2024-2025学年四川省广安市岳池中学高二（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省广安市岳池中学高二（上）入学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|x≤3}，B={−1,0,1,3,5}，则A∩B=( )
A. {1,3}B. {0,1,3}C. {−1,0,1,3}D. {x|x≤3}
2.某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( )
A. 28B. 32C. 40D. 64
3.复数z与(z+3)2−5i都是纯虚数，则z=( )
A. 3iB. −3iC. ±3iD. 56i
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a= 3，b=1，A=60°，则c为( )
A. 1B. 2C. 3D. 1或2
5.用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为( )
A. 24B. 2C. 4D. 2
6.已知△ABC中，点D在BC边上，且BD=2DC，那么( )
A. AD=12AB+12ACB. AD=13AB+13AC
C. AD=23AB+13ACD. AD=13AB+23AC
7.一电线杆CD位于某人的正东方向上，某人在点A测得电线杆顶端C的仰角为45°，此人往电线杆方向走了10米到达点B，测得电线杆顶端C的仰角为60°，则电线杆CD的高度约为( )米( 3≈1.732，忽略人的身高)
A. 22.66
B. 23.66
C. 24.66
D. 25.66
8.如图，正三棱台ABC−A1B1C1的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为( )
A. 2 63B. 3 3
C. 2 6D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足z+2=|z|+4i，则( )
A. z的虚部为4B. z−=3+4iC. |z|=5D. z2=25+24i
10.下列关于平面向量的说法正确的是( )
A. 若a，b是共线的单位向量，则a=b
B. 若a，b是相反向量，则|a|=|b|
C. 若a+b=0，则向量a，b共线
D. 若AB//CD，则点A，B，C，D必在同一条直线上
11.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点A，B，C，D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则( )
A. 该八面体的表面积是8 3
B. 该八面体的体积是4 23
C. 直线AE与平面ABCD所成角为π4
D. 动点P在该八面体的外接球面上，且BP⊥AE，则点P的轨迹的周长为2 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.样本数据5，9，6，7，11，8，10，5的40%分位数为______．
13.在△ABC中，a=2，b=1，∠A+∠B=60°，则边长c= ______．
14.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”(Mercedes−Benz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理).“奔驰定理”的内容如下：如图，已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0.若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且O点满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则下列说法正确的是______(填序号)．
①O是△ABC的垂心；②∠BOC+A74.6875，所以该同学能得到表彰．
17.(1)证明：取PD的中点F，连接EF，AF，
在△PCD中，因为E为PC的中点，F为PD的中点，
所以EF/​/DC，且EF=12DC，
由已知AB//DC，2AB=CD=6，
得EF/​/AB，且EF=AB，
所以四边形ABEF为平行四边形，
所以BE/​/AF，
因为BE⊄平面ADP，AF⊂平面ADP，
所以BE//平面ADP．
(2)解：取CD的中点G，连接PG，AG，
则AB//GC，且AB=GC，即四边形ABCG为平行四边形，所以AG/​/BC，
所以∠PAG(或其补角)即为异面直线PA与BC所成的角，
由AD=PD=4，PD⊥DA，得PA=4 2，
又PD⊥DC，AB⊥AD，DG=AB=3，
由勾股定理得AG=PG=5，
在△PAG中，由余弦定理得cs∠PAG=PA2+AG2−PG22⋅PA⋅AG=(4 2)2+52−522×4 2×5=2 25，
即异面直线PA与BC所成的角的余弦值为2 25．
18.解：(1)因为bsin(C+π2)−ccs(A+C)=2acsB，
由诱导公式可得：bcsC+ccsB=2acsB，
由正弦定理可得：sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsB，
化简为sin(B+C)=2sinAcsB，
即sinA=2sinAcsB，
A∈(0,π)，sinA≠0，则csB=12，
因为B∈(0,π)，
故B=π3；
(2)由2BD=BA+BC，即BD2=14(BA+BC)2，
即74=14(22+a2+2×2acsπ3)，可得a=1或a=−3(舍)，
所以S△ABC=12acsinB=12×2×1× 32= 32．
19.解：(1)证明：设AC∩BD=O，连接PO，因为底面ABCD为菱形，
所以O为BD的中点，BD⊥AC，
又PB=PD，所以BD⊥PO，
AC，PO⊂平面PAC，AC∩PO=O，
所以BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD，
所以平面PAC⊥平面PBD．

(2)在平面PAC中过点P作PH⊥AC交AC于点H，

因为BD⊥平面PAC，又PH⊂平面PAC，
所以BD⊥PH，
又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD，
过点H作HE⊥BC交BC于点E，连接PE，
又PH⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PH⊥BC，
又PH∩HE=H，PH，HE⊂平面PHE，所以BC⊥平面PHE，
又PE⊂平面PHE，所以BC⊥PE，
所以∠PEH即为二面角P−BC−A的平面角，
在△PAC中，cs∠PAH=22+32−( 7)22×2×3=12，
因为PH⊥AC，所以PH=PAsin∠PAH= 3,AH=PAcs∠PAH=1，
因为AB=BC=3,∠ABC=π3，所以AC=3，CH=2，
在△CEH中，EH=2sin∠ACB=2× 32= 3，
又PH⊥平面ABCD，EH⊂平面ABCD，所以PH⊥EH，
所以tan∠PEH=PHEH= 3 3=1，
所以二面角P−BC−A的正切值为1．