2024年吉林省大安市第三中学数学九年级第一学期开学教学质量检测试题【含答案】

这是一份2024年吉林省大安市第三中学数学九年级第一学期开学教学质量检测试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层（n为正整数）圆点的个数，则下列函数关系中正确的是（ ）
A．y=4n﹣4B．y=4nC．y=4n+4D．y=n2
4、（4分）直线y＝kx+k﹣2经过点（m，n+1）和（m+1，2n+3），且﹣2＜k＜0，则n的取值范围是（ ）
A．﹣2＜n＜0B．﹣4＜n＜﹣2C．﹣4＜n＜0D．0＜n＜﹣2
5、（4分）以下方程中，一定是一元二次方程的是
A．B．
C．D．
6、（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为
A．13B．17C．20D．26
7、（4分）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝6，AE⊥BC于E，则AE等于( )
A．4B．C．D．5
8、（4分）为加快5G网络建设，某移动通信公司在山顶上建了一座5G信号通信塔AB，山高BE＝100米（A，B，E在同一直线上），点C与点D分别在E的两侧（C，E，D在同一直线上），BE⊥CD，CD之间的距离1000米，点D处测得通信塔顶A的仰角是30°，点C处测得通信塔顶A的仰角是45°（如图），则通信塔AB的高度约为（ ）米．（参考数据：，）
A．350B．250C．200D．150
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）方程x3=8的根是______．
10、（4分）如图，在△ABC中，D，E，F，分别时AB，BC，AC，的中点，若平移△ADF平移，则图中能与它重合的三角形是 ．（写出一个即可）
11、（4分）在开展“全民阅读”活动中，某校为了解全校1500名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1500名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是_____．
12、（4分）已知关于的方程会产生增根，则的值为________．
13、（4分）函数中，自变量x的取值范围是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60．
（1）求证：ABAC；
（2）若DC＝2，求梯形ABCD的面积．
15、（8分）已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝3；当x＝时，y＝1．求x＝－时，y的值．
16、（8分）某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD(AB＜BC)的对角线的交点O旋转(①→②→③)，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
(1)该学习小组成员意外的发现图①中(三角板一边与CC重合)，BN、CN、CD这三条线段之间存在一定的数量关系：CN2＝BN2+CD2，请你对这名成员在图①中发现的结论说明理由；
(2)在图③中(三角板一直角边与OD重合)，试探究图③中BN、CN、CD这三条线段之间的数量关系，直接写出你的结论．
(3)试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
17、（10分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（点B，C的对应点分别是D，E），当点E在BC边上时，连接BD，若∠ABC＝30°，∠BDE＝10°，求∠EAC．
18、（10分）如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是抛物线上的一个动点（不与点点重合），过点作直线轴于点，交直线于点．当时，求点坐标；
（3）如图所示，设抛物线与轴交于点，在抛物线的第一象限内，是否存在一点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF．则∠CDF等于_____．
20、（4分）如图，折叠矩形纸片的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，BC=10cm, AB=8cm, 则EC的长为_________.
21、（4分）已知点M（m，3）在直线上，则m=______.
22、（4分）一架5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙脚，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动______．
23、（4分）如图所示的是用大小相同（黑白两种颜色）的正方形砖铺成的地板，一宝物藏在某一块正方形砖下面，宝物在白色区域的概率是 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）.
（1）将沿轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的.
（2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；直接写出点的坐标.
（3）作出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标.
25、（10分）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP//AC，CP//BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝6，求OP的长．
26、（12分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，AB⊥y轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．
（1）若OA＝8，求k的值；
（2）若CB＝BD，求点C的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
先证明AB=AF，DC=DE，再根据EF=AF+DE﹣AD，求出AD，即可得出答案.
【详解】
∵四边形是平行四边形
∴,,∥
∵平分，平分
∴,
∴,
∴
∴
∴
故选A
本题考查了平行四边形的性质，考点涉及平行线性质以及等角对等边等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键.
2、D
【解析】
根据方程有解确定出a的范围即可．
【详解】
∵关于x的方程（a-3）x=2019有解，
∴a-3≠0，即a≠3，
故选：D．
此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．
3、B
【解析】
试题解析：由题图可知：
n=1时，圆点有4个，即y=4×1=4；
n=2时，圆点有8个，即y=4×2=8；
n=3时，圆点有12个，即y=4×3=12；
……
∴y=4n.
故选B.
4、B
【解析】
（方法一）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出n＝k﹣1，再结合k的取值范围，即可求出n的取值范围；
（方法二）利用一次函数k的几何意义，可得出k＝n+1，再结合k的取值范围，即可求出n的取值范围．
【详解】
解：（方法一）∵直线y＝kx+k﹣1经过点（m，n+1）和（m+1，1n+3），
∴ ，
∴n＝k﹣1．
又∵﹣1＜k＜0，
∴﹣4＜n＜﹣1．
（方法二）∵直线y＝kx+k﹣1经过点（m，n+1）和（m+1，1n+3），
∴ ．
∵﹣1＜k＜0，即﹣1＜n+1＜0，
∴﹣4＜n＜﹣1．
故选B．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（方法一）牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx＋b”；（方法二）根据一次函数k的几何意义找出关于n的一元一次不等式．
5、B
【解析】
根据一元二次方程的定义依次判断即可．
【详解】
解：A、是二元一次方程，故选项A不符合题意；
B、是一元二次方程，故选项B符合题意；
C、m＝﹣1时是一元一次方程，故选项C不符合题意；
D、化简后为x+4＝0，是一元一次方程，故选项D不符合题意；
故选：B．
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
6、B
【解析】
由平行四边形的性质得出，，，即可求出的周长．
【详解】
四边形ABCD是平行四边形，
，，，
的周长．
故选：B．
本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
7、C
【解析】
连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案．
【详解】
解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，
∴AO=3，
∴BO=，
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是×AC•DB=×6×8=24，
∴BC•AE=24，
AE=，
故选C.
此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
8、B
【解析】
设AB＝x米，则AE＝（100+x）米，然后利用特殊角的三角函数值表示出DE,EC,最后利用CD=DE+EC=1000即可求出x的值．
【详解】
设AB＝x米，则AE＝（100+x）米，
在Rt△AED中，
∵ ，
则DE＝＝（100+x），
在Rt△AEC中，∠C＝45°，
∴CE＝AE＝100+x，
由题意得，（100+x）+（100+x）＝1000，
解得x＝250，
即AB＝250米，
故选：B．
本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2
【解析】
直接进行开立方的运算即可.
【详解】
解：∵x3=8，
∴x==2.
故答案为：2.
本题考查了求一个数的立方根.
10、△DBE（或△FEC）．
【解析】
△DBE形状和大小没有变化，属于平移得到；△DEF方向发生了变化，不属于平移得到；△FEC形状和大小没有变化，属于平移得到．所以图中能与它重合的三角形是△DBE（或△FEC）．故答案为：△DBE（或△FEC）．
11、1
【解析】
用所有学生数乘以课外阅读时间不少于7小时的人数所占的百分比即可．
【详解】
解：该校1500名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是1500×=1人，
故答案为1．
点评：本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中不少于7小时的人数所占的百分比．
12、1
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
【详解】
解：方程两边都乘（x-4），得
2x=k
∵原方程增根为x=4，
∴把x=4代入整式方程，得k=1，
故答案为：1．
此题考查分式方程的增根，解题关键在于掌握增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13、x≠1
【解析】
根据分母不等于0，可以求出x的范围；
【详解】
解：（1）x-1≠0，解得：x≠1；
故答案是：x≠1，
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）利用等腰梯形的性质可求得，再利用平行的性质及等边对等角可求出，然后根据三角形内角和即可求出，从而得到结论；
（2）过点作于点，利用含30°角的直角三角形的性质可求出BE、BC，根据勾股定理求出AE，然后利用面积公式进行计算即可．
【详解】
证明：（1）∵，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴．
本题考查了等腰梯形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边对等角及勾股定理，需要熟记基础的性质定理，熟练应用．
15、y=-1
【解析】
设，，则，利用待定系数法求出的值，可得，再把代入求解即可．
【详解】
解：设，，则．
把，，，分别代入上式得．
解得，．
∴．
∴当，．
本题考查了正比例函数和反比例函数的问题，掌握正比例函数和反比例函数的性质、待定系数法是解题的关键．
16、 (1)见解析；(1)BN1=NC1+CD1；(3)CM1+CN1=DM1+BN1，理由见解析.
【解析】
（1）连结AN，由矩形知AO=CO，∠ABN=90°，AB=CD，结合ON⊥AC得NA=NC，由∠ABN=90°知NA1=BN1+AB1，从而得证；
（1）连接DN，在Rt△CDN中，根据勾股定理可得：ND1=NC1+CD1，再根据ON垂直平分BD，可得：BN=DN，从而可证：BN1=NC1+CD1；
（3）延长MO交AB于点E，可证：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN1+CM1=DM1+BN1．
【详解】
（1）证明：连结AN，
∵矩形ABCD
∴AO=CO，∠ABN=90°，AB=CD，
∵ON⊥AC，
∴NA=NC，
∵∠ABN=90°，
∴NA1=BN1+AB1，
∴NC1=BN1+CD1．
（1）如图1，连接DN．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO，∠DCN=90°，
∵ON⊥BD，
∴NB=ND，
∵∠DCN=90°，
∴ND1=NC1+CD1，
∴BN1=NC1+CD1．
（3）CM1+CN1=DM1+BN1
理由如下：延长MO交AB于E，
∵矩形ABCD，
∴BO=DO，∠ABC=∠DCB=90°，AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，
∴△BEO≌△DMO（ASA），
∴OE=OM，BE=DM，
∵MO⊥EM，
∴NE=NM，
∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴NE1=BE1+BN1，NM1=CN1+CM1，
∴CN1+CM1=BE1+BN1 ，
即CN1+CM1=DM1+BN1 ．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点．
17、∠EAC＝100°．
【解析】
由旋转可得，△ABC≌△ADE，进而得出∠ABC＝∠ADE＝30°，AD＝AB，进而得到∠ADB＝40°＝∠ABD，∠BAD＝100°，再根据∠BAC＝∠DAE，即可得到∠EAC＝∠DAB＝100°．
【详解】
由旋转可得，△ABC≌△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE＝30°，AD＝AB，
∵∠BDE＝10°，
∴∠ADB＝40°＝∠ABD，
∴∠BAD＝100°，
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠EAC＝∠DAB＝100°．
本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．
18、（1）；（2）点坐标为（2，9）或（6，-7）；（3）存在点Q（）使得四边形OFQC的面积最大，见解析.
【解析】
（1）先由点在直线上求出点的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）可设出点坐标，则可表示出、的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于点坐标的方程，则可求得点坐标；
（3）作轴于点，设，，知，，，根据四边形的面积建立关于的函数，再利用二次函数的性质求解可得．
【详解】
解：（1）点在直线上，
，，
把、、三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
抛物线解析式为；
（2）设，则，，
则，，
，
，
当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，
；
当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，
；
综上可知点坐标为或；
（3）存在这样的点，使得四边形的面积最大．
如图，过点作轴于点，
设，，
则，，，
四边形的面积
，
当时，四边形的面积取得最大值，最大值为，此时点的坐标为，．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及利用割补法列出四边形面积的函数关系式．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、75°
【解析】
根据菱形的性质求出∠ADC=110°，再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，从而计算出∠CDF的值．
【详解】
解：连接BD，BF，
∵∠BAD=70°，
∴∠ADC=110°，
又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA=35°，
∴∠CDF=110°-35°=75°．
故答案为75°．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．
20、3cm
【解析】
【分析】由矩形的性质可得CD=AB=8，AD=BC=10，由折叠的性质可得AF=AD=10，DE=EF，∠AFE=∠D=90°，在Rt△ABF中，由勾股定理可求出BF的长，继而可得FC的长，设CE=x，则DE=8-x，EF= DE=8-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理即可救出CE的长.
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，AD=BC=10，
∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10，DE=EF，∠AFE=∠D=90°，
在Rt△ABF中，BF==6，
∴FC=BC-BF=4，
设CE=x，则DE=8-x，EF= DE=8-x，
在Rt△CEF中，
∵CF2+CE2=EF2，
∴42+x2=(8-x)2，解得x=3，
即CE=3cm，
故答案为：3cm.
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.
21、2
【解析】
把点M代入即可求解.
【详解】
把点M代入，
即3=2m-1，解得m=2，
故填：2.
此题主要考查一次函数，解题的关键是熟知坐标与函数的关系.
22、
【解析】
根据条件作出示意图，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：由题意可画图如下：
在直角三角形ABO中，根据勾股定理可得，，
如果梯子的顶度端下滑1米，则．
在直角三角形中，根据勾股定理得到：，
则梯子滑动的距离就是．
故答案为：1m．
本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据题目画出示意图是解此题的关键．
23、．
【解析】
解：根据图示可得：总的正方形有9个，白色的正方形有5个，
则宝物在白色区域的概率是：.
故答案为
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）见解析；；（3）见解析；.
【解析】
（1）图形的平移时，我们只需要把三个顶点ABC,按照点的平移方式，平移得到新点，然后顺次连接各点即为平移后的.
（2）首先只需要画出B，C旋转后的对应点，，然后顺次连接各点即为旋转过后的，然后写出坐标即可；
（3）首先依次画出点ABC关于原点成中心对称的对应点，然后顺次连接各点即可得到，然后写出坐标即可.
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）如图所示，由图可知；
（3）如图所示，由图可知.
本题的解题关键是：根据图形平移、旋转、中心对称的性质，找到对应点位置，顺次连接对应点即是变化后的图形；这里需要注意的是运用点的平移时，横坐标满足“左（移）减右（移）加”，纵坐标满足“下（移）减上（移）加；旋转时找准旋转中心和旋转角度，再进行画图.
25、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）首先通过角平分线的定义和平行四边形的性质，平行线的性质得出，则有，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）首先根据题意和菱形的性质证明四边形OCPD是矩形，然后利用矩形的性质和勾股定理即可得出答案．
【详解】
（1）∵AC平分∠BAD，
．
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵平行四边形ABCD是菱形，
∴，
．
∵DPAC，CPBD，
∴四边形OCPD是平行四边形．
，
∴四边形OCPD是矩形，
∴ ．
本题主要考查四边形，掌握矩形，菱形的判定及性质和勾股定理是解题的关键．
26、（1）1；（2）（3，2）
【解析】
（1） 过C作CM⊥AB，CN⊥y轴，利用勾股定理求出CM的长，结合OA的长度，则C点坐标可求，因C在图象上，把C点代入反比例函数式求出k即可；
（2）已知CB=BD，则AD长可求，设OA=a, 把C、D点坐标用已知数或含a的代数式表示，因C、D都在反比例函数图象上，把C、D坐标代入函数式列式求出a值即可.
【详解】
（1）解：过C作CM⊥AB，CN⊥y轴，垂足为M、N，
∵CA＝CB＝5，AB＝6，
∴AM＝MB＝3＝CN，
在Rt△ACD中，CD＝ ＝4，
∴AN＝4，ON＝OA﹣AN＝8﹣4＝4，
∴C（3，4）代入y＝ 得：k＝1，
答：k的值为1．
（2）解：∵BC＝BD＝5，
∴AD＝6﹣5＝1，
设OA＝a，则ON＝a﹣4，C（3，a﹣4），D（1，a）
∵点C、D在反比例函数的图象上，
∴3（a﹣4）＝1×a，
解得：a＝6，
∴C（3，2）
答：点C的坐标为（3，2）
本题主要考查反比例函数的几何应用，解题关键在于能够做出辅助线，利用勾股定理解题.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分