湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期第一次大练习数学试题

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
2. 已知直线、和平面、，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
3. 若为偶函数，则（ ）．
A. B. 0C. D. 1
4. 如图，在四面体A-BCD中，点O为底面△BCD的重心，P为AO的中点，设，，，则（ ）

A. B.
C D.
5. 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=
A. B. C. D.
6. 将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为、，记事件A为 “为偶数”，事件B为“”，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 对实数，定义运算“*”：，设函数，若函数有两个零点，则实数c的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 2019年中国5G建设有序推进，新型信息基础设施能力不断提升，有力支撑社会的数字化转型，电信业务发展迅速，下图是2010～2019年中国移动电话用户数及增速走势图．根据该图，下列说法正确的是（ ）
A. 2010～2019年中国移动电话用户数逐年增加
B. 2011～2019年中国移动电话用户数增速的中位数为7.2%
C. 2011～2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快
D. 中国移动电话用户数在2011～2014年的增速逐年递减，因此用户数逐年减少
10. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，则
C. 直线l恒过点
D. 若直线n在x轴上截距为6，则直线n的斜截式为
11. 已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 将函数图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上的最大值为
D. 若函数（）为偶函数，则的最小值为
12. 如图中，是棱上的动点（不含端点），点在侧面上运动，且满足平面，则下列命题正确的有（ ）
A. 侧面上存在点，使得
B. 直线与直线所成角的正切值的范围为
C. 当点固定时，三棱雉的体积为定值
D. 设正方体的棱长为1，当为棱上靠近的三等分点时，则过点 三点的截面面积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．
14. 已知，则__________．
15. 设函数，已知在有且仅有5个零点，则的取值范围是______．
16. 已知向量满足，，，，则的最小值是__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线l经过点，倾斜角为．
（1）若，求直线l的斜截式方程；
（2）若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的一般式方程．
18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）设BC的中点为D，且，求的取值范围．
19. 如图，在四棱锥中，平面，，，且.

（1）求证：；
（2）若点M为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
20. 为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高（单位：cm）按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；
（2）在统计过程中，小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29．之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm．试根据上述数据求样本的方差．
21. 斜三棱柱体积为4，侧面侧面，的面积为
（1）求点到平面的距离；
（2）如图，为的中点，，，求二面角的大小．
22. 已知函数（）满足：，，且当时，．
（1）求a的值；
（2）求的解集；
（3）设，（），若，求实数m的值．