湖南师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期第一次大练习数学试题

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 对于，下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知对，都有，则m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 频率分布直方图中的值为0.004
B. 估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80
C. 估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为160
6. 表面积为的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14，则这个正四棱柱的表面积等于（ ）
A. 567B. 576C. 240D.
7. 已知正数满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
8. 设向量，，满足，，，的夹角为60°，则的最大值等于（ ）
A. 2B. C. D. 1
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列说法错误的有（ ）
A. 若直线上有无数个点不在平面内，则
B. 若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线
C. 如果两条异面直线中一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交
D. 若直线与平面平行，则直线与平面内的直线平行或异面
10. 以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A. 连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为
B. 每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为
C. 将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是
D. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
11. 已知函数，且对于都有成立.现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数相邻的对称轴距离为
C. 函数是奇函数
D. 函数在区间上单调递增
12. 德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为
A. 函数是偶函数
B. ,恒成立
C. 任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立
D. 不存在三个点,,,使得等腰直角三角形
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13. 若.则__________.
14. 在平面直角坐标系中，已知，若过点的直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围是____________.
15. 已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则
16. 在长方体中，已知，，分别为，的中点，则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为___________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
17. 已如函数.
（1）若不等式解集为时，求实数的值；
（2）当时，解关于的不等式.
18. 某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为）．
（1）求成绩在的频率，并补全此频率分布直方图；
（2）求这次考试平均分的估计值；
（3）若从成绩在和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．
19. 求满足下列条件的直线方程：
（1）已知、、，求的边上的中线所在的直线方程；
（2）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程.
20.
如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
21. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，内角，，的对边分别为，，，设，若__________，是否存在使得存在最大值？
22. 已知函数为偶函数，当时，，（a为常数).
（1）当x