2024-2025学年北京市第一零一中学高三上学期开学检测数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市第一零一中学高三上学期开学检测数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x∈R|x2<10,B=2,3,4,5则A∩B=( )
A. 2B. 2,3C. 3,4D. 2,3,4
2.若a+b<0，且b>0，则( )
A. ab3.在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为12, 32，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是
A. 32,12B. −12, 32C. − 32,12D. − 32,−12
4.如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是( )
A. 0.999B. 0.981C. 0.980D. 0.729
5.若函数y= a−ax(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则lga56+lga485=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.若两个正实数x,y满足1x+2y=1，若至少存在一组x,y使得x+2y≤−m2−6m成立，则实数m的取值范围是( )
A. {m|−4≤m≤−2}B. {m|−4C. {−3}D. ⌀
7.设fx是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈2,3时，fx=x，则当x∈−2,0 时，fx的解析式为( )
A. x+4B. 2−xC. 3−x+1D. 2+x+1
8.2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A,B两点测得C的仰角分别为45∘,30∘,AB=60(单位：m)，且∠AOB=30∘，则大跳台最高高度OC=( )
A. 45mB. 45 2mC. 60mD. 60 3m
9.若函数fx=x−1,x<00,x=0x+1,x>0，则“x1+x2>0”是“fx1+fx2>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知M=α|fα=0，N=β|gβ=0，若存在α∈M,β∈N，使得α−βA. (1e2,4eB. 1e,4e2C. 4e2,2eD. 4e3,2e2
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数z=1+ii，则z⋅z= ．
12.已知二项式(2x−a)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中x3项的系数为20，则实数a的值为 ．
13.设D为▵ABC内一点，且CD=25CA+15CB，则▵ACD与▵BCD的面积比为 ．
14.等比数列{ an}的前n项和为Sn，能说明“若{an}为递增数列，则∀n∈N∗,Sn15.已知正项数列an满足a1=1，an=nan+12nan+1+1，则在下列四个结论中，①a2= 5−12；②an是递增数列；③an+1−an>1n+1；④an+1<1+k=1n1k.其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且bn−an是等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
17.(本小题12分)
已知函数fx=sin2xcsφ−cs2xsinφ，其中φ<π2，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使fx存在，并完成下列两个问题．
(1)求φ的值；
(2)若m>0，函数fx在区间0,m上最小值为−12，求实数m的取值范围．
条件①：对任意的x∈R，都有fx≤fπ3成立；
条件②：fπ4=−12；
条件③：fπ3−f−π6=2．
18.(本小题12分)
在▵ABC中， 3sinA+csA= 3,b=2 3，a=2,b2>a2+c2.求：
(1)tan2A的值；
(2)c和面积S的值．
19.(本小题12分)
某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：
假设每次考试是否通过相互独立．
(1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；
(2)小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；
(3)若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则m的最小值为下列数值中的哪一个？(直接写出结果)
20.(本小题12分)
设函数fx=ex+acsx，a∈R.曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=x+2．
(1)求a的值；
(2)求证：方程fx=2仅有一个实根；
(3)对任意x∈0,+∞，有fx>ksinx+2，求正数k的取值范围．
21.(本小题12分)
定义τa1,a2,⋯,an=a1−a2+a2−a3+⋯+an−1−an为有限项数列{an}的波动强度．
(1)当an=(−1)n时，求τ(a1,a2,⋯,a100)；
(2)若数列a,b,c,d满足(a−b)(b−c)>0，求证：τ(a,b,c,d)≤τ(a,c,b,d)；
(3)设{an}各项均不相等，且交换数列{an}中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{an}一定是递增数列或递减数列
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.C
6.C
7.C
8.C
9.C
10.B
11.2
12.−12
13.1:2
14.−1 (答案不唯一)
12

15.②③④
16.解：(1)设数列{an}的公差为d，
则d=a4−a13=12−33=3，
∴an=3n，
设数列bn−an的公比为q，
则q3=b4−a4b1−a1=20−124−3=8，
∴q=2，
∴bn−an=2n−1，从而bn=3n+2n−1；
(2)由(1)可知，bn=3n+2n−1，
∴bn的前n项和为b1+b2+b3+⋯+bn
=3+20+6+21+9+22+⋯+3n+2n−1
=3+6+9+⋯+3n+20+21+22+⋯+2n−1
=3nn+12+1−2n1−2=3nn+12+2n−1．

17.(1)由fx=sin2xcsφ−cs2xsinφ=sin2x−φ，
若选条件①：可知当x=π3时，fπ3=sin2π3−φ=1，因为φ<π2，即φ=π6，且对任意x∈R，都有fx≤fπ3=1恒成立，故选条件①时f(x)存在，故可选①；
若选条件②：fπ4=sinπ2−φ=csφ=−12，解得φ=2π3+2kπ或φ=4π3+2kπ，k∈Z，因为φ<π2，所以与条件矛盾，故不选②；
若选条件③：fπ3−f−π6=sin2π3−φ−sin−π3−φ=sinπ−π3+φ+sinπ3+φ=sinπ3+φ+sinπ3+φ=2，
所以sinπ3+φ=1，因为φ<π2，可得φ=π6，故条件③能使f(x)成立，故可选③；
综上所述：故可选择条件①或③，此时φ=π6．
(2)由(1)知fx=sin2x−π6，当x∈0,m时，2x−π6∈−π6,2m−π6，
且f(x)的最小值为−12，所以可得2m−π6≤π+π6，解得m≤2π3，又m>0，
所以0所以m的取值范围为0,2π3．

18.(1)由 3sinA+csA= 3,可得，2sin(A+π6)= 3,即sin(A+π6)= 32．
又0故A+π6=π3,或A+π6=2π3,解得A=π6或A=π2．
因a=2,b=2 3，则a所以tan2A=tanπ3= 3.
(2)由正弦定理asinA=bsinB，可得2sinπ6=2 3sinB.则sinB= 32.
因为b2>a2+c2，由余弦定理，csB=a2+c2−b22ac<0，
则π2则c=a=2,S=12absinC= 3.

19.(1)记事件Ai：“2022年第i次参加考试的考生通过考试”，i∈1,2,3，
记事件Bj：“2023年第j次参加考试的考生通过考试”，j∈1,2,3，
则PA1=60100=0.6，PB1=50100=0.5，
∴从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为PA1B1=PA1PB1=0.6×0.5=0.3；
(2)∵PA1=60100=0.6，PA1=40100=0.4，
∴PA1A2=PA1PA2=0.4×70100=0.28，
小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为
PA1+PA1A2=0.6+0.28=0.88；
(3)2022年考生成绩合格的概率为1−PA1A2A3=1−PA1PA2PA3=1−40100×30100×20100=0.976，
2023年考生成绩合格的概率为1−PB1B2B3=1−PB1PB2PB3=1−50100×40100×100−m100，
要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，
则1−50100×40100×100−m100≥0.976，解得m≥88．
故m的最小值为88．

20.(1)解：因为fx=ex+acsx，所以f0=e0+a=a+1，
又点0,f0在切线y=x+2上，所以f0=2，
所以a+1=2，即a=1．
(2)证明：欲证方程fx=2仅有一个实根，只需证明ex+csx−2=0仅有一个零点，
令gx=ex+csx−2，则g′x=ex−sinx，
令ℎx=g′x=ex−sinx，则ℎ′x=ex−csx，
讨论：(1)当x>0时，ℎ′x=ex−csx>e0−csx=1−csx≥0，
所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎx>ℎ0=1，即g′x=ex−sinx>1>0，
所以gx在(0,+∞)上单调递增，gx>g0=0，即此时无零点；
(2)当x=0时，g0=0，即此时有一个零点；
(3)当x<0时，gx=ex+csx−2所以，当x<0时，g(x)<0，即此时无零点
综上可得，gx=ex+csx−2仅有一个零点，得证．
(3)当x∈(0,+∞)时，ex+csx>ksinx+2，即ex+csx−ksinx−2>0恒成立，
令Fx=ex+csx−ksinx−2，
则F′x=ex−sinx−kcsx，
由(Ⅱ)可知，x∈(0,+∞)时ex−sinx>1，
所以F′x=ex−sinx−kcsx>1−kcsx，
讨论：(1)当0即1−k≤1−kcsx≤1+k，
所以F′x>1−kcsx≥1−k≥0，
即当00，
所以Fx=ex+csx−ksinx−2在x∈(0,+∞)时单调递增，
所以Fx>F0=0恒成立，即满足条件ex+csx−ksinx−2>0，
(2)当k>1时，由F′x=ex−sinx−kcsx可知F′0=1−k<0，
又F′π=eπ+k>0，所以存在x0∈0,π，使得F′x0=0，
所以，当x∈0,x0时，F′x<0，F(x)单调递减，
当x∈x0,+∞时，F′x>0，F(x)单调递增，
所以Fx00恒成立，
综上可知，正数k的取值范围是0
21.(1)τ(a1,a2,⋯,a100)=a1−a2+a2−a3+⋯+a99−a100
=2+2+⋯+2=2×99=198
(2)证明：因为τ(a,b,c,d)=a−b+b−c+c−d，
τ(a,c,b,d)=a−c+c−b+b−d，
所以τ(a,b,c,d)−τ(a,c,b,d)=a−b+c−d−a−c−b−d
因为(a−b)(b−c)>0，所以a>b>c，或a若a>b>c，则τ(a,b,c,d)−τ(a,c,b,d)=a−b+c−d−a+c−b−d=c−b+c−d−b−d
当b>c>d时，上式=c−b+c−d−(b−d)=2(c−b)<0，
当b≥d≥c时，上式=c−b+d−c−(b−d)=2(d−b)≤0，
当d>b>c时，上式=c−b+d−c−(d−b)=0，
即当a>b>c时，τ(a,b,c,d)−τ(a,c,b,d)≤0．
若a则τ(a,b,c,d)−τ(a,c,b,d)=b−a+c−d−c+a−b−d，
=b−c+c−d−b−d≤0.(同前)
所以，当(a−b)(b−c)>0时，τ(a,b,c,d)≤τ(a,c,b,d)成立．
(3)证明：由(2)易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.(将此作为引理)
下面来证明当a1>a2时，{an}为递减数列．
(ⅰ)证明a2>a3．
若a1>a3>a2，则由引理知交换a2,a3的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾．
若a３>a１>a2，则τa1,a2,a３=a1−a2+a2−a３>a1−a2+a1−a３=τa2,a1,a３，与已知矛盾．
所以，a1>a2>a3．
(ⅱ)设a1>a2>⋯>ai(3≤i≤n−2)，证明ai>ai+1．
若ai−1>ai+1>ai，则由引理知交换ai,ai+1的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾．
若ai+1>ai−1>ai，则τ(ai−2,ai−1,ai,ai+1)=τ(ai−2,ai,ai−1,ai+1)，与已知矛盾．
所以，ai>ai+1．
(ⅲ)设a1>a2>⋯>an−1，证明an−1>an．
若an>an−1，考查数列an,an−1,⋯,a2,a1，
则由前面推理可得an>an−1>an−2>⋯>a2，与a1>a2>⋯>an−1矛盾．
所以，an−1>an．
综上，得证．
同理可证：当a1
2022年
2023年
通过
未通过
通过
未通过
第一次
60人
40人
50人
50人
第二次
70人
30人
60人
40人
第三次
80人
20人
m人
100−m人
m的值
83
88
93