=MN，
∴DN2+MN2=BM2．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和旋转的性质及勾股定理，有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．
12．已知在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，M、N 分别是边 BC，CD 上的两个动点，∠MAN＝60°，AM、AN 分别交 BD 于 E、F 两点．
（1）如图 1，求证：CM＋CN＝BC；
（2）如图 2，过点 E 作 EG∥AN 交 DC 延长线于点 G，求证：EG＝EA；
（3）如图 3，若 AB＝1，∠AED＝45°，直接写出 EF 的长．
（4）如图 3，若 AB＝1，直接写出BE＋AE的最小值
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF＝；（4）
【分析】（1）由题意可得△ABC，△ACD都是等边三角形，然后求出∠BAM＝∠CAN，证明△BAM≌△CAN，得到BM＝CN，则CM＋CN＝CM＋BM＝BC；
（2）证明△ABE≌△CBE，得到AE＝EC，∠BAE＝∠BCE，然后求出∠AND＝∠CAN＋∠ACN＝60°＋∠CAN，∠ECG＝60°＋∠ECB，得到∠ECG＝∠AND＝∠G，进而得出EC＝EG即可解决问题；
（3）如图 3 中，将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 120°得到△ADQ，AC和BD交于点O，连接FQ，易证△AFE≌△AFQ，然后可求出∠FQD＝90°，∠QDF＝60°，根据含30度角直角三角形的性质，设DQ＝BE＝x，DF＝2x，EF＝FQ＝，再求出BD＝，进而列方程求出x即可；
（4）如图4，过点E作EH⊥BC于H，过点A作AQ⊥BC于Q，则BE＋AE＝EH＋AE，可得当A、E、H三点共线时，EH＋AE最小，此时EH＋AE＝AQ，然后求出AQ即可.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵AB＝AC，∠B＝∠ACN＝60°，
∴△BAM≌△CAN，
∴BM＝CN，
∴CM＋CN＝CM＋BM＝BC；
（2）证明：如图 2 中，连接 EC．
∵BA＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝EC，∠BAE＝∠BCE，
∵EG∥AN，
∴∠G＝∠AND，
∵∠AND＝∠CAN＋∠ACN＝60°＋∠CAN，∠ECG＝60°＋∠ECB，
∵∠ECB＝∠BAE＝∠CAN，
∴∠ECG＝∠AND＝∠G，
∴EC＝EG，
∴EG＝EA；
（3）解：如图 3 中，将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 120°得到△ADQ，AC和BD交于点O，连接FQ，则∠MAN＝∠FAQ＝60°，
∵AE＝AQ，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFQ，
∴∠AEF＝∠AQF＝45°，
∵∠AEB＝∠AQD＝135°，
∴∠FQD＝90°，
∵∠QDF＝∠ADQ＋∠ADF＝∠ABD＋∠ADF＝60°，
∴设DQ＝BE＝x，则DF＝2x，EF＝FQ＝，
∵AB＝AD＝1，∠ABD＝30°，
∴AO＝，BO＝，
∴BD＝2BO＝，
∴x＋2x＋＝，
∴x＝，
∴EF＝＝；
（4）解：如图4，过点E作EH⊥BC于H，过点A作AQ⊥BC于Q，
∵∠EBH＝30°，
∴EH＝BE，
∴BE＋AE＝EH＋AE，
当A、E、H三点共线时，EH＋AE最小，此时EH＋AE＝AQ，
∵AB=1，∠ABQ＝60°，
∴BQ＝，
∴AQ＝，即BE＋AE的最小值为.
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等，涉及知识点较多，较为复杂，灵活运用所学性质定理进行推理计算是解题的关键.
13．四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE．
（1）如图1，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）如图2，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC；
（3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED＝2∠AEB，AF＝4，AB＝4，则CE＝ ．（直接写出结果）
【答案】（1）70°；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）根据矩形的性质：AC＝BD，OB＝OC，可得∠DBC＝∠ACB＝40°，由BD＝BE得出∠E＝∠BDE，可得结论；
（2）如图2，延长CM交AD延长线于G，先证明△DMG≌△EMC（AAS），得AG＝AC，根据等腰三角形三线合一得：AM⊥MC；
（3）如图3，取AF的中点P，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：PD＝AP＝AF＝2，证明∠DPE＝∠AED，则DE＝PD＝2，利用勾股定理可得CE的长．
【解析】解：（1）如图1，连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OB＝OC
∴∠DBC＝∠ACB＝40°
∵BE＝AC，
∴BD＝BE，
∴∠BDE＝∠E，
∴∠E＝＝70°；
（2）如图2，延长CM交AD延长线于G，
∵AG∥BE，
∴∠GDM＝∠E，∠G＝∠GCE，
∵M是DE的中点，
∴DM＝EM，
∴△DMG≌△EMC（AAS），
∴CE＝DG，CM＝MG，
∴BC+CE＝AD+DG，
即AG＝BE，
由（1）知：BE＝BD＝AC，
∴AG＝AC，
又∵CM＝MG，
∴AM⊥MC；
（3）如图3，取AF的中点P，连接PD，则PD＝AP＝AF＝2，
∴∠PDA＝∠PAD，
在矩形ABCD中，∠AEB＝∠PAD，∠AED＝2∠AEB，
∴∠DPE＝∠PAD+∠PDA＝2∠PAD＝2∠AEB＝∠AED，
∴DE＝PD＝2，
在△DEC中，∠DCE＝90°，AB＝DC＝4，
∴CE＝＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
14．在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中．
(1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值．
(2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形为菱形，求的值；
②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________．
③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________．
【答案】(1)或
(2)①7；②；③
【分析】（1）连接交于点，根据矩形的性质，得到 ，分点在点上方和点在点下方两种情况进行讨论，即可求出的值；
（2）①连接交于点，结合菱形的性质和矩形的性质证明，从而证出直线是线段的垂直平分线，设，则，在中，利用勾股定理求出的值，求出的值，即可求解的值；②连接、，根据题意求出四边形的面积，证明四边形是平行四边形，推出，求出，再根据即可求出的值；③作关于的对称点为点，连接、，过点作的垂线，交延长线于点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，此时四边形周长最小，根据勾股定理即可求解．
【解析】（1）解：连接交于点，如图所示
∵四边形是矩形，，
∴
∵、分别是、中点
∴，
∵四边形是矩形
∴
∴
当点在点上方时，
当点在点下方时，
∵速度均为每秒2个单位长度
∴ 的值为或
（2）解：①连接、，交于点，如图所示
∵四边形为菱形
∴，，，
∵，
∴
∵矩形
∴
在和中
∵
∴
∴
∴
∴直线是线段的垂直平分线
∴
设，则
在中，
∴，解得：
∴
∴的值为7
②连接、，如图所示
∵四边形的面积是矩形面积的
∴四边形的面积为：
∵是的垂直平分线
∴，
由①可得：，
由题意可得：，
∴
∴
同理可得：
∴
∴四边形是平行四边形
∴
由题意可得：
∵
∴，解得：
∴当四边形的面积是矩形面积的，则的值是，
故答案是：；
③作关于的对称点为点，连接、，过点作的垂线，交延长线于点，如图所示
由②可得：四边形是平行四边形
∴四边形周长
∵对称
∴
∴
当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，此时四边形周长最小
∵
∴
∵=
∴四边形周长最小值为．
故答案是：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理、最值等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的性质，在解题中灵活运用．
15．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，连接AP，BE．
（1）若点E在BC上时，如图1，线段AP和BE之间的数量关系是 ；
（2）若将图1中的△CEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的基础上延长AP，BE交于F点，若DP＝PC＝2，求BF的长．
【答案】（1）AP=BE；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）首先说明A，P，C三点共线，设正方形ABCD的边长为1，CE=x，根据正方形和等腰直角三角形的性质求出AP和BE的长，即可判断；
（2）过点B作BH⊥BE，且BH=BE，连接AH，EH，证明△ABH≌△BEC，得到AH=EC=PE，∠AHB=∠CEB，从而证明四边形AHEP是平行四边形，同理可得AP=EH=BE；
（3）过B，D分别作AF的垂线，垂足为K，M，证明△ABK≌△DAM，得到BK=AM，求出AP，在△ADP中利用面积法求出DM，可得AM和BK，再利用勾股定理求出BF即可．
【解析】解：（1）∵点E在BC上，△PEC为等腰直角三角形，
∴PE=CE，∠PCE=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴A，P，C三点共线，设正方形ABCD的边长为1，CE=x，
∴PE=x，PC=x，AC=，
∴AP=AC-PC=，BE=BC-CE=1-x，
∴AP=BE；
（2）成立，
如图，过点B作BH⊥BE，且BH=BE，连接AH，EH，
∵∠ABC=∠EBH=90°，
∴∠CBE+∠ABE=∠ABH+∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABH，
又∵BH=BE，AB=BC，
∴△ABH≌△BEC（SAS），
∴AH=EC=PE，∠AHB=∠CEB，
∴∠AHE=∠AHB-∠EHB=∠CEB-45°，
∵∠HEP=360°-∠CEB-∠HEB-∠CEP
=360°-∠CEB-45°-90°
=225°-∠CEB，
∴∠AHE+∠HEP=∠CEB-45°+225°-∠CEB=180°，
∴AH∥PE，
∴四边形AHEP是平行四边形，
∴AP=EH=BE；
（3）如图，过B，D分别作AF的垂线，垂足为K，M，
∵∠BAD=∠BAK+∠DAM=90°，∠ABK+∠BAK=90°，
∴∠ABK=∠DAM，
又∵AB=AD，∠AKB=∠AMD=90°，
∴△ABK≌△DAM（AAS），
∴BK=AM，
∵四边形ABCD是正方形，DP=PC=2，
∴AD=CD=4，∠AHE=90°，
∴AP=，
∴S△ADP=，
∴，
∴，
∴AM=，
由（2）可知：△EBH为等腰直角三角形，HE∥AP，
∴∠KBF=∠HBE=45°，
∴∠F=45°，
∴BF==．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
16．已知正方形ABCD，∠EAF＝45°，将∠EAF绕顶点A旋转，角的两边始终与直线CD交于点E，与直线BC交于点F，连接EF．
（1）如图①，当BF＝DE时，求证：△ABF≌△ADE；
（2）若∠EAF旋转到如图②的位置时，求证：∠AFB＝∠AFE；
（3）若BC＝4，当边AE经过线段BC的中点时，在AF的右侧作以AF为腰的等腰直角三角形AFP，直接写出点P到直线AB的距离．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或4
【分析】（1）利用定理判定即可；
（2）延长到，使，连接，易证，则，；再证明即可得出结论；
（3）分两种情形：①，②；①过点作于点，过点作，交延长线于点，利用三角形的面积公式和勾股定理列出方程组求得线段；利用，可得，则点到直线的距离为，结论可得；②通过说明，可得，则点到直线的距离为，结论可得．
【解析】解：（1）证明：
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
．
（2）延长到，使，连接，如图，
四边形为正方形，
，．
．
在和中，
，
．
，．
，
．
即．
，
．
在和中，
，
．
．
（3）点到直线的距离为或4，理由：
当①时，；
过点作于点，过点作，交延长线于点，如图，
四边形为正方形，
，．
点是的中点，
，
．
设，，
，，
．
，
．
．
在中，
，
．
．
解得：，（不合题意，舍去）．
．
，
，
，
，
．
在和中，
，
．
，
到直线的距离为．
②当，时，
过作，交的延长线于点，如图，
则点到直线的距离为，
，
，
，
，
．
在和中，
，
．
．
点到直线的距离为．
综上，点到直线的距离为或4．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积，勾股定理，二元二次方程组的解法，根据正方形的特殊性质构造全等三角形是解题的关键．
17．在正方形中，点E是平面内一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接．在图形旋转不断特殊化的过程中，我们发现了一些有趣的结论，一起来探索一下吧．
(1)如图1，若点E在上运动，连接，当时，______，________；
(2)如图2，若恰好经过点C，连接，求证：；
(3)如图3，若点E在上运动；
①（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索三条线段的数量关系，并说明理由；
②若，点P在上，且，则的最小值为_______．
【答案】(1)5；
(2)见解析
(3)①不成立；AE2＋CE2＝2DE2；理由见解析；②
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形得AD＝CD，∠A＝∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，由旋转得∠EDF＝90°，DF＝DE，再证明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，∠A＝∠DCF＝90°，可证明B、C、F三点在同一条直线上，即可由AB＝BC＝4，AE＝CF＝1，求得BE的长和BF的长，再根据勾股定理求出EF长；
（2）类比（1）中的方法，先证明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，则AE＋CE＝CF＋CE＝EF，再由勾股定理求得EF＝，所以；
（3）①（2）中的结论不成立，先证明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，则∠ECF＝90°，根据勾股定理得AE2＋CE2＝CF2＋CE2＝EF2，而EF2＝2DE2，所以AE2＋CE2＝2DE2；
②作PG⊥CF于点G，则∠CGP＝90°，所以∠GPC＝∠GCP＝45°，得PG＝CG，由AB＝CD＝4，CP＝3PD得CP＝3，当点F与点G重合时，PF＝PG，此时线段PF最短，根据勾股定理求出PG的长即可．
（1）
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
由旋转得∠EDF＝90°，DF＝DE，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°−∠CDE，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠A＝∠DCF＝90°，
∴∠BCD＋∠DCF＝180°，
∴B、C、F三点在同一条直线上，
∵AB＝BC＝4，AE＝CF＝1，
∴BF＝BC＋CF＝4＋1＝5，BE＝AB−AE＝4−1＝3，
∴．
故答案为：5；．
（2）
证明：∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDF＝90°−∠CDE，DE＝DF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，
∴AE＋CE＝CF＋CE＝EF，
∵，
∴．
（3）
解：①不成立，AE2＋CE2＝2DE2；理由如下：
连接CF，如图所示：
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
由旋转得DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°−∠CDE，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝∠DCA＋∠DCF＝90°，
∴CF2＋CE2＝EF2，
∴AE2＋CE2＝EF2，
∵EF2＝DE2＋DF2＝2DE2，
∴AE2＋CE2＝2DE2，
②作PG⊥CF于点G，如图所示：
则∠CGP＝90°，
∴∠GPC＝∠GCP＝45°，
∴PG＝CG，
∴CP2＝PG2＋CG2＝2PG2，
∴，
∵AB＝CD＝4，点P在CD上，且CP＝3PD，
∴CP＝CD＝×4＝3，
∴，
当点F与点G重合时，PF＝PG，此时线段PF最短，
∴PF的最小值为．
故答案为：．
【点睛】考查主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据正方形的性质和旋转的性质得出三角形全等的条件，证明三角形全等，是解题的关键．
18．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，得到△BFE．
(1)点F恰好在AD上；
①如图1，若∠EBC＝15°，则∠DFE＝ ；
②如图2，过点F作FOCD交BE于点O，求证：四边形FOCE为菱形．
(2)如图3，E从C到D的运动过程中．
①∠ABF的角平分线交AD于点N，若BC=2AB，AB=2AN时，请写出DE与EC的数量关系，并说明理由；
②若AB＝4，BC＝7，∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长 ．
【答案】(1)①∠DEF=60°；②见解析
(2)①DE= EC，理由见解析；②
【分析】（1）①由翻折知∠FBC=30°，再根据平行线的性质得∠AFB=∠FBC=30°，从而得出答案；
②理由平行线的性质和翻折的性质可知OF=EF，从而得出OF=CE，证明四边形FOCE是平行四边形，再根据CE=EF，即可证明结论；
（2）①延长DG，使DG=CD，过点G作GH⊥BA，交BA的延长线于H，延长BN交HG于M，则四边形BCGH是正方形，设AN=x，则AB=2x，BC=4x，HM=2x，设DE=y，则CE=EF=2x-y，在Rt△MEG中，由勾股定理得，（2x）2+（2x+y）2=（4x-y）2，从而得出x与y的关系，进而解决问题；
②过点M作HGAD，交CD延长线于G，BA延长线于H，作MK⊥AD于K，可证明四边形BCGH为正方形，则MK=3，当点E与D重合时，DG=3，设HM=m，则GM=7-m，MD=4+m，在Rt△MDG中，由勾股定理得，（4+m）2=32+（7-m）2，解方程即可．
【解析】（1）解：（1）①∵将△BCE沿BE翻折，得到△BFE，
∴∠EBC=∠FBE=15°，∠BFE=∠BCE=90°，
∴∠FBC=30°，
∵ADBC，
∴∠AFB=∠FBC=30°，
∴∠DFE=180°-∠AFB-∠BFE=60°，
故答案为：60°；
②∵将△BCE沿BE翻折，得到△BFE，
∴CE=FE，∠CEB=∠FEB，
∵FOCE，
∴∠FOE=∠CEO，
∴∠FOE=∠FEO，
∴OF=EF，
∴OF=CE，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∵CE=EF，
∴四边形OCEF是菱形；
（2）①CE=2DE，理由如下：延长DG，使DG=CD，过点G作GH⊥BA，交BA的延长线于H，延长BN交HG于M，
则四边形BCGH是正方形，
∵BC=2AB，AB=2AN，
∴设AN=x，则AB=2x，BC=4x，HM=2x，
∵BH=BC=BF，BM=BM，
∴Rt△HBM≌Rt△FBM（HL），
∴HM=MF=2x，
设DE=y，则CE=EF=2x-y，
在Rt△MEG中，由勾股定理得，
（2x）2+（2x+y）2=（4x-y）2，
解得y=x，
∴DE=x，CE=x，
∴CE=2DE；
②过点M作HGAD，交CD延长线于G，BA延长线于H，作MK⊥AD于K，
则四边形BCGH为矩形，
∵BM平分∠HBF，
∴∠HBM=∠FBM，
∵∠BHM=∠BFM，BM=BM，
∴△HBM≌△FBM（AAS），
∴HB=BF，
∵BC=BF，
∴BH=BC，
∴四边形BCGH为正方形，
∴MK=3，
当点E与D重合时，DG=3，
设HM=m，则GM=7-m，MD=4+m，
在Rt△MDG中，由勾股定理得，
（4+m）2=32+（7-m）2，
解得m=，
∴GM=7-=，
∴当点E从C到D的过程中，点M的运动路径是线段MG，长度为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了是四边形综合，矩形的性质，翻折的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程并熟练掌握基本几何模型是解题的关键．
19．矩形中，将矩形沿、翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，、、三点在同一直线上．
(1)如图，求的度数；
(2)如图，当时，连接，交、于点、，若，，求的长度；
(3)如图，当，时，连接，，求的长．
【答案】(1)45°
(2)5
(3)4
【分析】（1）由折叠的性质得，则；
（2）连接，，，，由折叠的性质知垂直平分，垂直平分，则，，再求出，利用勾股定理可得答案；
（3）设，则，，，过点作垂直交的延长线于，证明四边形是矩形，求出EH，在中，利用勾股定理列方程求解可得答案．
【解析】（1）解：由折叠的性质可知：，，
四边形是矩形，
，
，
，
；
（2）如图，连接，，，，

若，则四边形是正方形，由题意可知点与点重合，
由折叠的性质可知：点与点关于对称，点与点关于对称，
垂直平分，垂直平分，
，，
为正方形的对角线，
，，
，
在中，由勾股定理得：．
（3）设，
由题意可知：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
在矩形中，，，
，
，，
，
由折叠的性质可知：，，，，，，
，
如图，过点作垂直交的延长线于，则，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得或舍去，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了翻折的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键，同时注意方程思想的运用．
20．如图，四边形为菱形，，，点E为边上动点（不含端点）点B关于直线的对称点为点F，点H为中点．
（1）若，求的长；
（2）作，垂足为G，当时，求的度数；
（3）在（2）的条件下，设射线交于M，求的长．
【答案】（1）1；（2）；（3）1
【分析】（1）如图1中，证明点与重合，可得结论．
（2）如图2中，连接．证明是等腰直角三角形，可得结论．
（3）如图3中，证明，过点作交的延长线于，在上取一点，使得，连接（见左边图），求出，可得结论．
【解析】解：（1）如图1中，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，此时点与重合，
．
（2）如图2中，连接．
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
．
（3）如图3中，
由翻折可知，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
过点作交的延长线于，在上取一点，使得，连接，
，
，
设，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
21．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使点A与点E重合．
（1）如图，对角线AC、BD相交于点O，连接OE，则线段OE的长＝ ；
（2）如图，过点E作EF∥CD交线段BD于点F，连接AF，求证：四边形ABEF是菱形；
（3）如图，在（2）条件下，线段AE、BD相交于M，连接CE，求线段CE的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据翻折的特点知OE=OA，由勾股定理求出AC即可求出OA；
（2）先证明四边形ABEF是平行四边形，再由翻折知AB=BE，即可得到四边形ABEF是菱形；
（3）先在（2）的前提下，求出BM的长，从而得到BF的长，然后求出DF，再证明出四边形DFEC是平行四边形即可得到EC=DF=．
【解析】解：（1）由翻折知识知：OE=OA，
∵OA=，AC=，AB＝3，AD＝4，
∴AC=5，
∴OE= OA==，
故答案为：；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB∥CD，
∵EF∥CD，
∴AB∥EF ，
∴∠ABF=∠BFE，
由翻折性质可得：∠ABF＝∠EBF，AB＝BE，
∴∠BFE＝∠EBF，
∴BE＝FE，
∵AB＝BE，
∴AB＝FE，
∵AB∥EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵BE＝FE，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（3）如图，∵平行四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BD，BM＝FM，
，
∴，
∴AM＝，
∴根据勾股定理得BM＝，
∴BF＝2BM＝，
∴DF＝BD-BF＝，
∵EH∥CD，EF＝CD，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴CE＝DF＝．
【点睛】此题利用翻折知识点考查特殊四边形的判定和性质，勾股定理的应用，知识面较广．
22．在矩形纸片中，，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点.
（1）如图1，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则_____°；
（2）如图2，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是_______；
（3）如图3，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度.
【答案】（1）90°，45°；（2）：（3）
【分析】（1）①当点P与点A重合时，如图4，画出图形可得结论；
当点E与点A重合时，如图5，则
（2）由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方形，可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度
（3）根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解析】解：（1）①当点P与点A重合时，如图4，
是AD的中垂线，

当点E与点A重合时，如图5，
此时
故答案为
(2)由题意可知：
当点E与点A重合时，AP达到最长，如图5所示，
可知四边形EPFD为正方形，

当点F与点C重合时，AP长度达到最小如下图所示
由图可知：,





（3）如图6，连接EM，


设则则 ，



解得：
故
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
23．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)．
①当点P与点A重合时，∠DEF= °，当点E与点A重合时，∠DEF= °．
②当点E在AB上时，点F在DC上时(如图2)，若AP=，求四边形EPFD的周长．
（2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图3)，当AM=DE时，请求出线段AE的长度．
（3）若点P落在矩形的内部(如图4)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．
【答案】（1）①90，45；②；（2） 0.6；（3）1．
【分析】（1）①当点与点重合时，是的中垂线，可得结论；当点与点重合时，如图2，则平分；
②如图3中，证明得，根据一组对边平行且相等得：四边形是平行四边形，加上对角线互相垂直可得为菱形，当时，设菱形的边长为，根据勾股定理列方程得：，求出的值即可；
（2）连接，由折叠性质可证，设．根据全等性质用x表示出线段关系，再由中可列方程求解；
（3）如图，当与重合，点在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，所以．
【解析】解：（1）①当点与点重合时，
是的中垂线，
，
当点与点重合时，
此时，
故答案为：90，45．
②如图2中，设与交于点，由折叠知垂直平分．
，，
矩形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
当时，设菱形边长为，则，
在中，，
，
菱形的周长．
（2）如图3中，连接，设．
由折叠知，，，
，，
，
，
，，
在中，
解得．
．
（3）如图中，连接，，．
，，
，此时的最小值，
，
，
当与重合时，的值最小，由折叠得：，
由勾股定理得：，
，
当，，共线时，有最小值，
，
则的最小值是1．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
24．如图1，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD且EB⊥GD；
（2）若AB=2，AG=，求的长；
（3）如图2，正方形AEFG绕点A逆时针旋转连结DE，BG，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析； (2) ；(3)不变，与的面积之差为0
【分析】(1)在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB，从而△EAB≌△GAD，即EB=GD；由∠AEB=∠AGD，∠EOH=∠AOG，即可得出∠EHG=∠EAG=90°；
(2)设BD与AC交于点O，由AB=AD=2，在Rt△ABD中求得DB，在Rt△GOD中利用勾股定理即可求得结果；
(3)作BQ⊥GA交GA的延长线于Q，作DP⊥EA交EA于P，可证得∠1=∠2，根据“AAS”可判断△PDA≌△QBA，所以PD=BQ，然后根据三角形面积公式得到，保持不变．
【解析】(1)如图1，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，∠EAG=90°，∠DAB=90°，
∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，
在△EAB和△GAD中，
，
∴EAB≌GAD(SAS)，
∴EB=GD；∠AEB=∠AGD，
∵∠EOH=∠AOG，
∴∠EHG=∠EAG=90°，
∴EB=GD且EB⊥GD；
(2)如图2，连接BD，BD与AC交于点O，
∵AB=AD=2，
在RtABD中，，
∴AO=DO=，
∴，
∴；
(3)不变，．理由如下：
作BQ⊥GA交GA的延长线于Q，作DP⊥EA交EA于P，如图3，
正方形ABCD和正方形AEFG中，
∠EAG=∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠EAD+∠BAG+∠EAG+∠DAB =360，则∠BAG=180°-∠EAD，
∵∠1=90°-∠EAD，∠2=∠BAG -90°=180°-∠EAD -90°=90°-∠EAD，
∴∠1=∠2，
在△PDA和△QBA中，
，
∴△PDA≌△QBA(AAS)，
∴DP=BQ，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质、三角形面积公式，作出辅助线，利用三角形全等是解题的关键．
25．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形．
（1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）．
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（），如图2，直线AG、CE相交于点M．
①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：
②连结MB，求证：MB平分．
（3）在（2）的条件下，过点A作交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系．
【答案】（1）AG=EC，AG⊥EC；（2）①满足，理由见解析；②见解析；（3）CM=BN．
【分析】（1）由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证；
（2）①利用SAS得出△ABG≌△CEB即可解决问题；
②过B作BP⊥EC，BH⊥AM，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM为角平分线；
（3）在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到BQ=BN，接下来证明BQ=CM，即要证明三角形ABQ与三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM为等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性质得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．
【解析】解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：
∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABG和△BEC中，
，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，
延长CE交AG于点M，
∴∠BEC=∠AEM，
∴∠ABC=∠AME=90°，
∴AG=EC，AG⊥EC；
（2）①满足，理由是：
如图2中，设AM交BC于O．
∵∠EBG=∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠EBC，
在△ABG和△CEB中，
，
∴△ABG≌△CEB（SAS），
∴AG=EC，∠BAG=∠BCE，
∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM，
∴∠BCE+∠COM=90°，
∴∠OMC=90°，
∴AG⊥EC．
②过B作BP⊥EC，BH⊥AM，
∵△ABG≌△CEB，
∴S△ABG=S△EBC，AG=EC，
∴EC•BP=AG•BH，
∴BP=BH，
∴MB平分∠AME；
（3）CM=BN，
理由为：在NA上截取NQ=NB，连接BQ，
∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=BN，
∵∠AMN=45°，∠N=90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN，
∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，
∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠MBC=∠BAN，
在△ABQ和△BCM中，
，
∴△ABQ≌△BCM（SAS），
∴CM=BQ，
则CM=BN．
【点睛】此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．