浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训10坐标系与特殊平行四边形、情景探究压轴题(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训10坐标系与特殊平行四边形、情景探究压轴题(原卷版+解析)，共99页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．
(1)求直线的解析式；
(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
2．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．
(1)求直线的解析式；
(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；
(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．
(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；
(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．
(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．
(1)求点B的坐标．
(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点、都在线段上，且．以为边在x轴下方作正方形，设，正方形的周长为．
(1)求直线的函数关系式．
(2)当点在正方形的边上时，直接写出的值．
(3)求与之间的函数关系式．
(4)当正方形只有一个顶点在外部时，直接写出的取值范围．
7．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，直线分别交轴，轴于点，A，点在轴的负半轴上，且，作直线．
(1)求直线的解析式；
(2)点在线段上（不与点A重合），过点作轴交于点，设点的横坐标为，线段的长为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，在直线的右侧以线段为斜边作等腰直角，连接，以线段为直角边作等腰直角三角形，且，且点在直线的右侧，则点的坐标为______．（用含有的代数式表示）
(4)在（2）、（3）的条件下，若，则______．
9．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，．
(1)如图，当时，求的度数．
(2)如图，当时，求证：．
(3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____．
10．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于y轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于y轴，直线l的“二次对称点”．
(1)已知点，直线l是经过且平行于x轴的一条直线，则点A的“二次对称点”的坐标为__________；
(2)如图1，正方形ABCD的顶点坐标分别是，，，，点E的坐标为，点K是x轴上的一个动点，直线l经过点K且垂直于x轴，若正方形ABCD上存在点M，使得点是点M关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在射线OE上，则点K的横坐标x的取值范围是________________；
(3)如图2，是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是，，直线l经过且与x轴正半轴夹角为60°，在点T的运动过程中，若线段RS上存在点N，使得点是点N关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在y轴上，则点纵坐标y的取值范围是______________．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，点（0，），直线DE为AB的中垂线，垂足为点E，交x轴于点C．
(1)如图1，点E的坐标为______，直线DC的表达式为______；
(2)如图1，若点M为直线CD上一个动点，且点M在第一象限，过点M作轴，交直线AB于点N，当四边形AMND为菱形时，求点M的坐标；
(3)如图2，点P为x轴上的一个动点，连接PA，PD，将△ADP沿DP翻折得到，当时，点P的坐标为______．
12．在平面直角坐标系中，已知△，点在y轴的正半轴上，点在x轴的负半轴上，点在x轴上．
(1)如图1，已知点与点关于y轴对称，，若是的中点，连接，求证：△是等边三角形
(2)如图2，已知，△是一个轴对称图形，，分别是边，上一点，满足，连接，，，若点的坐标为（，1）．
①求点的坐标；
②求三角形的面积；
(3)如图3，已知与坐标原点重合，，点是y轴的负半轴上一动点，连接，过作于，交线段于，连接．
①若线段，求点的坐标；
②问点在运动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
13．已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为正方形．
(1)若正方形OABC边长为12，
①如图1，E、F分别在边OA、OC上，CE⊥BF于H，且OE＝9，则点F的坐标为（______，_______）．
②如图2，若D为x轴上一点，且OD＝8，Q为y轴正半轴上一点，且∠DBQ＝45°，求点Q的坐标．
(2)若正方形OABC边长为4，如图3，E、F分别在边OA、OC上，当F为OC的中点，CE⊥BF于H，在直线CE上E点的两侧有点D、G，能使线段AD＝OG，AD//OG，且CH＝DH，求BG．
14．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．
小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造△EFM和△HAM全等，进而可得△DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）猜想图1中DM、EM的数量关系 ，位置关系 ．
（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；
（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论 （“成立”或“不成立”）
拓展应用：
将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
15．操作与证明：
如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；
结论：DM、MN的关系是： ；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
16．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为： ．
②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．
17．【方法回顾】
（1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，若DF＝2.5，BE＝1，则EF＝ ．
【问题解决】
（2）如图2，菱形ABCD的边长为1.5，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP＝90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD＝180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF＝1，求BE的长．
【思维拓展】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP＝2，连接PB，PD，若△PAD的面积与△PAB的面积之差为m（m＞0），则PB2﹣PD2的值为 ．（用含m的式子表示）
18．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．
提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系： ；
（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；
情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；
拓展问题：
（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系： ．
19．如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线．
(1)下列四副图中，直线是该“图形”等积线的是_________(填写序号)
(2)如图2，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点的直线分别交边、于点、，则直线 (填“是”或“不是”)该图形的等积线．
(3)在图3所示的“图形”中，，，．
①若，在下图中画出与平行的等积线l(在图中标明数据)
②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值；
③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为 ．
20．【定义】只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有ADB和ACB，此时；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在BC同侧有BAC和BDC，此时．
(1)【理解】
如图1，______；
(2)下列图形中一定是损矩形的是______（填序号）；
(3)【应用】如图2，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，以AC为一边向外作菱形ACEF，点D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？并说明理由；
(4)如图3，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，点O为AC的中点，OG⊥BD于点G，若，则等于多少？
21．问题初探
（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系．
聪明的小明是这样做的：把绕点逆时针旋转至，使得与重合，由，得，即点、、共线，易证≌______故EF、、之间的数量关系为______．
类比探究
（2）如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请根据小明的发现给你的启示写出、、之间的数量关系，并证明．
联想拓展
（3）如图，在中，，点、均在边上，且，若，求的长．
22．【概念理解】若一条直线把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线叫做这个图形的等积直线．如图1，直线经过三角形的顶点和边的中点，易知直线将分成两个面积相等的图形，则称直线为的等积直线．
(1)如图2，矩形对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，．
①求证：．
②请你判断直线是否为该矩形的等积直线．______．（填“是”或“不是”）
(2)【问题探究】如图3是一个缺角矩形，其中，小华同学给出了该图形等积直线的一个作图方案：将这个图形分成矩形、矩形，这两个矩形的对称中心，所在直线是该缺角矩形的等积直线．
如图4，直线是该图形的一条等积直线，它与边，分别交于点，，过的中点的直线分别交边，于点，，直线______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等积直线．
(3)【实际应用】若缺角矩形是老张家的一块田地如图5．为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了灌溉方便，便想使每个儿子分得的土地都有一边和水井相邻，试问该如何分割这块土地？画出图形，并说明理由．
23．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在中，于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若，，则正方形PQMN的边长等于______．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在AB上任取一点，画正方形，使，在BC边上，在内，连结并延长交AC于点N，画于点M，交AB于点P，于点Q，得到四边形PQMN．
(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：．
(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取，连结EQ，EM（如图4）．当时，猜想的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
24．问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
【问题提出】如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA=5，PB=12，PC=13．你能求出∠APB的度数吗？
【问题解决】如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，从而使问题得到解决．
(1)结合上述思路完成填空：PP′=________，∠APP′=________，∠APB=________；
(2)【类比探究】如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC=1，PB=2，PA=3，则∠CPB=________；
(3)如图4，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=13，，PC=3，则∠CPB=_____；
(4)【深入探究】如图5，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=5，，PC=3，则∠CPB=________；
(5)如图6，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=12，AC=5，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是_______．
25．【探究与应用】
我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，则．
(1)如图1，若与相交于点O，证明以上这个结论；
小明同学提出如下解题思路，请补全：
【思路分析】
由折叠的性质得，；由平行四边形的性质得______，．由上面的分析可证得，______，这样就可以得到，则______，再由等腰三角形的性质得，证出，即可得出结论；
(2)如图2，与相交于点O，若，，，则的面积为______；
(3)如果，，
①当是直角三角形时，请画图并直接写出的长．
②设的长度为x，当时，直接写出x的取值范围．
26．实践操作：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
(1)初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）
①当点P与点A重合时，∠DEF＝____°；当点E与点A重合时，∠DEF＝____°；
②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP＝7时的菱形EPFD的边长．
(2)深入探究：若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值____．
(3)拓展延伸：如图④ ，若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M，AM=DE，则线段AE的长度为_________．
特训10 坐标系与特殊平行四边形、情景探究压轴题
一、解答题
1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．
(1)求直线的解析式；
(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点N的坐标为或或
【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）设，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出a的值，即可进行解答；
（3）根据题意进行分类讨论：①为矩形的边时；②为矩形的对角线时．
【解析】（1）解：把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，
∴，
∵绕点O顺时针旋转得，
∴，
∴，
设直线的函数解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的函数解析式为．
（2）∵，
∴，
∵点E在线段上，
∴设，
∵轴，轴，
∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为，
把代入得：；
把代入得：，解得：，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
∴．
（3）①当为矩形的边时，
过点M作，交直线于点，过点O作，交直线于点N，过点N作交于点P，过点作交于点，
根据作图可得：四边形和四边形都是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵绕点O顺时针旋转得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点M为线段的中点，，
∴，，即点N为中点，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，
联立直线和直线的解析式为：
，解得：，
∴，
②当为矩形的对角线时，
过点M作轴于点P，过点M作轴于点N，
∵，，
∴轴，
过一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点C和点N重合，
∴，
综上：点N的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质．
2．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．
(1)求直线的解析式；
(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；
(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)，，，
【分析】（1）根据直线的解析式可以求得点的坐标，再结合点的坐标，用待定系数法可以求出直线的解析式；
（2）根据可以求出的面积，设点是轴上一点，且满足，过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，进而求出点的坐标，求的最小值，关键是对进行转化，利用垂线段最短可求出此时点的坐标；
（3）先根据题意，找到点的坐标，根据菱形的性质，可求出点的坐标．
【解析】（1）解：在中，令，得，
，
令，得，
，
，
，
设直线的解析式为，将，代入得，
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：由可得，
，
，
设点是轴上一点，且满足，
，
，
过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，
记直线的解析式为，将代入可得，
直线的解析式为，
联立，解得，
则，显然点为的中点，
如图，作点关于轴的对称点，则，作直线，则直线的解析式为：，
过点作于点，交轴于点，点即为所求，
易得直线的解析式为：，则；
（3）Ⅰ.如图，当为菱形的一条边时，
时，如图所示，过点作轴于点，
根据题意可得，，则，
则，
易得，则，
由，可得，
在Rt中，，，
，
，
同理可得，；
时，如图所示，
根据题意可得，，轴，
；
Ⅱ.如图，当为菱形的一条对角线时，
根据题意可得，，轴，
又，
可得；
综上，当以点为顶点的四边形为菱形时，的坐标分别为：，，，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查平移变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决直线的交点问题．
3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．
(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在．，，
【分析】（1）用因式分解法求出方程的两个根即可求解；
（2）根据求出点P的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（3）分3种情况，画出图形，结合图形特点求解即可．
【解析】（1），
，
，．
∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∴点P的坐标为．
设过点P的反比例函数解析式为．将点代入，得．
∴过点P的反比例函数解析式为．
（3）存在．
如图1，当为正方形的对角线时，
过点M作交的延长线于点E，过点C作交直线于点F．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
，
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∴．
∵把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得，
∴把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得；
如图2，当为正方形的边时，
过点N作于点H，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图3，当为正方形的边时，
由图2可知，，
∵把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得，
∴把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得；
综上可知，点N的坐标为：，，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键．
4．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；
(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．
(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的面积的最大值为
【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）由可证()可得，由可证，可得，，可得点与点重合，点，点，点三点共线，在中，勾股定理，可求的长，由三角形中位线定理可求解；
（3）根据三角形的底边的长度固定，当边上的高最大时即可求解，连接，当轴于点时，则，此时面积最大，利用，求得，再根据三角形面积公式即可求解．
【解析】（1）解：∵四边形．点，)，
，，，
矩形是由矩形旋转得到，
，
在中，，
;
故答案为：．
（2）如图，过点作于，过点作于，连接，
，，
四边形是矩形，
，
，，，
()，
，
又，
()，
，，
又，
点与点重合，
，，
，
点，点，点三点共线，
，
，
，
设
在中，，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：依题意，，
，，
，
当边上的高最大时，面积最大，
如图，当轴于点时，则，此时面积最大，
连接，
，
的面积的最大值为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
5．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．
(1)求点B的坐标．
(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；或
【分析】（1）先求出直线CD的解析式即可解决问题；
（2）用M表示PF的长，利用三角形的面积公式计算即可；
（3）由题意可知：，整理得：，解得或（舍去），则，根据，，，可证，则，，则，根据直线解析式为：，结合，可知直线的解析式为：，则，当点再点上方时，设，则，根据，则，进而可知，故，根据对称性可知，也满足条件，由此可得到结果．
【解析】（1）解：由题意知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线，
当时，，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，
∵，F（m，4），
∴，
∴；
（3）解：如图2所示：
由题意可知：，
整理得：，
解得或（舍去），
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵直线解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
∴，
当点再点上方时，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据对称性可知，也满足条件，
∴或．
【点睛】本题考查一次函数综合题，矩形的性质，平行线分段成比例定理，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决本题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点、都在线段上，且．以为边在x轴下方作正方形，设，正方形的周长为．
(1)求直线的函数关系式．
(2)当点在正方形的边上时，直接写出的值．
(3)求与之间的函数关系式．
(4)当正方形只有一个顶点在外部时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或3；
(3)；
(4)或．
【分析】（1）由可知点的坐标，设直线的函数关系式为，将点，点的坐标代入求解即可；
（2）分三种情况：当点在、、的边上分别讨论求解即可；
（3）分点在点的左侧和右侧两种情况讨论，表示出的长度，然后求解即可；
（4）分点在点的左侧和右侧两种情况讨论，并考虑点、点在两条直线上是的值，即可求得的取值范围．
【解析】（1）解：∵，
∴，
设直线的函数关系式为，将，代入中，
得：，解得：
∴直线的函数关系式为；
（2）①当点在正方形的边上时，则，
∴
∴，即：
此时，即点的坐标为与点重合，
②当点在正方形的边上时，
∵点为，
∴
∴，即，
③当点在正方形的边上时，则，（此时点在点的左侧）
亦即
∴
∴，
此时，即点的坐标为与点重合，
综上，当点在正方形的边上时，或3；
（3）∵，
当点在点的左侧时，即当时，，
则，
当点在点的右侧时，即当时，，
则，
综上，与之间的函数关系式为：
（4）①当点在点的左侧时，，
则，，，
若点在直线上，即：，得：
若点在直线上，即：，得：，
易知当点在直线上时，正方形的另外个顶点均在的内部，
点在直线上时，点在的外部，
∴当时，正方形只有一个顶点在外部；
②当点在点的右侧时，，
则，，，
若点在直线上，即：，得：
若点在直线上，即：，得：，
易知当点在直线上时，正方形的另外个顶点均在的内部，
点在直线上时，点在的外部，
∴当时，正方形只有一个顶点在外部；
综上，当正方形只有一个顶点在外部时，或
【点睛】本题考查一次函数的综合及正方形的性质，熟练的求解函数解析式，利用正方形的性质表示线段的长度是解决问题的关键．
7．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为；
（2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为；
（3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，，
由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．
【解析】（1）解：过点作轴于，如图所示：
∵点，点，
∴，，
∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
∴，，，
在Rt中，，，
∴，
∴点的坐标为；
（2）过点作轴于，，于，如图所示：
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
（3）连接，作轴于，如图所示：
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
8．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，直线分别交轴，轴于点，A，点在轴的负半轴上，且，作直线．
(1)求直线的解析式；
(2)点在线段上（不与点A重合），过点作轴交于点，设点的横坐标为，线段的长为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，在直线的右侧以线段为斜边作等腰直角，连接，以线段为直角边作等腰直角三角形，且，且点在直线的右侧，则点的坐标为______．（用含有的代数式表示）
(4)在（2）、（3）的条件下，若，则______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先由直线的解析式求出A、C两点的坐标，根据，求出B点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）过点P作轴于M，过点Q作轴于N，令与y轴的交点为R，由点P在直线上，点P的横坐标为t，得出．根据轴，Q在直线上，得到，进而得出线段的长d与t之间的函数关系式；
（3）连接交y轴于N点，令交y轴于F点，证明可得，，根据（2）即可得到解答；
（4）由（2）得，，进而计算即可得到解答．
【解析】（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
则，
解得．
∴直线的解析式为．
（2）解：过点P作轴于M，过点Q作轴于N，令PQ与y轴的交点为R，．
∵点P在直线上，点P的横坐标为t，
∴．
∵轴，
∴，
∴轴，
∴，
∴点Q的纵坐标为．
∵直线的解析式为，
∴当时，
，
解得，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
即d与t之间的函数关系式为．
（3）如图2，连接交y轴于N点，令交y轴于F点，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
由（2）得，
∴E点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
（4）如下图，由（2）得，，
∴
，
∵，
∴，
解得．
【点睛】本题是综合题，其中涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形、矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质准确作出辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，．
(1)如图，当时，求的度数．
(2)如图，当时，求证：．
(3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)；；
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，推出，求出即可解决问题；
（2）如图，作于，交于，设，，在和中，利用勾股定理构建方程，求出x，y的值，再利用勾股定理的逆定理得出结论；
（3）如图3，在的延长线上截取，连接，，，，通过证明求解的长，进而可得的长，当点M落在线段上时，最小，最小值为（如图4中，连接），证明，可得，求出，可得，进而可得答案．
【解析】（1）解：如图，连接，
由翻折的性质可知：，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
∴；
（2）证明：如图，作于，交于，
由翻折的性质可知：，，
设，．
，
四边形是矩形，
，，，
在中，由勾股定理得，即，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
，
，，
，
，即；
（3）解：如图3，在的延长线上截取，连接，，，，
∵，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当点M落在线段上时，最小，最小值为（如图4中，连接），
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
10．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于y轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于y轴，直线l的“二次对称点”．
(1)已知点，直线l是经过且平行于x轴的一条直线，则点A的“二次对称点”的坐标为__________；
(2)如图1，正方形ABCD的顶点坐标分别是，，，，点E的坐标为，点K是x轴上的一个动点，直线l经过点K且垂直于x轴，若正方形ABCD上存在点M，使得点是点M关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在射线OE上，则点K的横坐标x的取值范围是________________；
(3)如图2，是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是，，直线l经过且与x轴正半轴夹角为60°，在点T的运动过程中，若线段RS上存在点N，使得点是点N关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在y轴上，则点纵坐标y的取值范围是______________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据“二次对称点”的定义求解即可；
（2）由题意，直线的解析式为，当点K关于y轴的对称点在x轴的正半轴上时，关于直线y=x的对称点落在y轴上，观察图象可知，当K点坐标为时，正好落在线段上，由此可得结论；
（3）如图2中，当点N与S重合，且在y轴上时，连接交直线于点K，交y轴于点J，连接，设直线l交x轴于点D，交y轴于点C，如图3中，当点T与原点重合，N与重合时，和都与重合，此时．求出这两种特殊位置的坐标，可得结论．
【解析】（1）解∶ 点关于y轴的对称点为，
∵直线l是经过且平行于x轴的一条直线，
∴点关于直线l的对称点为；
故答案为：
（2）解∶如图，
设直线的解析式为，
∵点E的坐标为，
∴，
∴直线的解析式为，
当点K关于y轴的对称点在x轴的正半轴上时，关于直线y=x的对称点落在y轴上，
观察图象可知，当K点坐标为时，正好落在线段上，
观察图象可知当时，在正方形内部，
故答案为：；
（3）解∶如图2，当点N与S重合，且在y轴上时，连接交直线于点K，交y轴于点J，连接，设直线l交x轴于点D，交y轴于点C，
∵，
∴，
∵和关于直线l对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时点，
如图3，当点T与原点重合，N与重合时，和都与重合，此时．
根据题意得：，
观察图象得：满足条件的的纵坐标为．
故答案为：
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置，解决问题，属于中考压轴题．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，点（0，），直线DE为AB的中垂线，垂足为点E，交x轴于点C．
(1)如图1，点E的坐标为______，直线DC的表达式为______；
(2)如图1，若点M为直线CD上一个动点，且点M在第一象限，过点M作轴，交直线AB于点N，当四边形AMND为菱形时，求点M的坐标；
(3)如图2，点P为x轴上的一个动点，连接PA，PD，将△ADP沿DP翻折得到，当时，点P的坐标为______．
【答案】(1)，
(2)（，6）
(3)（，0）或（，0）
【分析】（1）求出，两点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，设直线的解析式，把点，的坐标代入，可得出结论．
（2）判断出点与点重合，可得出结论．
（3）分两种情形：平分，平分的邻补角，分别求解即可．
【解析】（1）∵直线交轴于点，交轴于点，
∴，，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得到 ，
∴ ，
∴直线的解析式为，
故答案为：，．
（2）∵四边形是菱形，
∴ ，
∴ 点 与重合，
∴点M的横坐标为
∵M在直线DC上
∴；
（3）如图（3）中，
∵当时，点落在直线上，
此时平分，
过点作于点，则，设，
则，
由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当平分的邻补角时，也满足条件，
同理可得，
综上所述，满足条件的点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质，三角形的面积，角平分线的性质定理，熟练掌握这些性质和学会分类讨论的思想思考问题是解决本题的关键．
12．在平面直角坐标系中，已知△，点在y轴的正半轴上，点在x轴的负半轴上，点在x轴上．
(1)如图1，已知点与点关于y轴对称，，若是的中点，连接，求证：△是等边三角形
(2)如图2，已知，△是一个轴对称图形，，分别是边，上一点，满足，连接，，，若点的坐标为（，1）．
①求点的坐标；
②求三角形的面积；
(3)如图3，已知与坐标原点重合，，点是y轴的负半轴上一动点，连接，过作于，交线段于，连接．
①若线段，求点的坐标；
②问点在运动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①（1，3）；②5；
(3)①点（，0）；②不变；
【分析】（1）由轴对称性质得AB=AC，OB=OC=BC，再由∠B=∠BAC，根据等腰三角形的判定得出BC=AC，从而得AB=BC=AC，即可证得△ABC为等边三角形，再由等边三角形的性质得出∠B=60°，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得BD=OB，即可由等边三角形的判定寒来暑往是出结论；
（2）①过点E作EG⊥x轴于G，过点F作FH⊥y轴于H，先证△OBE△OAF(ASA)，得OE=OF，再证△OGE△OHF(AAS)，得OG=OH，EG=FH，由E(-3，1)，即可得OH=OG=3，FH=EG=1，即可得出点F坐标；
②在Rt△OGE中，由勾股定理，得OE=，从而得OF=OE=，然后由即可求解；
（3）①证明△AOM△BOD（AAS），得OM=OD=2022，再根据点M在x轴负半轴上，即可得出点M的坐标；
②过点O作OP⊥BD于P，OQ⊥AH于Q，则四边形OQHP为矩形，再证明△AOM△BOD(SAS)，得∠AMO=∠BDO，然后证△OQM△OPD(AAS)，得OP=OQ，从而证得矩形OQHP为正方形，根据正方形的性质好戏可得出结果．
【解析】（1）解：∵B、C关于y轴对称，点A在y轴上
∴AB=AC，OB=OC=BC，
又∵∠B=∠BAC，
∴BC=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
又点是的中点，
∴BD=AB，
∴BD=OB，
∴△是等边三角形；
（2）解：①过点E作EG⊥x轴于G，过点F作FH⊥y轴于H，如图，
∵△是一个轴对称图形，
∴OB=OC，∠B=∠C，∠BAO=∠CAO，
∵，
∴OA=OB，∠BAO=∠CAO=45°，∠B=∠C=45°，
∴∠B=∠OAF，
∵OE⊥OF，
∴∠AOF+∠AOE=90°，
∵∠BOE+∠AOE=∠AOB=90°，
∴∠AOF=∠BOE，
在△OBE和△OAF中，
，
∴ △OBE△OAF(ASA)，
∴OE=OF，
∵EG⊥x轴于G， FH⊥y轴于H，
∴∠OGE=∠OHF=90°，
在△OGE和△OHF中，
，
∴△OGE△OHF(AAS)，
∴OG=OH，EG=FH，
∵E(-3，1)，
∴OG=3，EG=1，
∴OH=3，FH=1，
∴F(1，3)；
②在Rt△OGE中，由勾股定理，得
OE=，
∴OF=OE=，
∴；
（3）解：①∵∠AOM=90°，
∴∠OAM+∠AMO=90°，
同理：∠OAM+∠ADH=90°，
∴∠ADH=∠AMO，
∴∠AOB=90°，∠OBA=45°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴OA=OB，
在△AOM和△BOD中，
，
∴△AOM△BOD（AAS），
∴OM=OD=2022，
∵点M在x轴负半轴上，
∴点M的坐标为(-2022，0)；
②的大小不会发生改变，
如图3，过点O作OP⊥BD于P，OQ⊥AH于Q，
则四边形OQHP为矩形，
在△OQM和△OPD中，
，
∴△OQM△OPD(AAS)，
∴OP=OQ，
∴矩形OQHP为正方形，
∴∠AHO=45°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质、图形与坐标，矩形的判定，正方形的判定与性质，本题综合性质较强，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
13．已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为正方形．
(1)若正方形OABC边长为12，
①如图1，E、F分别在边OA、OC上，CE⊥BF于H，且OE＝9，则点F的坐标为（______，_______）．
②如图2，若D为x轴上一点，且OD＝8，Q为y轴正半轴上一点，且∠DBQ＝45°，求点Q的坐标．
(2)若正方形OABC边长为4，如图3，E、F分别在边OA、OC上，当F为OC的中点，CE⊥BF于H，在直线CE上E点的两侧有点D、G，能使线段AD＝OG，AD//OG，且CH＝DH，求BG．
【答案】(1)①3，0；②Q点坐标为（0，15）或（0，6）
(2)BG＝
【分析】（1）①通过证明△OEC≌△CFB（AAS），求出OF，即可求点的坐标；
②分两种情况讨论：当D（8，0）时，过B点作BM⊥BD交y轴于点M，可证明△ABM≌△CBD（AAS），连接BQ，可证明△MBQ≌△DBQ（SAS），设AQ＝x，则OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，在Rt△ODQ中由勾股定理求出x＝6，即可求Q（0，6）；当D（﹣8，0）时，过BN⊥BQ交x轴于点N，同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），连接DQ，可得△QBD≌△NBD（SAS），设AQ＝CN＝y，则DN＝20﹣y，QO＝12+y，在Rt△DOQ中，由勾股定理求出y＝3，即可求Q（0，15）；
（2）在Rt△BCF中，求出BF＝2，CH＝，再由CH＝DH，可得DC＝，连接OD，OH，证明△OCD≌△CBH（ASA），分别得到CD＝BH＝，OD＝CH＝，则OH＝，再证明△AOD≌△OCH（SAS），可求OH＝AD＝OG＝，∠OAD＝∠HOC，推导出∠GOH＝90°，在Rt△GHO中，由勾股定理求出GH＝，在Rt△BHG中，由勾股定理求出BG＝．
（1）
①∵CE⊥BF，
∴∠BHC＝90°，
∴∠ECO+∠HFC＝90°，
∵∠OEC+∠OCE＝90°，
∴∠HFC＝∠OEC，
∵BC＝OC，
∴△OEC≌△CFB（AAS），
∴OE＝CF＝9，
∴OF＝3，
∴F（3，0），
故答案为：3，0；
②∵D为x轴上一点，且OD＝8，
∴D（8，0）或（﹣8，0），
当D（8，0）时，如图2，过B点作BM⊥BD交y轴于点M，
∴∠DBM＝90°，
∴∠MBA+∠ABD＝90°，
∵∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠MBA＝∠CBD，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△CBD（AAS），
∴BM＝BD，CD＝AM，
连接BQ，
∵∠DBQ＝45°，
∴∠MBQ＝45°，
又∵BM＝BD，
∴△MBQ≌△DBQ（SAS），
∴DQ＝MA，
∵OD＝8，OC＝12，
∴CD＝MA＝4，
设AQ＝x，则OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，
在Rt△ODQ中，（4+x）2＝64+（12﹣x）2，
解得x＝6，
∴Q（0，6）；
如图3，当D（﹣8，0）时，过BN⊥BQ交x轴于点N
，
同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），
∴AQ＝CN，BQ＝BN，
连接DQ，同理可得△QBD≌△NBD（SAS），
∴DN＝DQ，
设AQ＝CN＝y，则DN＝20﹣y，QO＝12+y，
在Rt△DOQ中，（20﹣y）2＝（12+y）2+64，
解得y＝3，
∴Q（0，15）；
综上所述：Q点坐标为（0，15）或（0，6）；
（2）
∵F为OC的中点，CO＝4，
∴CF＝OF＝2，
在Rt△BCF中，BC＝4，CF＝2，
∴BF＝2，
∵BF⊥CH，
∴CH＝＝，
∵CH＝DH，
∴DC＝，
如图4，连接OD，OH，
∵H是CD的中点，F是OC的中点，
∴FH∥OD，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝∠GHC＝90°，
∵BC＝CO，∠FBC＝∠DCO，
∴△OCD≌△CBH（ASA），
∴CD＝BH＝，OD＝CH＝，
∴OH＝，
∵∠AOD+∠DOC＝∠DOC+∠DCO＝90°，
∴∠AOD＝∠DCO，
∵AO＝CO，OH＝OD，
∴△AOD≌△OCH（SAS），
∴OH＝AD＝OG＝，∠OAD＝∠HOC，
∵AD∥GO，
∴∠OAD＝∠GOA，
∴∠GOH＝90°，
在Rt△GHO中，GH＝＝，
在Rt△BHG中，BG＝＝．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
14．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．
小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造△EFM和△HAM全等，进而可得△DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）猜想图1中DM、EM的数量关系 ，位置关系 ．
（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；
（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论 （“成立”或“不成立”）
拓展应用：
将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME，理由见详解；（2）结论成立，理由见详解；（3）成立；拓展应用：MF=或
【分析】（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因为∠EDH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；
（2）延长EM交DA的延长线于H，证法同第（1）小题；
（3）如图3中，延长EM到点 H，使EM=HM，连接AH，DE，DH，先证明△AMH≌△FME，延长AH交CE于点K，交CD于点O，再证明∆DCE≅∆DAH，可得∆HDE是等腰直角三角形，M是HE的中点，即可得到结论；
拓展应用：分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【解析】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图1中，延长EM交AD于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵M是AF的中点，
∴AM＝MF，
又∵∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴AD-AH=CD-CE，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
故答案是：DM⊥EM，DM＝ME；
（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴AD+AH=CD+CE，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME；
（3）如图3中，延长EM到点 H，使EM=HM，连接AH，DE，DH，
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴AH＝EF＝EC，∠MAH=∠MFE，
∴AH∥EF，
延长AH交CE于点K，交CD于点O，
∴∠AKE=∠CEF=90°，
∴∠DCE+∠COK=∠DAH+∠AOD，
∵∠COK=∠AOD，
∴∠DCE=∠DAH，
在∆ DCE和∆DAH中，
∵，
∴∆DCE≅∆DAH，
∴DH=DE，∠CDE=∠ADH，
∴∠ADH+∠CDH=∠CDE+∠CDH=90°，即：∠HDE=∠ADC=90°，
∴∆HDE是等腰直角三角形，M是HE的中点，
∴DM⊥EM，DM＝ME，
故答案是：成立；
拓展应用：如图4中，连接DE．延长EM到H，使得MH＝ME，连接AH，延长FE交AD的延长线于K．作MR⊥DE于R．
易证△AMH≌△FME（SAS），
∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，
∴AH∥DF，
∴∠DAH＋∠ADE＝180°，
∴∠DAH＋∠CDE＝90°，
∵∠DCE＋∠EDC＝90°
∴∠DAH＝∠DCE，
∵DA＝DC，
∴△DAH≌△DCE（SAS），
∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，
∴∠HDE＝∠ADC＝90°，
∵ME＝MH，
∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，
在Rt△CDE中，DE＝，
∵DM＝ME，DM⊥ME，MR⊥DE，
∴MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，
在Rt△FMR中，FM＝，
如图5中，作MR⊥DE于R．同法可得DE＝12，MR＝6，可得FR＝6−5＝1，
在Rt△MRF中，FM＝
综上所述：MF=或．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
15．操作与证明：
如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；
结论：DM、MN的关系是： ；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）DM＝MN，DM⊥MN；（3）成立，理由见解析.
【分析】（1）先证明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性质即可证明△AEF是等腰三角形；
（2）利用三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理可证明DM=MN，再证明∠DMN=∠DAB=90°，即可解决问题；
（3）连接AE，交DM于O，交CD于G，同（2）证明方法类似，可证明DM=MN，再证明∠DOG＝∠ECG＝90°，即可得出结论.
【解析】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵△EFC是等腰直角三角形，
∴CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）解：结论：DM＝MN，DM⊥MN，
证明：∵在Rt△ADF中， M是AF的中点，
∴DM=AF，
∵M是AF的中点，N是EF的中点，
∴MN=AE，MN∥AE，
∵AE＝AF，
∴MN＝DM，
∵∠ADF＝90°，AM＝MF，
∴MD＝MA＝MF，
∴∠MAD＝∠ADM，
∴∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM＝90°，
∵MN∥AE，
∴∠NMF＝∠EAF，
∴∠DMN=∠NMF+∠DMF＝∠EAF+2∠DAM＝∠DAB=90°，
∴DM⊥MN，
∴MN＝DM，MN⊥DM，
故答案为MN＝DM，MN⊥DM；
（3）解：结论仍然成立．
理由：如图，连接AE，设AE交DM于O，交CD于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，
又∵BC+CE=CD+CF,即BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB，
∵在Rt△ADF中，M是AF的中点，
∴DM=AF，
∵M是AF的中点，N是EF的中点，
∴MN=AE，MN∥AE，
∴MN＝DM，
∵∠ADF＝90°，AM＝MF，
∴MD＝MA＝MF，
∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB，
∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG，
∴∠DOG＝∠ECG＝90°，
∵NM∥AE，
∴∠DOG＝∠DMN＝90°，
∴MN⊥DM，MN＝DM．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质定理，找准角与角之间的关系是解题的关键.
16．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为： ．
②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．
【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD；（2）成立，证明详见解析；（3）.
【解析】试题分析：（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．
试题解析：解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（2）成立，
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，CF=BD
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=AB=4，AH=BC=2，
∴CD=BC=1，CH=BC=2，
∴DH=3，
由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG==．
考点：四边形综合题.
17．【方法回顾】
（1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，若DF＝2.5，BE＝1，则EF＝ ．
【问题解决】
（2）如图2，菱形ABCD的边长为1.5，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP＝90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD＝180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF＝1，求BE的长．
【思维拓展】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP＝2，连接PB，PD，若△PAD的面积与△PAB的面积之差为m（m＞0），则PB2﹣PD2的值为 ．（用含m的式子表示）
【答案】（1）1.5；（2）；（3）．
【分析】（1）【方法回顾】如图1，利用“”证明，则，，然后利用得到．
（2）【问题解决】证明，推出，，再利用勾股定理构建方程解决问题即可．
（3）【思维拓展】如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，设，．设，由，推出，可得，利用勾股定理即可解决问题．
【解析】解：（1）【方法回顾】如图1中，
四边形为正方形，
，，
，，
，
又∵，
，
，，
，，
．
故答案为1.5．
（2）【问题解决】如图2中，
四边形是菱形，
，
，
，
，即，，
，
，
，，
，
，
．
，
．
（3）【思维拓展】如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，设，．
，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
，设，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
18．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．
提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系： ；
（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；
情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；
拓展问题：
（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系： ．
【答案】（1）DE＝CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝DF或|AF－CF|＝DF
【分析】（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出DB=CB，即可得出结果；
（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，FG=CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出DE=CF；
情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，得FG=CF，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出DE=CF；
（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得HF=DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出AF+CF=DF；
②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得FH=DF，DF=DH，由SAS证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=DF；
③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得出HF=DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=DF；
④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=DF．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴DB=CB，
当点E、F与点B重合时，则DE=CF，
故答案为：DE=CF；
（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：
情况1：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，
过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：
则∠BCD=∠GCF=90°，
∴∠DCG=∠BCF，
设BC交DF于P，
∵BF⊥DE，
∴∠BFD=∠BCD=90°，
∵∠DPC=∠FPB，
∴∠CDP=∠FBP，
在△CDG和△CBF中，
，
∴△CDG≌△CBF（ASA），
∴DG=FB，CG=CF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴FG=CF，
连接BE，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，
∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE=90°-α，
∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，
∴∠EAB=90°-2α，
∵AB=AE，
∴∠BEA=∠ABE=（180°-∠EAB）=（180°-90°+2α）=45°+α，
∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，
∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，
∵BF⊥DE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
∴EF=DG，
∴EF+EG=DG+EG，即DE=FG，
∴DE=CF；
情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，如图③所示：
∵∠GCF=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCF，
∵∠FPD=∠BPC，
∴∠FDP=∠PBC，
在△CDG和△CBF中，
，
∴△CDG≌△CBF（ASA），
∴DG=FB，CG=CF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴FG=CF，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，
同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，
∴∠EAB=90°+2α，
∵AB=AE，
∴∠BEA=∠ABE=45°-α，
∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，
∵BF⊥DE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
∴EF=DG，
∴DE=FG，
∴DE=CF；
（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，如图④所示：
由（2）得：△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SSS），
∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴HF=DF，DH=DF，
∵∠HDF=∠ADC=90°，
∴∠HDA=∠FDC，
在△HDA和△FDC中，
，
∴△HDA≌△FDC（SAS），
∴CF=HA，
∴DF=HF=HA+AF=CF+AF，即AF+CF=DF；
②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，如图⑤所示：
设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，
∴∠DCN=2α，
∴∠NCB=90°-2α，
∵CN=CD=CB，
∴∠CNB=∠CBN=（180°-∠NCB）=（180°-90°+2α）=45°+α，
∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，
∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，
∴△BFN是等腰直角三角形，
∴BF=NF，
在△CNF和△CBF中，
，
∴△CNF≌△CBF（SSS），
∴∠NFC=∠BFC=∠BFD=45°，
∴△DFH是等腰直角三角形，
∴FH=DF，DF=DH，
∵∠ADC=∠HDE=90°，
∴∠ADF=∠CDH，
在△ADF和△CDH中，
，
∴△ADF≌△CDH（SAS），
∴CH=AF，
∴FH=CH+CF=AF+CF，
∴AF+CF=DF；
③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，如图⑥所示：
由（2）得：△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SSS），
∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴HF=DF，DH=DF，
∵∠ADC=∠HDF=90°，
∴∠ADH=∠CDF，
在△ADC和△HDF中，
，
∴△ADC≌△HDF（SAS），
∴AH=CF，
∴HF=AF-AH=AF-CF，
∴AF-CF=DF；
④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，如图⑦所示：
∵AB=AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA，
∴∠ABP=∠FDP，
∴∠FEA=∠FBA，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠FEB=∠FBE，
∴△BFE是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SSS），
∴∠EFA=∠BFA=∠BFE=45°，
∴∠DFH=∠EFA=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴DH=DF，HF=DF，
∵∠HDF=∠CDA=90°，
∴∠HDA=∠FDC，
在△HDA和△FDC中，
，
∴△HDA≌△FDC（SAS），
∴AF=CF，
∴AH-AF=CF-AF=HF，
∴CF-AF=DF，
综上所述，线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：AF+CF=DF或|AF-CF|=DF，
故答案为：AF+CF=DF或|AF-CF|=DF．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
19．如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线．
(1)下列四副图中，直线是该“图形”等积线的是_________(填写序号)
(2)如图2，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点的直线分别交边、于点、，则直线 (填“是”或“不是”)该图形的等积线．
(3)在图3所示的“图形”中，，，．
①若，在下图中画出与平行的等积线l(在图中标明数据)
②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值；
③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为 ．
【答案】(1)①②③
(2)是
(3)①1；②；③
【分析】（1）如图，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该图形的面积平分线，由此可直接进行判断；
（2）如图2，证明，根据割补法可得直线是图形的面积平分线；
（3）①如图4，先计算图形的面积，可得出矩形的面积，由此可得出的长；
②如图5，根据面积平分线可知梯形的面积为，根据面积公式列式可得的长，根据勾股定理可得的最大值；
③如图6，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，列不等式可得的取值．
【解析】（1）解：根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该图形的面积平分线，
∴直线是该“图形”等积线的是①②③；
故答案为：①②③；
（2）如图2，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
，
即，
直线是图形的等积线．
故答案为：是；
（3）①图形的面积，
延长交于点，
，
若是图形的面积平分线，且，点必然在线段上，如图所示，
矩形的面积，
，
②如图，当与重合时，最大，过点作于，
是图形的面积平分线，
梯形的面积，
即，
，
，
，
由勾股定理得：；
即的最大值是；
③在与水平方向的两条边、相交的等积线，
如图，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，延长交于，延长交于，
则，
即，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键．
20．【定义】只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有ADB和ACB，此时；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在BC同侧有BAC和BDC，此时．
(1)【理解】
如图1，______；
(2)下列图形中一定是损矩形的是______（填序号）；
(3)【应用】如图2，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，以AC为一边向外作菱形ACEF，点D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？并说明理由；
(4)如图3，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，点O为AC的中点，OG⊥BD于点G，若，则等于多少？
【答案】(1)∠ACD
(2)③
(3)正方形，理由见解析
(4)16
【分析】（1）在AD的同侧的∠ABD=∠ACD；
（2）只有③是只有一组对角是直角的四边形；
（3）可得∠ADC=∠ABD=45°，进而求得∠ACE=90°，从而推得结果；
（4）可推出OB=OD，进而推出△BOG是直角三角形，进一步求得结果．
【解析】（1）在AD的同侧的∠ABD=∠ACD，
故答案为：∠ACD；
（2）只有③是只有一组对角是直角的四边形，
故答案为：③；
（3）四边形ACEF是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC＝45°，
∴∠ADC=∠ABD=45°，
∵四边形ACEF是菱形，
∴∠ECF=∠ACD=45°，
∴∠ACE=90°，
∴四边形ACEF是正方形；
（4）∵四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵点O是AC的中点，
∴OB=AC，
∵中是的中点，
∴OD=AC，
∴OB=OD=BD，
∵点G是BD的中点，
∴OG⊥BD，
∴∠BOG=90°，
在中，
∴，
即，
∴，
故答案是为：16．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形，勾股定理，菱形的性质，正方形判定等知识，解决问题的关键是充分利用定义给出的结论．
21．问题初探
（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系．
聪明的小明是这样做的：把绕点逆时针旋转至，使得与重合，由，得，即点、、共线，易证≌______故EF、、之间的数量关系为______．
类比探究
（2）如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请根据小明的发现给你的启示写出、、之间的数量关系，并证明．
联想拓展
（3）如图，在中，，点、均在边上，且，若，求的长．
【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）
【分析】把绕点逆时针旋转至，使得与重合，证明≌，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
在上截取，连接，证明≌，得到，，再证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
把绕点逆时针旋转得，连接，根据的结论得出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解析】（1）解：把绕点逆时针旋转至，使得与重合，
则，，，
，即点、、在同一条直线上，
，，
，
，
在和中，
，
≌，

，
故答案为：；；
，
理由如下：在上截取，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（3）如图，把绕点逆时针旋转得，连接，
，，，，
，，
，，
，，
由可知，≌，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22．【概念理解】若一条直线把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线叫做这个图形的等积直线．如图1，直线经过三角形的顶点和边的中点，易知直线将分成两个面积相等的图形，则称直线为的等积直线．
(1)如图2，矩形对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，．
①求证：．
②请你判断直线是否为该矩形的等积直线．______．（填“是”或“不是”）
(2)【问题探究】如图3是一个缺角矩形，其中，小华同学给出了该图形等积直线的一个作图方案：将这个图形分成矩形、矩形，这两个矩形的对称中心，所在直线是该缺角矩形的等积直线．
如图4，直线是该图形的一条等积直线，它与边，分别交于点，，过的中点的直线分别交边，于点，，直线______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等积直线．
(3)【实际应用】若缺角矩形是老张家的一块田地如图5．为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了灌溉方便，便想使每个儿子分得的土地都有一边和水井相邻，试问该如何分割这块土地？画出图形，并说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②是
(2)是
(3)沿直线分割这块土地即可满足题意，作图见解析
【分析】（1）①根据矩形性质，得到，利用平行线性质和对顶角相等得到，，判定，得到；②根据，，，结合梯形面积公式即可得到将矩形分成两个面积相等的梯形，得到结论；
（2）根据题意，MO＝NO，结合平行线性质得到∠PMO＝∠QNO，判定△POM≌△QON（ASA），得到，再根据MN是等积直线，分缺角矩形的两部分面积相等，进而得到直线PQ是等积直线；
（3）由（1）（2）的方法可知，如图所示，找到缺角矩形的等积直线，取的中点，过点且与相交的直线均为缺角矩形的等积直线，过的直线即可将土地分成满足题意的情况．
【解析】（1）①证明：矩形对角线，相交于点，
，
，
在和中，
，
，
；
②由①知，
在矩形中，，
，，
，即直线为矩形的等积直线，
故答案为：是；
（2）解：是MN的中点，
∴MO＝NO，
在缺角矩形ABCDEF中，AFBC，
∴∠PMO＝∠QNO，
在△POM和△QON中，

∴△POM≌△QON（ASA），
∴，
又∵MN是等积直线，分缺角矩形的两部分面积相等，
∴PQ也分缺角矩形的两部分面积相等，即直线PQ是等积直线，
故答案为：是；
（3）解：由（1）（2）的方法可知，找到缺角矩形的等积直线，取的中点，过点且与相交的直线均为缺角矩形的等积直线，如图所示：
连接并延长，直线过点且与相交，为缺角矩形等积直线，
如上图所示，沿直线分割这块土地即可满足题意．
【点睛】本题考查应用与设计作图，读懂题意，明确等积直线的画法，熟练掌握三角形的中线，矩形的性质，梯形的面积的求解是解题的关键．
23．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在中，于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若，，则正方形PQMN的边长等于______．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在AB上任取一点，画正方形，使，在BC边上，在内，连结并延长交AC于点N，画于点M，交AB于点P，于点Q，得到四边形PQMN．
(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：．
(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取，连结EQ，EM（如图4）．当时，猜想的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
【答案】(1)
(2)能画出这样的正方形，理由见解析
(3)见解析
(4)∠QEM=75°，证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得PN=MN，将，代入求解即可；
（2）先证明四边形PQMN是矩形，再证明PN=MN即可；
（3）根据正方形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，结合ASA证明△PNE和△EMQ全等，再根据全等三角形的性质即可证的结论；
（4）先证明△EMN为等边三角形，得到∠EMN=90°，则∠EMQ=30°，再根据等腰三角形的性质可得出答案．
【解析】（1）解：∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=MN，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）解：能画出这样的正方形，理由为：
∵于点M，交AB于点P，于点Q，
∴∠NMQ=∠PNM=∠PQM=90°，
∴四边形PQMN是矩形，
∵四边形是正方形，
∴
∴△BN′M′∽△BNM，△BN′P′∽△BNP，
∴，，
∴，
∵P′N′= M′N′，
∴PN=MN，
∴四边形PQMN为正方形；
（3）解：连接ME，
∵点E为BN的中点，∠NMB=90°，
∴ME=BE=NE，
∴∠EBM=∠EMQ，
∵，
∴∠EBM=∠PNE，
∴∠PNE=∠EMQ，
在△PNE和△EMQ中，
，
∴△PNE≌△EMQ（SAS），
∴EP=EQ；
（4）解：∠QEM=75°，证明如下：
由（2）知，四边形PQMN是正方形，则∠NMB=90°，NM=MQ，
∵∠NMB=90°，∠NBM=30°，
∴∠MNB=90°－30°=60°，
∵NE=NM，
∴△EMN为等边三角形，
∴ME=NM，∠EMN=60°，
∴ME=MQ，∠EMQ=30°，
∴∠QEM=（180°－30°）=75°．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
24．问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
【问题提出】如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA=5，PB=12，PC=13．你能求出∠APB的度数吗？
【问题解决】如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，从而使问题得到解决．
(1)结合上述思路完成填空：PP′=________，∠APP′=________，∠APB=________；
(2)【类比探究】如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC=1，PB=2，PA=3，则∠CPB=________；
(3)如图4，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=13，，PC=3，则∠CPB=_____；
(4)【深入探究】如图5，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=5，，PC=3，则∠CPB=________；
(5)如图6，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=12，AC=5，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是_______．
【答案】(1)12，90，150
(2)135
(3)45
(4)120
(5)13
【分析】（1）由旋转的性质可得BP=BP'=12，PC=P'A=13，∠PBP'=60°，可证△BPP'是等边三角形，可得BP=PP'=12，∠BPP'=60°，由勾股定理逆定理可得∠APP'=90°，进而可求∠APB=150°；
（2）将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合；则∠PBP′=90°，BP′=BP=2，P′C=PA=3，根据勾股定理得PP′2=22+22=8，再由P′C2=32=9，PC2=12=1可知P′C2=PP′2+PC2，可求∠P'PC=90°，即可求∠CPB=135°；
（3）将△BPA绕点B顺时针旋转90°，得到△BP′C，连接PP′，由旋转的性质可得∠PBP'=90°，BP'=BP，AP=CP′=13，由等腰直角三角形的性质可得∠BPP'=45°，PP'2=BP2+BP′2=+=25，由勾股定理的逆定理可求∠CPP'=90°，即可得∠CPB=∠CPP'-∠BPP'=90°-45°=45°；
（4）把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，根据旋转的性质得到∠P′BP=120°，BP′=BP=，P′A=PC=3，∠BP′A=∠BPC，则∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三边的关系得到BH=BP′=，P′H=BH=2，得到P′P=2P′H=4，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°，问题得解；
（5）将△ACP绕着点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接EP，BD，由旋转的性质可得∠CAP=∠DAE，AD=AC=5，∠CAD=∠PAE=60°，AE=PA，CP=DE，可证△APE是等边三角形，可得EP=AP，则AP+BP+PC=PB+EP+DE，当点D，点E，点P，点B共线时，PA+PB+PC有最小值BD，由勾股定理可求解．
（1）
解：如图2，
∵将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，
∴BP=BP'=12，PC=P'A=13，∠PBP'=60°，
∴△BPP'是等边三角形，
∴BP=PP'=12，∠BPP'=60°，
∵P'A2=169，AP2+P'P2=25+144=169，
∴P'A2=AP2+P'P2，
∴∠APP'=90°，
∴∠APB=150°，
故答案为：12，90，150；
（2）
解：将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP于H，连接PP′，
则∠PBP′=90°，BP′=BP=2，P′C=PA=3；
由勾股定理得：PP′2=22+22=8；
∵PC2=12=1，P′C2=32=9，
∴P′C2=PP′2+PC2，
∴∠P′PC=90°，
又∵∠BPP′=45°，
∴∠BP′C=135°，
∴∠CPB=∠BPP′+∠P′PC=135°，
故答案为：135；
（3）
解：将△BPA绕点B顺时针旋转90°，得到△BP′C，连接PP′，
∴△ABP≌△CBP′，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP，AP=CP′=13，
在Rt△PBP'中，BP=BP'，
∴∠BPP'=45°，
根据勾股定理得，PP'2=BP2+BP′2=+=25，
∵CP=12，
∴CP2+PP'2=144+25=169，
∵CP'2=132=169，
∴CP2+PP'2=CP'2，
∴△CPP'是直角三角形，且∠CPP'=90°，
∴∠CPB=∠CPP'-∠BPP'=90°-45°=45°，
故答案为：45；
（4）
解：如图5．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，
把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=120°，BP′=BP=，P′A=PC=3，∠BP′A=∠BPC，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
过B作BH⊥PP′于H，
∵BP′=BP，
∴P′H=PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=，
∴BH=BP′=，P′H=BH=2，
∴P′P=2P′H=4，
在△APP′中，AP=5，PP′=4，AP′=3，
∵52=42+32，
∴AP2=PP′2+AP′2，
∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，
∴∠BP′A=30°+90°=120°，
∴∠CPB=120°．
故答案为：120；
（5）
解：将△ACP绕着点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接EP，BD，
∴△ACP≌△ADE，
∴∠CAP=∠DAE，AD=AC=5，∠CAD=∠PAE=60°，AE=PA，CP=DE，
∴△APE是等边三角形，
∴EP=AP，
∴AP+BP+PC=PB+EP+DE，
∴当点D，点E，点P，点B共线时，PA+PB+PC有最小值BD，
∵∠BAC=30°，
∴∠DBC=∠BAC+∠DAC=90°，
∴BD= =13，
故答案为：13．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理以及含30°的直角三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
25．【探究与应用】
我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，则．
(1)如图1，若与相交于点O，证明以上这个结论；
小明同学提出如下解题思路，请补全：
【思路分析】
由折叠的性质得，；由平行四边形的性质得______，．由上面的分析可证得，______，这样就可以得到，则______，再由等腰三角形的性质得，证出，即可得出结论；
(2)如图2，与相交于点O，若，，，则的面积为______；
(3)如果，，
①当是直角三角形时，请画图并直接写出的长．
②设的长度为x，当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)①图见解析，或或或；②或
【分析】（1）根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，补全分析即可．
（2）易得四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理，求出的值，根据三角形的面积公式进行求解即可；
（3）①分（两种情况），，，四种情况讨论求解即可；②分，两种情况进行讨论求解即可．
【解析】（1）解：∵折叠，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵平行四边形中，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
由（1）得：，
设，则，
在中，由勾股定理得：
解得：，
∴，
；
（3）①如图，当时，延长交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴是的中点，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴在同一直线上，
∴，
∵中，，
∴，
∴；
当时，如图：
在平行四边形中，，
∴，
由(1)知，
∴，
∵，
设则：，
∴，
∴；
∴；
当时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，当是直角三角形时，的长为或或或；
②当时，由①可知，当时，，
由图可知：时，；
当时，由①可知：当的长为，，
由图可知：当时，；
综上：当或时，．
【点睛】本题考查平行四边形中的折叠问题．同时考查了矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
26．实践操作：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
(1)初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）
①当点P与点A重合时，∠DEF＝____°；当点E与点A重合时，∠DEF＝____°；
②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP＝7时的菱形EPFD的边长．
(2)深入探究：若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值____．
(3)拓展延伸：如图④ ，若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M，AM=DE，则线段AE的长度为_________．
【答案】(1)①90，45②证明见解析，
(2)2
(3)
【分析】（1）①当点P与点A重合时，作出图形即可得出答案；当点E与点A重合时，由折叠的性质可知EF平分，易得∠DEF的度数；②设DP、EF交于点O，证明，可得，根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可证明四边形DEPF为平行四边形，然后根据“对角线相互垂直”可得DEPF为菱形；当时，设菱形的边长为x，在中，由勾股定理可知，即有，求出x的值即可确定菱形的边长；
（2）当点F与点C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠可知，由勾股定理可求得，所以，即AP的最小值为2；
（3）连接EM，先证明，可知，然后设，则，，，在中，由勾股定理可知，即，求出x的值即可获得答案．
（1）
解：①当点P与点A重合时，如下图，
则，，即EF是矩形ABCD的对称轴，
故；
当点E与点A重合时，点P在边AB上，
则．
故答案为：90，45；
②当点E在AB上，点F在DC上时，由折叠性质可知，EF垂直平分DP，
设DP、EF交于点O，如下图，
∴，，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形DEPF为平行四边形，
∵，
∴DEPF为菱形；
当时，设菱形的边长为x，则
，，
在中，
由勾股定理可知，
即有，
解得，
∴当时，菱形的边长为；
（2）
若点P落在矩形ABCD的内部，且点E、F分别在AD、DC边上，如下图，
当点F与点C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，
由折叠可知，，
由勾股定理可知，，
∴，
即AP的最小值为2；
（3）
如下图，连接EM，
∵，
又∵，
∴，
∴，
设，
则，，
∵，，
∴，
在中，
，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．